Применение спектрального метода

Спектральный (частотный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частотных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное колебание или, соответственно, импульс, пройдя через четырехполюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время t₀ запоздал во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма импульса (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса (колебания) на входе. Недопустимость изменения формы импульса (колебания) следует из того, что именно в форме импульса (колебания) заключена информация, которую он несет.

Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной функцией К (/со) = ЖаОе/фМ при нулевых начальных условиях воздействует сигнал /_: (О, имеющий спектр S_BX(/co). На выходе четырехполюсника появится сигнал /₂ (О, спектр которого.

где S_BX(j (o) = J f^e-^dt.

Так как сигнал /ДО может отличаться от сигнала/_х(0 по значению (по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время t₀, но по форме должен быть таким же, как и/-ДО, то можно записать, что /₂(0 = а/Дг — t₀).

Если к функции/₂(0 применить преобразование Фурье, то окажется, что спектр функции/₂ (0 равен.

Сравнивая (9.19) и (9.20), замечаем, что.

Следовательно, для прохождения импульса или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент ср (со) = -соt₀ линейно изменялся в функции частоты (рис. 9.2, а).

В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выполнены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую называют.

полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значениями со, при которых отношение максимального значения К (со) к минимальному равно V2 (рис. 9.2, б). Такой характеристикой обладает, например, схема на рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно полагают, что К (со) = const; ср (со) = -cot₀.

Рис. 9.2.

Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от со = 0 до со = 2n/t_H, где ?_и — длительность импульса.

Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть энергии сигнала (например, 90% энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0 1 /?_и.

Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на частотных представлениях.

Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и обратного преобразований Фурье.

Основные этапы этого способа таковы:

• 1) нахождение спектра 1/₁(/со) входного сигнала u_:(t);
• 2) определение передаточной функции четырехполюсника K (jod);
• 3) получение спектра выходного сигнала Н₂(/ш) = Kijo^U^wi);
• 4) вычисление и₂(0 по Н₂(/со).

Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы (9.15), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изображения по Лапласу, заменив ;'w на р в [/₂(/оо).

Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи операторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным, поскольку решение излишне громоздко, и, пользуясь им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформацию фронта, какие — на деформацию вершины импульса.

В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных представлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется свойствами передаточной функции на низких частотах (теоретически на частотах, близких к нулю). Эти положения соответствуют предельным теоремам операторного метода (см. параграф 8.40).

Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на искажение формы импульса, прежде всего составляют полную схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы, влияющие на частотные свойства (паразитные емкости ламп, импульсных трансформаторов, индуктивности рассеяния трансформаторов, емкостные свойства р—п-переходов транзисторов, зависимость коэффициентов усиления транзисторов от скорости процесса (от частоты со)).

Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схемы. Первая схема представляет собой расчетную схему для высоких частот и позволяет определить степень искажения фронта импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания последовательно включенных конденсаторов по пути следования сигнала (относительно больших по сравнению с паразитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных параллельно резистивным элементам схемы.

Вторая схема представляет собой расчетную схемы для низких частот и служит для выяснения степени деформирования вершины импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, оставляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути следования сигнала, а также индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные элементы по пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочастотной схеме не учитывают.

В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, рассмотренных в параграфе 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и конденсаторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения.

Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывается часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому влияние каждого из элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть выявлено относительно легко. Расчет переходного процесса в высокочастотной и низкочастотной схемах проводят обычно операторным методом.

Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) получают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего фронта импульса принципиально решается так же, как и вопрос об искажении переднего фронта импульса.

Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изображена схема лампового усилителя, где R_H — нагрузочное сопротивление; С_р — относительно большая разделительная емкость (через нее проходит только переменная составляющая выходной величины); С₂ — относительно малая емкость нагрузки и (или) емкость второго каскада усиления. Штриховой линией показаны источник анодного напряжения Е_н и малые по сравнению с С_р (по нескольку пикофарад) межэлектродные емкости анод — сетка С_а__с, сетка — катод С_с__к и С₁ (емкость анод — катод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости С_с__а и С_с__к не учитываем, как оказывающие малое влияние на работу схемы.

Рис. 9.3.

Схема замещения для расчета переходного процесса при воздействии относительно малых по амплитуде переменных составляющих представлена на рис. 9.3, б. Она является схемой третьего порядка. Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 9.3, в) и вершины импульса (рис. 9.3, г) являются схемами первого порядка.

Для схемы на рис. 9.3, в

где g_3l = — + — +—.

^OJ1 р D D.

Kj к_а к_н

Для схемы на рис. 9.3, г

Если входное напряжение представляет собой прямоугольный импульс (рис. 9.3, д), то фронт выходного напряжения будет в виде нарастающей экспоненты (рис. 9.3, е), а вершина — в виде спадающей экспоненты (рис. 9.3, ж). Результирующая кривая п_вых изображена на рис. 9.3, з. Подбор параметров усилителя осуществляют, исходя из допустимой деформации фронта и вершины выходного импульса по сравнению с входным импульсом.