Решение задач по электромеханике

Задача 1.

Построить график обмоточной функции однофазной обмотки, имеющей W витков. Написать уравнение для амплитуд обмоточных функций основной и 3-й гармоник. Найти процентное отношение между ними.

Исходные данные:

• — Число полюсов 2р = 4;
• — Характеристика обмотки — 3 паза на полюс.

Решение Для осуществления вращательного движения электрические машины выполняются в виде концентрических магнитных цилиндров с проводниками, расположенными по сторонам общего воздушного зазора между цилиндрами (рисунок 1, а).

Магнитная проницаемость материала цилиндров (ротора и статора) по сравнению с магнитной проницаемостью воздуха (зазора) бесконечно велика;

Обмотка состоит из проволочных катушек, помещенных на поверхности статора таким образом, что аксиальный ток на каждой поверхности равен нулю. Это означает, что число «точек» и «крестов», показывающих направление тока в проводниках, должно быть одинаковым.

Обмотка (рисунок 1, а) состоит из 2-х катушек, смещенных на 180_эл градусов (). Число витков в катушке равно трем (3 паза на полюс). Определим закон изменения магнитного поля в зависимости от угла .

На основании закона полного тока.

и учитывая, что для участков контуров, которые проходят по стали (b-c, d-a), поскольку, для любого замкнутого контура (a-b-c-d) можно записать:

(1).

Это уравнение справедливо для любой точки воздушного зазора с координатой. Так как все контуры, проходящие через воздушный зазор, замыкаются в точке с координатой = 0, то Н (0) присутствует в каждом уравнении и, следовательно, может считаться константой.

В соответствии с законом Гаусса (закон непрерывности потока) полный магнитный поток, пересекающий замкнутую поверхность, должен быть равен нулю.

Для нашего случая это означает, что полный поток, выходящий из статора и пересекающий воздушный зазор, равен нулю. Следовательно, средняя величина Н () = 0.

Таким образом, для получения средней величины Н (), равной нулю, кривую Н () необходимо сделать симметричной оси .

Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре будет иметь вид, показанный на рисунке 1, б.

Запишем (1) для произвольной обмотки в виде:

(3).

где n () — результирующее количество проводников с положительным для принятого направления обхода контура током, заключенных между началом отсчета и произвольной осью, положение которой определяется углом .

Решив уравнение (3) относительно Н (), найдем:

(4).

Воспользуемся уравнением Гаусса для поверхности ротора, примыкающей к воздушному зазору. Поскольку Н () нормальна к площади элементарного участка этой поверхности, скалярное произведение двух векторов, можно получить:

(5).

Подставив Н () из (4), после преобразований получим.

(6).

(7).

(8).

(9).

Обозначив, получим уравнение для напряженности магнитного поля в воздушном зазоре:

(10).

Величина N () называется обмоточной функцией. Ее можно получить путем подсчета проводников с током и последующего приведения результата на интервале к нулевому среднему значению.

Для приближения формы пространственного распределения распределения к синусоидальному витки четырехполюсной обмотки распределены в 12 пазах, то есть на каждый полюс приходится 3 паза. Поэтому получаем ступенчатую обмоточную функцию (рисунок 2).

— число пазов, приходящихся на один полюс.

Где w = 6 — число витков обмотки, число проводников на статоре n = 12 (рисунок 2).

Ступенчатую обмоточную функцию (рисунок 2) можно получить как результат сложения обмоточных функций (w = 2, 2р = 4) q сосредоточенных обмоток и смещенных в пространстве друг относительно друга (рисунок 2) на электрический угол.

эл. градусов Векторы их обмоточных функций сдвинуты между собой на этот же угол, поэтому суммарная N_m, будет равна не алгебраической, а геометрической сумме N_1m всех катушек, входящих в группу (рисунок 3).

Отношение.

Из рисунка 3 видно:

Коэффициент распределения для 1-й гармоники.

Прямоугольное распределение обмоточной функции можно представить в виде ряда Фурье, как сумму гармонических составляющих:

где — номер гармонической составляющей Коэффициент распределения для 3-й гармоники.

Амплитуда обмоточной функции.

Для 1-й гармоники, = 1, k_p1 = 0,667.

Для 3-й гармоники, = 3, k_p3 = 1.

Процентное отношение между амплитудами обмоточной функции для 1-й и 3-й гармоник.

Задача 2.

Полезная мощность синхронного двигателя, имеющего 2р = 8 полюсов и работающего от сети f = 50 Гц, составляет Р₂ = 2,0 кВт. Угол момента (угол нагрузки) при этом = 45 электрических градусов.

Определить:

• — Момент, развиваемый двигателем;
• — Перегрузочную способность двигателя по моменту;
• — Построить пространственно-временную диаграмму, соответствующую указанной нагрузке, а также диаграмму при той же нагрузке, но в случае cos () = 1

Решение Угловая скорость вращения ротора.

с^-1

Развиваемый двигателем момент.

Нм видно, что наибольший момент соответствует углу нагрузки = 90 электрических градусов. Поэтому отношение максимального момента к его величине при номинальной нагрузке, представляющее собой перегрузочную способность двигателя, будет равно.

При построении векторной (пространственно-временной) диаграммы синхронного двигателя, работающего при заданных напряжении сети U_с, токе I и cos ц, должны быть известны параметры двигателя, характеристика холостого хода и обмоточные данные машины.

Диаграммы строят для определения н.с. F_в (или тока I_в) обмотки возбуждения двигателя, работающего в заданном режиме.

На рисунке 4 представлена диаграмма синхронного двигателя, работающего с опережающим током (а) и при cos ц = 1 (б).

Для ненасыщенной синхронной машины (характеристика холостого хода представляет собой прямую линию) можно применить метод наложения, т. е. считать, что в воздушном зазоре существуют независимо один от другого поток полюсов Ф_В и поток реакции якоря Ф_a, которые будем рассматривать отдельно.

Поток Ф_В, созданный н.с. обмотки возбуждения, наводит в обмотке якоря ЭДС Е₀. Поток реакции якоря Ф_a наводит в обмотке якоря ЭДС Е_а = -jI₁ x_a.

Построение диаграммы при заданном cos ц_н = 0,9 и угле нагрузки = 45.

• — Построить вектор напряжения сети и противоположный ему по направлению вектор напряжения на выводах двигателя U_d =- U_c ;
• — Под углом ц (опережающий) к вектору U_c строим вектор тока в обмотке статора I₁, его активную I_1а и реактивную I_1р составляющие;
• — К вектору U_d прибавляем вектор падения напряжения в индуктивных сопротивлениях реакции якоря и рассеяния (-jI₁ x_с). Активным падением напряжения Ir_a пренебрегаем, х_с = х_а +х.
• — Из уравнения получаем вектор ЭДС Е₀, которая наводилась бы потоком Ф_В, если бы в машине действовала только одна н.с. обмотки возбуждения (при идеальном холостом ходе двигателя). Е₀ отстает от Ф_В на угол /2;
• — Магнитный поток Ф создается результирующей н.с.
• — Вектор Ф_a (F_a) совпадает по направлению с вектором тока I₁.

Построение диаграммы при cos ц=1 аналогично. В этом случае ток в обмотке статора имеет только активную оставляющую (I_p = 0) и совпадает по фазе с напряжением сети U_с. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении от реактивной составляющей тока статора, а от активной составляющей не изменилось (момент нагрузки постоянный).

Из диаграммы видно, что для увеличения реактивной (опережающей) составляющей тока и cos ц, соответственно, необходимо увеличивать ток возбуждения и Ф_В.

При неизменной величине момента, развиваемого двигателем, изменение тока ротора (тока возбуждения) сопровождается изменением величины и фазы потребляемого двигателем тока I₁.

Задача 3.

Двухфазный асинхронный двигатель рассчитан для работы от сети напряжением.

U₁ = U₂ = 220 В и частотой f₁ = 50 Гц. В режиме номинальной нагрузки он имеет полезную мощность Р₂ = 1,5 кВт и частоту вращения n = 670 об/мин. Число полюсов машины 2р = 8.

Максимальный момент, развиваемый двигателем, соответствует скольжения s_m = 0,2.

Исходя из представлений об идеализированной машине, определить:

Номинальный нагрузочный момент и скольжение, ему соответствующее;

Действующее значение фазного тока ротора и частоту его изменения;

Перегрузочную способность двигателя по моменту (кратность максимального момента);

При расчетах полагать, что активное сопротивление фазы ротора r₂ = 0,05 Ом, а N₂ / N₁ = 0,2.

Решение Полезная мощность двигателя Р₂ = М,.

Откуда развиваемый момент.

Где с^-1

Угловая скорость вращения поля статора.

с^-1

Скольжение двигателя в номинальном режиме.

Скольжение, соответствующее максимальному моменту.

Следовательно.

Гн/с Тогда величина максимального момента.

Нм.

ЭДС фазы обмотки ротора.

В где Е₁ U₁

Тогда ток в фазе обмотки ротора.

A.

а его частота f₂ = f₁s = 500,107 = 5,35 Гц Задача 4.

Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением при напряжении питания.

U = 220 В, работая с номинальной нагрузкой, потребляет ток I = 6 А, имея частоту вращения n = 1500 об/мин. Сопротивление цепи якоря r₂ = 3,8 Ом, цепи возбуждения.

r₁ = 295 Ом.

Определить:

• — Развиваемый электромагнитный момент;
• — КПД в рассматриваемом режиме;
• — Величину пускового тока;
• — Электромагнитный момент при пуске, считая магнитный поток постоянным.

Решение В соответствии со вторым законом Кирхгофа электрическое равновесие в цепи якоря для двигательного режима работы можно записать в следующем виде:

U = E + Ir₂

E = U — Ir₂ = 220 — 6,03,8 = 197,2 B.

С другой стороны, E = kФ и, следовательно.

Вб Момент, развиваемый двигателем в рассматриваемом режиме.

M = kФI = 1,2556,0 = 7,53 Нм Пренебрегая механическими потерями можно считать, что полезный момент (М₂) равен моменту электромагнитному (М).

КПД двигателя.

В начальный момент пуска E = kФ равна нулю и U = I_пуск r₂, откуда.

А Электромагнитный момент при пуске, считая магнитный поток постоянным.

M_пуск = kФI_пуск = 1,25 557,9 = 72,7 Нм Задача 5.

амплитуда трансформатор двигатель сопротивление Однофазный двухобмоточный трансформатор имеет напряжение питания первичной обмотки U₁ = 220 В при частоте f₁ = 50 Гц. Активные сопротивления обмоток r₁ = 0,5 Ом, r₂ = 0,15 Ом.

При питании трансформатора без нагрузки (режим холостого хода) получены следующие данные:

• — При питании со стороны первичной обмотки: U₁, I₁₀ = 10 A_, U₂₀ = 150 B, I₂ = 0;
• — При питании со стороны вторичной обмотки: U₂, I₂₀ = 20 A, I₁ = 0.

Определить.

• — Собственные индуктивности обмоток и их взаимную индуктивность;
• — Входное сопротивление трансформатора с учетом нагрузки;
• — Ток, потребляемый трансформатором при включении во вторичную цепь нагрузки с параметрами: z_пр = r_пр + jx_пр = 0,55 — j0,08 ом.

Решение.

1. Собственные индуктивности обмоток и их взаимную индуктивность определяем по данным опыта холостого хода (рисунок 5) определяем сопротивления схемы замещения и индуктивности трансформатора:

Коэффициент трансформации.

При питании со стороны первичной обмотки на основании II закона Кирхгофа Падение напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки В.

В.

В; Ом Полная собственная индуктивность первичной обмотки.

Ом Гн с^-1;

Гн При питании со стороны вторичной обмотки на основании II закона Кирхгофа В.

В Полная собственная индуктивность вторичной обмотки.

Ом Гн.

2. Входное сопротивление трансформатора с учетом нагрузки.

Приведение параметров вторичной обмотки.

Ом;

Ом.

Ом.

Ом По схеме замещения приведенного трансформатора входное сопротивление вычисляем по формуле.

Ом.

; ;

;

3. Ток, потребляемый трансформатором при включении во вторичную цепь нагрузки.

А Модуль действующего значения тока.

А, cos = 0,999.

Коэффициент мощности близок к единице, так как на выходе трансформатора подключена активно-емкостная нагрузка.