Индукция и статистический анализ

Эксперимент поставляет факты. Они, как правило, не совпадают с предсказаниями. Это обстоятельство учитывается уже на стадии планирования эксперимента. Исследователи понимают, что после эксперимента наступает час индукции, которая, подобно дедукции и аддукции, также сопряжена со многими неожиданностями. Исследователь заблаговременно готовится к преодолению новых трудностей.

Существуют ли точные значения измеряемых параметров? Кажется, что каждый признак (параметр) может обладать так называемой точной, или точечной, величиной, однако обосновать это мнение, видимо, невозможно. Если, например, величина силы тока равна 4,0 ± 0,2 ампера (А), то нет никаких оснований считать, что она имеет точечное значение в интервале 3,8−4,2 А. Весьма распространенная ошибка состоит в произвольном утверждении существования точных значений, а затем определении абсолютных и относительных ошибок (погрешностей), якобы допущенных при измерении. Так, применительно к приведенному выше примеру указывается, что абсолютная ошибка равна 0,2 А, а относительная -^-=0,05.

Ошибки, разумеется, могут иметь место. Но при концептуальном анализе первейшее внимание должно быть уделено не ошибкам, ибо они имеют вторичное значение. Даже при отсутствии ошибок значение величины признака должно быть соотнесено с некоторым интервалом: значение величины признака всегда имеет интервальный характер. Что же касается точного значения, то оно выступает результатом операции упрощения. Точечное значение не искажает интервального, а является упрощением по отношению к нему. Именно интервальное значение призван зафиксировать соответствующий прибор.

Выборочное среднее, вероятность, математическое ожидание и неопределенность. До сих пор рассматривались проблемы, связанные с определением величины параметра с узким интервалом. Но применительно к так называемым вероятностным величинам этого явно недостаточно, ибо в таком случае на один из центральных планов выходят концепты вероятности и математического ожидания. Оба концепта кажутся довольно необычными, но их природе вполне можно дать достаточно отчетливое истолкование.

Ключевое значение в понимании концептов вероятности и математического ожидания имеет выборочное среднее. Допустим, что рассматривается величина У. Обозначим через УИ, измеренное в 5-м испытании, величину У. Общее же число испытаний, входящих в соответствующую выборку, равно п. В таком случае выборочное среднее А определяется по формуле.

Определение выборочного среднего требует от экспериментатора высокой компетенции в деле избрания соответствующих выборок и определения их признаков, в частности устойчивости. Но в данном случае мы не станем отвлекаться на эти тонкости. Отметим лишь главный момент в определении природы математического ожидания и вероятности с позиций экспериментатора. Обе эти величины представляют собой некоторые пределы выборочного среднего. В случае математического ожидания (Я) имеют дело с величиной измеряемого параметра: Е[У] есть предел Л [У], определенный на основании не одной, а многих выборок. В случае вероятности (Р) речь идет о пределе выборочного среднего применительно к относительной частоте исходов:

где т — число благоприятных исходов из общего числа п.

Поскольку т определяется на основании многих выборок, то и оно выступает как некоторая усредненная величина. Кажется, что экспериментатор при всем его старании не в состоянии определить ни математическое ожидание величины, ни вероятность ее наступления, ибо рассматриваемые выше предельные переходы предполагают бесконечное число как испытаний, так и выборок. Но в условиях дефицита времени экспериментатор вынужден ограничиться вполне определенным числом испытаний. Он вроде бы вправе заявить, что должен стремиться как можно ближе подойти к точному (истинному) значению величин математического ожидания и вероятности соответственно. Однако это «точное» значение вводится априорно, что должно насторожить экспериментатора, поскольку априоризм ведет к метафизике. Парадокс недостижимости точного значения математического ожидания и вероятности вполне может быть преодолен в случае, если аккуратно учесть, с одной стороны, статус концептов, а с другой — соотносительность определенных стадий концептуальной трансдукции в составе экспериментальных наук. Рассмотрим этот мнимый парадокс на примере анализа вероятности.

Существуют различные подходы к пониманию природы вероятности1. Особенно часто вызывает недоумение кажущееся полное отсутствие возможности согласовать понимание вероятности как относительной частоты, определяемой в эксперименте, и ее математического двойника. В последнем случае вероятность понимается либо по Р. фон Мизесу, а именно как предел относительной частоты, либо по А. Н. Колмогорову, т. е. в качестве меры, задаваемой на алгебрах множеств. Парадокс возникает постольку, поскольку математические реалии принимаются за вполне реальные идеализированные объекты и их признаки. В эксперименте такого рода реалии обнаружить нельзя. Во избежание парадоксальных суждений остается единственная возможность: считать, что за стадией экспериментирования следует стадия идеализации, а самое подлинное в науке якобы и есть идеализация.

Выход из ситуации находится, если признать математические объекты не идеализациями, а формализациями. Внимательными исследователями математика не переносится прямо и непосредственно в область экспериментальных наук. Математический аппарат непременно проверяется на предмет его состоятельности. Этот аспект дела крайне важен в понимании математического моделирования. При всех ее достоинствах математика должна восприниматься критически. Как только математические формализации начинают отождествлять с реалиями, сразу же выявляется их приблизительность. В силу формального характера математики нет никакой необходимости в экспериментальном постижении ее содержания в нематематических науках. Достаточно определиться с ее сильными сторонами в проекции на экспериментальные науки.

Итак, математическое ожидание и вероятность, будучи важнейшими научными концептами, не измеряются непосредственно, а определяются через исходные экспериментальные данные, которые мы предпочитаем называть фактами. Кстати, имя «математическое ожидание» нельзя назвать удачным. Впервые его стали использовать в XVII в. применительно к теории азартных игр Б. Паскаль и X. Гюйгенс. Следует учитывать, что далеко не всякое ожидание является математическим. Так, ожидания, с которыми имеют место в экономике, являются экономическими, а не математическими. Необходимо также учитывать, что в современной науке очень часто ожидания теснейшим образом увязываются с прогнозами, но концепт математического ожидания используется и за пределами прогнозов. Определение математических ожиданий и вероятностей связано с многочисленными сложностями, каждая из которых придает ту или иную определенность эксперименту как стадии трансдукции. Укажем на некоторые из них:

• 1. Перечисление факторов, актуальных при определении математических ожиданий и вероятностей. Оно оказывается возможным лишь после тщательного изучения особенностей экспериментальной ситуации. Факторы ранжируются, но некоторые из них оказываются неучтенными.
• 2. Субъективная (экспертная) оценка вероятностей. Она оказывается необходимой в случае, если ощущается потребность в новой теории. Деятельность экспертов нуждается в осмыслении.
• 3. Восстановление статистического ансамбля по ограниченной экспериментальной выборке. Как правило, данных недостаточно, поэтому они домысливаются, однако критерии домысливания сами нуждаются в критическом анализе.
• 4. Определение математических ожиданий и вероятностей в условиях нестационарности и неустойчивости. Здесь всякое прогнозирование оказывается связанным с новыми трудностями.
• 5. Интерпретация редких явлений. Поскольку редкие явления, как правило, невоспроизводимы, то и их изучение затруднительно.
• 6. Привлечение закона больших чисел. Вопреки широко распространенному мнению увеличение объема выборки совсем не обязательно влечет за собой уменьшение рассеяния экспериментальных данных. Закон больших чисел имеет место лишь при наличии факторов, обеспечивающих его существование.

С концептами математического ожидания и вероятности тесно связан концепт неопределенности, по поводу которого остаются большие неясности. Обычно неопределенное интерпретируется как отрицание определенного. С этой точки зрения, величина, не обладающая точным значением, должна быть признана неопределенной. В эпистемологии неопределенность часто связывали с недостатком знаний, который может быть преодолен. Это понимание было поставлено под сомнение открытиями, сделанными в квантовой механике. Рассмотрим, например, одно из соотношений неопределенностей Гейзенберга: ДрхАх > Н/2. Оно свидетельствует о том, что при одновременном измерении импульса вдоль оси х (Арх) и координаты (Ах) их неопределенность неустранима. Осмысление соотношения неопределенностей Гейзенберга показало, что неопределенность реальна и, следовательно, не связана с недостатком знаний. Стала также очевидной связь неопределенности с вероятностями. По крайней мере, так обстоят дела в физике.

В техникологии положение другое: здесь различают ситуации риска и ситуации неопределенности. Считается, что в ситуации риска известны вероятности наступления интересующих исследователя событий. В ситуации неопределенности величины вероятностей неизвестны. Как видим, здесь вновь дает о себе знать представление о неопределенности как недостатке знаний, однако на этот раз неопределенность оценивается как отсутствие не точного, а вероятностного знания. Отметим, что концепт неопределенности и ситуация неопределенности — разные вещи. Нас интересует концепт неопределенности, поэтому представляется исключительно важным осмысление онтического статуса неопределенности.

Осмысление оптического статуса неопределенности.

Вероятность характеризует возможность наступления некоторых событий. Но в таком случае следует признать наличие некоего концентрата активности, обеспечивающего наступление упомянутых событий. На наш взгляд, характеристикой такой активности как раз и является неопределенность. Недостаточно всего лишь подчеркивать неопределенность величин признаков. Крайне важно выделить их истоки. Причем они таковы, что опрокидывают наши привычные представления. Весьма показательно в этой связи, что в силу неопределенностных характеристик элементарных частиц возникают даже… вселенные. Есть основания полагать, что удивительные возможности способна генерировать также и деятельность людей. Мир насыщен не точными величинами и обязательностью движения по узкому желобу необходимости, а неопределенностью, генерирующей широкий спектр вероятностных событий. Мы живем в удивительном мире, реализующемся благодаря не столько математическим ожиданиям и вероятностям, сколько неопределенности.

Выше были рассмотрены основополагающие концепты, необходимые для анализа добытых в результате эксперимента данных: среднее выборочное значение, математическое ожидание и вероятность. К ним следует добавить дисперсию (от лат. — рассеяние). Дисперсия фХ) величины определяется как квадрат ее отклонения от математического ожидания. Дисперсия необходима в двух отношениях. Во-первых, она позволяет держать в поле внимания исследователя всю совокупность результатов измерения, которая не сводится к математическим ожиданиям. Во-вторых, с опорой на нее можно характеризовать различного рода ошибки.

Анализ экспериментальных данных. Существуют различные пути анализа экспериментальных данных. Полный их перечень выходит далеко за пределы проекта данной книги, поэтому они будут рассмотрены лишь в той степени, которая позволяет прийти к определенным методологическим выводам.

• 1. Факторный анализ и метод главных компонент. В 1901 г. выдающийся английский статистик К. Пирсон предложил метод главных компонент, суть которого состоит в том, что применительно к результатам измерений, представленных на двумерной плоскости, ведется поиск прямой, способной удовлетворять двум условиям. Изменения вдоль нее должны быть максимальными, а в ортогональном направлении, наоборот, минимальными. Главной компонентой считается та, которая отсчитывается вдоль найденной прямой. Такой анализ может быть продолжен, и тогда получают совокупность компонент, ранжированных по степени их актуальности. При желании можно отказаться от рассмотрения тех компонент, которые будут признаны несущественными, и в результате произойдет сокращение (редуцирование) числа переменных. Метод главных компонент прекрасно иллюстрирует основную идею факторного анализа, которая состоит, во-первых, в сокращении данных, а во-вторых, в их классификации.
• 2. Корреляционный анализ. Его назначение заключается в выявлении некоторой связи между статистическими величинами (выборочными средними). Статистический анализ никогда не обходится без выявления корреляционных связей, обычно характеризуемых посредством некоторых коэффициентов корреляции. Установление указанных связей является первым шагом на пути выявления эмпирических законов. Как правило, корреляционный анализ дополняется регрессионным исследованием.
• 3. Регрессионный анализ проводится с целью определения уравнения, объединяющего зависимую переменную У с независимыми переменными Хг Если известна степень зависимости У отХ., то можно предсказать, как ее величина меняется в соответствии с изменениями Хг Не всегда, но наиболее часто линейную регрессию определяют как прямую:

Коэффициенты Ъ{ характеризуют степень вклада независимых переменных в величину У. Но при выборе прямой необходимо использовать некоторый критерий, позволяющий выделить одну функцию из совокупности линейных зависимостей. С этой целью часто используется метод наименьших квадратов, который дает возможность минимизировать сумму квадратов отклонений реально наблюдаемых У от их постулируемых величин.

Метод наименьших квадратов был разработан более двухсот лет назад Карлом Гауссом и Адриеном Лежандром. Как они выяснили, минимизировать нужно именно сумму квадратов отклонений, а не сумму отклонений. Можно показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от выборочного среднего будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Сам концепт выборочного среднего таков, что вызывает к жизни метод наименьших квадратов.

Планирование эксперимента. Процесс познания никогда не начинается с нуля. Это обстоятельство позволяет планировать эксперимент. По сути, в техникологической модели обобщается все доэкспериментальное знание. Оно включает ряд этапов, которые и составляют существо планирования эксперимента.

• 1. Определяется проблема, которая вынуждает обратиться к эксперименту. Очевидно, что эксперимент проводится в связи с желанием выработать новое знание, так как достигнутый ранее уровень знаний не удовлетворяет исследователя.
• 2. Выбираются параметры оптимизации, которые выступают характеристиками поставленной цели. В простейшем случае ограничиваются одним параметром оптимизации. Если их несколько, то, как правило, определяется обобщенный параметр оптимизации, который является функцией от исходных параметров оптимизации.
• 3. Анализируется состав факторов, от которых зависят параметры оптимизации, определяется их список. Факторы делятся на различные уровни. Каждый уровень объединяет класс факторов, не зависящий от другого класса. Так, если сравниваются характеристики трех самолетов, то приходится иметь дело с тремя уровнями факторов. Иногда ряд факторов объединяют в блоки. Основанием для такого объединения является их схожесть по степени влияния на параметры оптимизации. Ради упрощения эксперимента допустимо рассматривать лишь наиболее существенные параметры того или иного блока. Вычленяются главные и второстепенные факторы, определяется степень коррелированности между ними. Ортогональные факторы по определению не зависят друг от друга.
• 4. Определяется число испытаний, которые необходимо провести. Их должно быть достаточно для достижения цели эксперимента. Разработанные в статистике методы позволяют определить их количество.
• 5. Устанавливается выборка данных, которая необходима для нахождения выборочных средних и эмпирических законов.
• 6. Определяются пути обеспечения достоверности данных, возможности повторения эксперимента как самим исследователем, так и другими учеными.
• 7. Анализируются этические и юридические аспекты, поскольку эксперимент должен быть правомерным не только с юридической, но и с этической точки зрения.
• 8. В предварительном плане намечаются возможности корректировки эксперимента в зависимости от получения тех или иных промежуточных результатов.

Планирование эксперимента позволяет перейти к его непосредственной подготовке и проведению, но об этом достаточно было сказано ранее. Мы рассмотрели планирование эксперимента в заключительной части параграфа, поскольку предварительно было необходимо ввести ряд концептов, например о методе главных компонент.

Философское обсуждение индукции. Как правило, эксперимент расценивается в двух качествах: утверждается, что он необходим, во-первых, для проверки существующей и, во-вторых, выработки новой теории. Это, безусловно, актуально, тем не менее основная направленность данного параграфа иная. Мы хотели обратить особое внимание на линию трансдукции, которая достигла индукции. Нам было важно понять представление потенциала первых ступеней внутритеоретической трансдукции на стадии обработки экспериментов. Обсуждалось не соотношение «эксперимент -» теория", а место обработки результатов эксперимента в линии трансдукции.

Эксперимент поставляет факты. Принято считать, что именно факты являются действительно невымышленными объективными событиями; они первичны по отношению к теории, которая необходима для их осмысления. На вопрос: «Что именно существует?» отвечают: «Факты». Но существуют ли принципы, законы, модели? Фактуалисты признают существование указанных концептов лишь в случае, если они сводятся к фактам. Законы, утверждают они, выражают связь фактов. Однако фактуалисты абсолютизируют значимость фактов, и потому считают их первичным звеном во всех концептуальных построениях. Мы предлагаем считать факты промежуточным, а не первичным или заключительным звеном внутритеоретической трансдукции. Линия трансдукции от фактов ведет исследователя дальше. «К чему?» — вот ключевой вопрос обсуждаемой проблематики.

Мы предлагаем считать, что фактуальный анализ как этап трансдукции ведет к референтам (от лат. — докладывать, сообщать), под которыми понимаются объекты, выделенные на стадии индукции. Факт — составляющая эксперимента (аддукции). Референт — индукционный компонент, который на стадии эксперимента не существует. Референты, индуктивные законы и принципы — звенья индуктивного анализа, без которого они не могут быть ни выведены, ни осмыслены. Лишь после всестороннего анализа референции можно сказать, что же действительно существует. Как известно, вопрос о существовании реальности считается предметом онтологии (от греч. о л — сущее).

Теоретическая разработка проблемы онтологической относительности Уиллард Куайн, патриарх американской аналитической философии, пришел к трем актуальным выводам касательно онтологических проблем.

• 1. Все объекты теоретичны. Имеется в виду, что знания об объектах мы черпаем из теории. Что именно представляют собой объекты, исследователи узнают из теорий.
• 2. Существовать — значит быть значением переменной. Что именно признается существующим? То, что присутствует в универсальных научных законах, которые, как известно, записываются посредством переменных. Но отсюда как раз и следует вынесенное в начало абзаца положение.
• 3. Референция непостижима4. Референция как обозначение объектов словами и другими знаками кажется вполне очевидной операцией, однако выясняется, что это не так. Даже в случае остенсивного определения, т. е. указывания пальцем на что-либо, не ясно, на что именно указывается: то ли на все тело, то ли на его часть. Многим словам, в частности союзам, предлогам, междометиям, остенсивные определения вообще противопоказаны. Итак, референция как самостоятельный акт, не опосредованный языком, в принципе невозможна.

Выводы У. Куайна во многом правильны, однако не лишены некоторых изъянов. Теории действительно поставляют знания об объектах, но необходимо также учитывать относительную самостоятельность объектов. Сами объекты не детерминируются теориями, а связь между объектами, ментальностью и языком не имеет причинного характера. Переменные, фигурирующие в законах, действительно имеют прямое отношение к признакам объектов. Но, рассуждая о реальности, недостаточно всего лишь подчеркивать связь переменных с признаками объектов. Поступая таким образом, можно пройти мимо и интервальных величин, и выборочных средних, и неопределенностей.

Существует то, что выявляется в процессе референции, однако Куайн считал референцию непостижимой. Такой вывод стал результатом чрезвычайно обедненного представления о референции, понимаемой как обозначение знаками объектов и их признаков. Между тем референцию следует понимать как этап индукции, и тогда ее содержание нетривиально, а сама она вполне возможна. Более того, без референции нельзя понять смысла теории, в том числе ее законов. Референциальный анализ показывает, что в принципы и законы входят особые переменные — выборочные средние, в том числе вероятности и неопределенности. Короткое выражение «существуют объекты и их признаки» дает лишь первое представление о реальности. Существуют и принципы, и законы, и объекты с их признаками, но при этом нелишне специально выделить статистические особенности признаков. Триумф в постижении реальности недостижим без выработки модели, последующего планирования эксперимента, проведения измерений, наконец, интерпретации полученных данных, что и выступает как референция.

Разумеется, в каждой науке референция имеет свои особенности. Техникология, как известно, входит в число прагматических наук, а согласно широко распространенному мнению референция относится только к семантическим наукам. В прагматических дисциплинах речь идет не о том, что есть, а о том, что будет. Референция якобы соотносится лишь с тем, что есть, следовательно, для прагматических дисциплин концепт референции чужд. Однако в приведенной аргументации не учитывается важнейшее обстоятельство: первоначально концепт референции был разработан применительно к естествознанию. В дальнейшем, вслед за развитием прагматических наук, этот концепт предстояло обобщить, что, по сути, не было сделано, в силу чего и возникла некоторая концептуальная сумятица. Нам представляется, что концепт референции остается в силе и в области прагматических наук. Техникологическая реальность — это реальность техникологических ценностей и всего того, что с ними связано. В частности, она включает ожидания по поводу достижения тех или иных полезностей.

Выводы.

• 1. Индукция — актуальная фаза концептуальной трансдукции.
• 2. Индукция осуществляется посредством статистического анализа, при этом решающее значение имеют корреляционный и регрессионный анализ.
• 3. В индукции происходит выделение референтов и индуктивных законов, а также принципов.