Типы математического мышления

Число, место и комбинация — три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи.

Джеймс Сильвестр

Математикам хорошо известны общие типы мышления: логический и интуитивный, алгебраический и геометрический, аналитический и синтетический. Не вызывает сомнений существование комбинаторного, вычислительно-алгоритмического, топологического и порядкового стилей математического мышления.

В математике сосуществуют два ярко выраженных типа мышления — алгебраический и топологический (геометрический). Алгебраический тип мышления соответствует числовой, вычислительной, алгоритмической линии развития математической науки. Он ближе к формальной логике, аналитике и аксиоматике, чем к интуиции, ближе к количественному подходу в сравнении с топологическим, синтетическим направлением. Наоборот, топологический тип мышления ближе к образному мышлению, пространственным представлениям, наглядной интуиции. Как выяснили физиологи, за логическое, понятийное мышление «отвечает» левое полушарие головного мозга человека, а за интуитивное, образное мышление — правое полушарие. Логическое — это вербальное, интуитивное — визуальное. Само логическое мышление может носить как классический, так и конструктивистский характер.

Математические «пристрастия» мышления человека можно классифицировать также согласно архитектуре самой математики (см. § 14). Тогда наряду с алгебраическим и топологическим типами мышления следует выделить и порядковый тип мышления. Этот тип мышления отчетливо проявляется в теоретико-решеточном подходе к изучению математических объектов. Свойства математического объекта описываются в терминах решетки его подобъектов или решетки его естественных разбиений (конгруэнций). Такой подход особенно распространен и плодотворен в современной алгебре. Скажем, группы изучаются с помощью решетки своих подгрупп или решетки нормальных подгрупп.

Нужно отметить, что значимыми предпосылками формирования индивидуального типа (стиля) мышления математика выступают априорности, неявное знание и его личный математический опыт.

Остановимся на двух принципиально различных типах математического видения мира — классическом и неклассическом. Все досягаемое и наблюдаемое человеком, т. е. так или иначе ощущаемое Бытие и познаваемое сущее, будем называть Универсумом. Универсум содержит всю наличную действительность: физическую реальность (природа); человеческое общество (социум); человеческое сознание, включая идеальный мир знания и веру. Вопрос в том, является ли этот Универсум вполне определенной объективной данностью, данностью познаваемой и достаточно адекватно описываемой, или не является таковой. Классический подход подразумевает положительный ответ на него. Универсум — это мир, живущий и изменяющийся (развивающийся или деградирующий) по непреложным законам, которые должна открывать наука. Метафизически осмысленная и синтезированная совокупность таких законов превращается в научное мировоззрение, основные положения которого составляют научную картину Универсума. И Универсум как объект человеческого познания не допускает произвола и плюрализма мнений. При классическом видении мира Универсум возвышается, а субъект умаляется.

Неклассическое (тем более постнеклассическое) видение мира фактически пренебрегает «самостью» Универсума, делая его заложником «органов» познания субъекта. Субъект, то или иное сообщество людей конструирует и конституирует свой Универсум или его фрагменты. Упор делается на процедурах — программах и алгоритмах — познания. Получаются разные «миры», пригодные к употреблению в некоторых ограниченных ситуациях. Несколько огрубляя положение дел, можно сказать, что неклассический подход абсолютизирует субъективную сторону познания, а классический подход абсолютизирует объективную познаваемость Универсума.

Являются ли пространство, время, логика реальными (бытийными или идеальными) атрибутами Универсума? Классическая парадигма опирается на реалистические представления, согласно которым мы живем в однородном трехмерном пространстве, движемся в однонаправленном потоке событий, мыслим понятиями обычной двузначной логики. Геометрия нашего пространства евклидова, логика аристотелева, моделью времени служит числовая прямая.

Но в XIX веке были открыты неевклидовы геометрии, в XX веке — неклассические логики. Созданы различные теории времени. Если пространство, время и логика суть реальные атрибуты Универсума, то какова их подлинная «математика»? Неклассическая парадигма отрицает «наивный классицизм», приписывая пространству, времени и логике либо неклассические математические свойства, диктуемые успешностью их применений (скажем, в общей теории относительности и квантовой механике), либо плюралистическую неопределенность, либо роль удобных соглашений (конвенций), не имеющих онтологического статуса. Нам ближе классический образ Универсума, хорошо согласующийся с повседневной практикой, здравым смыслом и простотой восприятия.

В подтверждение нашей точки зрения приведем размышления А. Ю. Грязнова — автора содержательной статьи «Абсолютное пространство как идея чистого разума» [164]. Он отмечает, что И. Кант «интерпретирует созерцаемое пространство как априорную форму чувственности познающего объекта, а абсолютное пространство — как связанную с этой формой идею чистого разума, выступающую в качестве регулятивного принципа расширения в бесконечность чистого пространственного созерцания». Пространство Канта метрически совпадает с абсолютным пространством Ньютона. А геометрия воспринимаемых в своей протяженности вещей является евклидовой. Кант считает, что евклидова геометрия внутренне присуща разумным существам.

Развивая позиции Канта, А. Ю. Грязнов пишет, «что нельзя построить неевклидову геометрию, не используя евклидову интуицию пространства (как априорную форму чувственности), которая работает не только при построении геометрии Евклида, но и при построении неевклидовых геометрий». И далее: «Наивно полагать, что учение Канта об априорности наших представлений о пространстве и времени однозначно опровергается развитием математики и физики в XIX— XX вв.» [164, с. 145].

Мы не будем затрагивать вопросы о методах и формах математического мышления. О них неплохо сказано в многочисленной методикоматематической литературе. Отсылаем читателя к этим источникам. Понятию стиля математического мышления посвящен отдельный сборник работ [517].

Литература: [41, 44, 45, 110, 111, 155—157, 164, 195, 218, 266— 268, 300, 314, 351—355, 376, 392, 399, 402, 418, 421, 427—429, 439, 440, 455, 479—483, 487, 493, 500, 505, 507, 517, 520—522, 528, 529, 536, 576, 577, 589, 604, 605, 611, 618, 625, 626, 633].