Распределение Пуассона. 
Теория статистики

Распределение вероятностей дискретной величины может выражаться схемой случаев Бернулли, которая рассчитывается как сумма вероятностей наступления исследуемого события и называется биномиальным распределением. На практике данный вид распределения используется, например, в аудиторском деле, когда при проверке строят распределение счетов по доле ошибок.

Предельный случай биноминального распределения для дискретной величины, когда за определенный интервал времени проводится много независимых друг от друга наблюдений и вероятность событий в каждом из них достаточно невелика, называется распределением Пуассона. Данный вид распределения рассматривает потоки событий, последовательность которых может лежать не только на числовой оси, но и на плоскости и в пространстве. Известно, например, что распределение Пуассона используется в страховых компаниях для актуарных расчетов.

Распределение Пуассона называют распределением редких явлений, оно наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N > 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Распределение Пуассона также относится к числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение. Примерами переменных, распределенных по закон}' Пуассона, могут служить число дефектов в производственном процессе, число отказов технологического оборудования и т. д.

Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер, где по мере увеличения значений признаков частоты резко уменьшаются и х_ср = а². Распределение Пуассона определяется формулой.

где а — средняя арифметическая ряда (х = а).

На рис. 5.3 представлен график распределения Пуассона.

Теоретические частоты для распределения Пуассона рассчитывают по формуле.

где N — число единиц в изучаемой совокупности; а — средняя арифметическая ряда.

Теоретические частоты для распределения Пуассона определяют в следующем порядке: сначала, но эмпирическим данным определяют среднюю арифметическую ряда, затем по таблицам определяют значения е ^а и вычисляют теоретические частоты для каждого значения признака. Полученные теоретические значения округляют до целых чисел.

Поскольку областью определения распределения Пуассона является множество целых неотрицательных чисел, то если случайная величина принимает дробные или отрицательные значения, ее распределение заведомо нельзя выравнивать распределением Пуассона. Характерным признаком применимости распределения Пуассона в качестве модели случайной величины с заданным эмпирическим распределением является отсутствие существенного различия между эмпирическими значениями средней и дисперсии.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. Экспоненциальное распределение часто используется для описания интервалов между последовательными случайными событиями, например интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла. Это распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X — параметр экспоненциального распределения.

На рис. 5.4 представлен график плотности экспоненциального распределения.

Рис. 5.4. Кривая экспоненциального распределения.

где N — объем совокупности; h_k — длина интервала; е — основание натурального логарифма; К — условные отклонения середин классов: