Методы расчета рисковой надбавки

Основное правило назначения страховых премий, как мы уже неоднократно отмечали, — соблюдение принципа эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и страхователя, в силу которого РП вычисляется как ожидаемый средний размер ущерба. Однако РП полностью не отражает эквивалентность обязательств страховщика и страхователя. В среднем согласно этому принципу страховщик и страхователь платят одну и ту же сумму, но страховая компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, возможно, придется выплатить сумму, значительно большую, чем математическое ожидание ущерба М (Х).

На практике страховые портфели всегда имеют ограниченный объем и остаются зависимыми от случайности, несмотря на коллективный баланс и закон больших чисел. Более того, абсолютный разброс совокупного убытка вокруг своего математического ожидания увеличивается с ростом объема портфеля, хотя и медленнее, чем само математическое ожидание. Даже если бы все распределения были известны, совокупный убыток по-прежнему оставался бы недетерминированным — в этом заключается риск случайности, сопровождающий деятельность любой страховой компании^[1]. Кроме того, ни одна страховая компания нс защищена еще от двух специфических страховых источников неопределенности.

Математическое ожидание совокупного убытка неизвестно ни для одиночного риска, ни для портфеля в целом и должно оцениваться на основании страховой статистики. Получаемая оценка в той или иной мере всегда отклоняется от истинного значения, как это делает любая статистическая оценка любого параметра распределения. Этот источник неопределенности называется риском оценки, риском диагноза, или риском заблуждения^[2].

Но и возможность точного диагностирования случайной закономерности прошлого не исключает угрозы (всегда существующей в реальности), по крайней мере, частичного изменения этой закономерности в ближайшем будущем (например, по причине инфляции), как любой оценки прогнозирования. А так как премия — цена потерь от риска — всегда устанавливается заранее (и почти никогда дополнительных (последующих) платежей не предусматривается), возникает третий источник неопределенности, называемый риском прогноза, или риском изменчивости. Три источника неопределенности: риск случайности, риск оценки и риск изменчивости — могут быть только мысленно отделены друг от друга; они всегда действуют совместно и в совокупности называются техническим страховым риском (рис. 2.7). Это название отделяет неопределенности, характерные только для страхового бизнеса, от прочих рисков, связанных с любым экономическим предприятием.

Рис. 2.7. Структура рисков страховщика.

Итак, технический страховой риск заключается в отклонении фактического годового совокупного убытка от своего ожидаемого (прогнозного) значения.

Страховщик сможет выполнить свои обязательства, если фактическая сумма выплат будет равна математическому ожиданию ущерба или будет меньше его. Однако противоположная ситуация — превышение математического ожидания ущерба — может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого используется рисковая, или гарантийная, надбавка (PH) (loading).

Гарантийной она называется потому, что поддерживает капитал, обеспечивающий надежность страховой компании, гарантирует неразорение страховщика, а рисковой потому, что связана с риском страховой компании, так же как и вторая составляющая нетто-премии — рисковая премия.

Задача PH — обеспечение безубыточности страхования и повышение финансовой устойчивости страховой компании.

Размер рисковой надбавки в совокупности с рисковой премией, как уже было отмечено ранее (см. рис. 2.1), составляет нетто-премию:

(2.10).

Отношение рисковой надбавки к величине рисковой премии называют относительной рисковой надбавкой:

(2.11).

Она показывает, какую долю составляет рисковая надбавка в рисковой премии, и может выражаться в процентах.

Как правило, 50−60% доли риска страховщика покрывает РП, 10−20% - PH (в зависимости от вида страхования и за счет использования перестрахования и собственных средств страховой компании можно обеспечить надежность страхования до 99%. Необходимо отметить, что страхование никогда не может по своему смыслу и принципам обеспечить 100%-ю вероятность неразорения — для этого надо было бы собирать нетто-премии, равные суммарным страховым суммам.

Выбор PH — это поиск компромисса между повышением надежности и повышением конкурентоспособности страховой компании.

Размер PH зависит от количества договоров (объема) в портфеле страховой компании. Чем он больше, тем компания устойчивее и тем меньшую РП она может себе позволить. Крупная страховая компания может поддерживать высокую конкурентоспособность, уменьшая надбавку практически без ущерба надежности (см. пример 2.4).

Рассмотрим основные методы расчета рисковой надбавки в нетто-премии^[3].

1. Принцип математического ожидания (expected value principle):

Нетто-премия рассчитывается путем умножения рисковой премии на некоторый поправочный коэффициент (1 +а), больший единицы, т. е. рисковая надбавка пропорциональна самой РП:

Недостаток данного метода, прежде всего, заключается в отсутствии учета разброса (дисперсии) ущерба по различным рискам. Применим для расчета нетто-премий по рискам с существенно различными средними значениями ущерба, но близкими дисперсиями.

2. Принцип дисперсии (variance principle):

К нетто-премии добавляется рисковая надбавка, пропорциональная дисперсии ущерба.

3. Принцип среднего квадратического отклонения (СКО) (standard deviation principle):

К рисковой премии добавляется рисковая надбавка, пропорциональная СКО.

Различие второго и третьего подходов заключается в том, что для полностью зависимых рисков X, и X-, надбавка, основанная на СКО, обладает свойством аддитивности, а надбавка, основанная на дисперсии, не обладает. Для независимых рисков Х{ и Х2 имеет место противоположная ситуация.

Затем в актуарных исследованиях пришли к компромиссному выводу, что следует включать обе составляющие — либо просто построив их линейную комбинацию, либо введя надбавку ковариационного типа.

4. Принцип дисперсии и СКО:

Принцип основан на комбинировании двух предыдущих подходов, надбавка представляет собой линейную комбинацию СКО и дисперсии.

5. Принцип па основе ковариации.

В данном случае рассматривают существующий портфель риска X и новый риск Х{, принимаемый на страхование. Тотда премия за новый риск Xt будет равна:

Основная сложность такого подхода — необходимость установления характера зависимости между существующим портфелем и новым риском.

Принцип ковариации имеет практическое применение при страховании крупных промышленных рисков, где проверка, не содержатся ли в ранее сформированном портфеле элементы нового риска, имеет решающее значение^[4].

6. Принцип конструирования:

Нетто-премия представляет собой линейную комбинацию из математического ожидания, дисперсии и СКО ущерба. Коэффициенты ?,? и? рассчитываются на основании статистических данных предыдущих периодов.

7. Показательный принцип (exponential principle):

Параметр ?>0 называют коэффициентом несклонности к риску. С ростом коэффициента, а премия возрастает. При стремлении параметра сс->0 — премия равна НП, а при стремлении а-" 00 — премия равна максимальному значению случайной величины X.

??•(?) = М (еаХ) — производящая функция моментов случайной величины X^[5], аргументом которой является, а (см. раздел 3.2.2).

8. Квантильный принцип (принцип доверительного оценивания) (persentile principle):

(2.12).

где F 1 — обратное преобразование F (x), т. е. такое х, при котором F (x) = Р (Х < х) = 1 — ?.

Задается уровень надежности (1 — ?) (неразорения страховой компании), и рассчитывается правая граница доверительного интервала совокупного ущерба во всем портфеле, которая не превышается с заданной вероятностью (квантиль уровня 1 — ?). Исходя из значения математического ожидания ущерба и правой границы доверительного интервала, определяют суммарную PH.

9. Принцип максимально возможного риска:

Этот способ может быть использован только в случае наличия конечного максимального значения страхуемого риска.

10. Принцип Эшера (Esscher principle):

h является параметром. Эта премия совпадает с рисковой премией для риска Y, производящая функция моментов которого связана с производящей функцией X (так называемое преобразование Эшера):

который получается из X увеличением больших значений случайной величины X и уменьшением малых. При расчете НП i аким способом вероятность малых значений уменьшается за счет увеличения вероятности больших значений, в итоге формируется «безопасная» для страховщика премия, гарантирующая покрытие больших рисков.

11. На основе функции нулевой полезности (zero utility premium)^[6]:

Соответствующая премия определяется из решения приведенного уравнения, где U (x) — функция полезности лица, принимающего решения, полезность его текущего капитала плюс х. Значение U (0) равно полезности текущего капитала, а ?/(?? — X) представляет полезность после того, как за страхование риска X назначена премия НП. Найденную из приведенного уравнения полезности НП называют премией нулевой полезности. Вся сложность применения данного метода заключается в подборе функции U (x), она, как правило, неубывающая и выпуклая вверх. Более подробно с теорией полезности ознакомимся в параграфе 2.7.

Как отмечается во многих актуарных работах, нет единственного и самого лучшего метода расчета рисковой надбавки, каждому виду риска актуарий должен подобрать наиболее адекватный метод, отражающий особенности портфеля договоров с таким риском.

Свойства премий. Сформулируем пять желательных свойств нетто-премий:

1) неотрицательность рисковой надбавки — премия без надбавки достоверно приведет к разорению:

2) отсутствие переоценки — нетто-премия должна быть меньше или равна правой границе доверительного интервала суммарного ущерба при уровне надежности 1:

3) согласованность — если потери увеличатся на величину с, то премия должна увеличиться на ту же величину независимо от размера с:

4) аддитивность — для независимых рисков Аг, и Х2 их объединение в один портфель не меняет суммарной премии:

5) возможность последовательного вычисления — премию риска X можно вычислить в два приема. Сначала делаются расчеты для условного распределения случайной величины ущерба X при заданном значении выплат Y=y (получится функция от у, сама являющаяся случайной величиной НП (ХI У)), затем те же расчеты применяют к полученной случайной величине:

При таком последовательном нахождении результат вычисления премии будет таким же, как и при прямом.

• [1] Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: ОлимпБизнес, 2005.
• [2] Мак Т. Указ. соч.
• [3] Каас Р., Гувертс М., Дэпэ Ж., Денут М. Современная актуарная теория риска / пер. с англ. М.: Янус-К, 2007; Dickson David С. М. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University press, 2005; Корнилов И. А. Указ. соч. 2004.
• [4] Корнилов И. А. Указ, соч., 2004.
• [5] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: ЛИБРОКОМ, 2010; Хамитов Г. П. Производящие функции в теории вероятностей. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.
• [6] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: ЛИБРОКОМ, 2010; Хамитов Г. П. Производящие функции в теории вероятностей. Новосибирск: Издательство СО РАН, 1999.