Методы решения нестандартных задач

Русский филолог Дмитрий Николаевич Ушаков в своём толковом словаре даёт такое определение понятия «метод» — путь, способ, прием теоретического исследования или практического осуществления чего-нибудь (Д. Н. Ушаков, 2000).

Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые мы считаем на данный момент нестандартными? Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Некоторые учителя натаскивают в шаблонных упражнениях. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученик повторяет это при решении задач многократно. При этом убивается интерес учащихся к математике, что, по меньшей мере, печально.

В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как «вызов интеллекту, и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия, в развитии творческих способностей» [8, с. 32].

Рассмотрим, несколько методов решения нестандартных задач:

• · алгебраический;
• · арифметический;
• · метод перебора;
• · метод рассуждения;
• · практический;
• · метод предположения.

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

• · провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;
• · найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;
• · найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Например, о поисках основания для соединения двух алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом возможности соединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в… раз» и т. п.). Далее требуется понимание, каким именно математическим действием или, свойством действия или какой связью (зависимостью) между компонентами и результатом действия может быть описано то или иное конкретное отношение.

Приведём пример решения нестандартной задачи алгебраическим методом.

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста — 1 кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?

Решение.

Пусть х кг — масса туловища; тогда (1+½х) кг — масса головы. Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем и решаем уравнение:

х = 1 + ½х + 1,.

х — ½х =2,.

х/2 = 2,.

х = 4.

4 кг — масса туловища, тогда 1+½ • 4=3 (кг) — масса головы и 3+4+1=8 (кг) — масса всей рыбы;

Ответ: 8 кг.

Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию.

Рассмотрим пример решения нестандартной задачи арифметическим методом:

Задача. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?».

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», — ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», — подсчитал второй. Мы сосчитали, а теперь посчитайте вы.

Решение.

Построим схему к задаче. Обозначим первым отрезком схемы количество рыбы у первого рыбака. Вторым отрезком обозначим количество рыбы у второго рыбака.

В связи с тем, что современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике, в школьный курс математики вводят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, в которых удобно разбираться при помощи метода перебора.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это» [6, с. 21].

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Условно эти методы можно разделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат — это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Этот метод доступен даже младшим школьникам, и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

• 1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.
• 2. Задачи, в которых использовать приём полного перебора нецелесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).
• 3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Приведём соответствующие примеры задач:

Задача. Расставляя знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Решение.

Проводится полный перебор вариантов:

• а) два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем:
  • 9 + 2 + 4 или 9 — 2 — 4;
• б) два знака могут быть разными, тогда получаем:
  • 9 + 2 — 4 или 9 — 2 + 4.

Задача. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Решение.

Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами — на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Задача. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Решение.

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому — 1 и 2 ключи, второму — 1 и 3 ключи, третьему — 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

При отборе комбинаторных задач нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Желательно, чтобы задачи не выглядели искусственным, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Можно для составления задач использовать практический материал из жизни.

Встречаются и другие задачи, которые можно решить методом перебора.

В качестве примера решим задачу: «Маркизу Карабасу было 31 год, а его молодому энергичному Коту в Сапогах 3 года, когда произошли известные по сказке события. Сколько лет произошло с тех пор, если сейчас Кот в три раза младше своего хозяина?» Перебор вариантов представим таблицей.

Возраст Маркиза Карабаса и Кота в Сапогах.

14 — 3 = 11 (лет) Ответ: 11 лет прошло.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может.

Эту задачу можно решить и алгебраическим методом.

Пусть Коту х лет, тогда Маркизу 3х, исходя из условия задачи, составим уравнение:

• 3х — х = 28,
• 2х = 28,

х = 28: 2,.

х = 14.

Коту сейчас 14 лет, тогда прошло 14 — 3 = 11(лет).

Ответ: 11 лет прошло.

Метод рассуждений можно использовать для решения математических софизмов.

Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводятся к следующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Раскрыть софизм — это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была создана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме — это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Помимо критичности математического мышления этот вид нестандартных задач выявляет гибкость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого строго логичного на первый взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ошибочным и делает ошибочным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность и критическое отношение к тому, что изучается.

а) Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Докажем, что 2 • 2 = 5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4: 4 = 5: 5 (1).

Вынесем за скобки общий множитель в левой и правой частях, получим:

4 • (1: 1) = 5 • (1: 1) (2).

Числа в скобках равны, значит, 4 = 5 или 2 • 2 = 5.

Решение.

В рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

б) Софизм с использованием «незаконных» обобщений.

Имеются две семьи — Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек — отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Единственный сын Ивановых не знает единственного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Верно ли это?

Решение.

Если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Например, отец Иванов может знать мать и сына Петровых.

Метод рассуждений можно использовать и для решения логических задач. Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решаются с помощью одних лишь логических операций. Иногда решение их требует длительных рассуждений, необходимое направление которых заранее нельзя предугадать.

Задача. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей — «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной — «Здесь сидит змея». Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой — змея, а третья — пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Решение.

Так как все надписи на коробочках неверны, то в красной коробочке лежит не золотой ключик, зеленая коробочка не пустая и в ней не змея, значит в зеленой коробочке — ключик, в красной — змея, а синяя — пуста.

При решении логических задач активизируется логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой.

Ребус — это загадка, но загадка не совсем обычная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и различных знаков. Чтобы прочесть то, что зашифровано в ребусе, надо правильно назвать все изображенные предметы и понять, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Например, вожди одного племени послали однажды своим соседям вместо письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это означало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мыши, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы засыпим вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Решение.

Судя по первой букве суммы 1), Д = 1 или 2.

Предположим, что Д = 1. Тогда, У? 5. У = 5 исключаем, т.к. Р не может быть равно 0. У? 6, т.к. 6 + 6 = 12, т. е. Р = 2. Но такое значение Р при дальнейшей проверке не подходит. Аналогично, У? 7.

Предположим, что У = 8. Тогда, Р = 6, А = 2, К = 5, Д = 1.

Магический (волшебный) квадрат — это квадрат, в котором сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали получается одинаковой.

Задача. Расположите числа от 1 до 9 так, чтобы по вертикали, горизонтали и диагонали получилась одинаковая сумма чисел, равная 15.

Решение.

Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому эти задачи и называются нестандартными), однако мы постарались дать ряд общих указаний — рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач разных видов.

Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

• · умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;
• · умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;
• · умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;
• · умения записывать ход решения и ответ задачи;
• · умения проводить дополнительную работу над задачей;
• · умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: «Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?».

Практический метод можно рассмотреть для нестандартных задач на деление.

Задача. Палку нужно распилить на 6 частей. Сколько потребуется распилов?

Решение: Распилов потребуется 5.

При изучении нестандартных задач на деление надо понять: чтобы разрезать отрезок на Р частей, следует сделать (Р — 1) разрез. Этот факт нужно установить с детьми индуктивным путём, а затем использовать при решении задач.

Задача. В трёхметровом бруске — 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Сколько надо сделать разрезов?

Решение: Получаем 6 брусков 300: 50 = 6 (брусков) Рассуждаем так: чтобы разделить брусок пополам, т. е. на две части, надо сделать 1 разрез, на 3 части — 2 разреза и так далее, на 6 частей — 5 разрезов.

Итак, надо сделать 6 — 1 = 5 (разрезов).

Ответ: 5 разрезов.

Итак, одним из основных мотивов, побуждающих школьников учиться, является интерес к предмету. Интерес — это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним. Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Под нестандартной задачей понимают такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Решение таких задач позволяет учащимся активно включиться в учебную деятельность. Существуют различные классификации задач и методов их решения. Самыми часто используемыми являются алгебраический, арифметический, практический методы и метод перебора, рассуждения и предположения.