Интегрирование рациональных функций

2. .

Разделим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на х².

. ?

3. .

. ?

4. .

=.

. ?

5. Вычислить без разложения на простые дроби.

Представим данный интеграл в виде суммы интегралов, разложив его числитель следующим образом: 1=х²+1-х². Получим:

Вычислим последний интеграл отдельно.

В итоге получаем следующий ответ:

6.

Часто при вычислении данного интеграла пользуются другим вспомогательным интегралом. Рассмотрим этот прием на данном примере. Для удобства обозначим,. Найдем сумму и разность указанных интегралов.

1).

2).

Вычтем из первого равенства второе.

В итоге получим:

При сложении первого и второго равенств можно было получить интеграл. ?

7.

Применим те же приемы, что и в двух предыдущих примерах.

где .

Вычислим с помощью. Как и в предшествующем примере сложим и вычтем эти интегралы.

Вычитая, получаем:

или .

В итоге получили следующий ответ.

. ?

8. .

Все корни уравнения являются комплексными числами вида. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными числами, то каждый его корень имеет сопряженный. В результате получим разложение данной дроби в виде суммы простейших дробей:

…+…+.

вычисления неопределенных коэффициентов умножим обе части последнего тождества на выражение .

…+…+…+.

В последнем равенстве перейдем к пределу при. Тогда. По правилу Лопиталя, так как. Значит,. Аналогично, то есть. Следовательно,.

.

С учетом формул и получим:

.

Проинтегрируем последнее выражение.

.

Вычислим интеграл из правой части последнего выражения.

.

Окончательно получим:

9.

Разложим знаменатель данной дроби на множители, для чего решим уравнение Разделим все слагаемые в уравнении на, в результате получим. Пусть, тогда. Уравнение преобразуется к виду и корни его:. Поскольку полученные числа — сопряженные, то достаточно рассмотреть один из корней.

откуда.. Представим последнее число в виде полного квадрата, для чего решим уравнение. Приравнивая действительные и мнимые части обоих чисел, получаем систему Решим ее: Значит,. Тогда и корни исходного уравнения:, ,,. В итоге получили следующее разложение:

.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

.

Сравнивая числители первой и последней дробей, получим систему уравнений.

Решая систему, получим ответ:

В итоге:

. ?

10.

Поскольку подынтегральная функция — четная, то имеет место разложение:

.

Из сравнения первой и последней дробей, получим систему уравнений.

Отсюда неопределенные коэффициенты равны:

11.

Для разложения знаменателя дроби на множители воспользуемся приемом выделения полного квадрата и формулой разности квадратов.

.

. ?

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = uv + vu, где u и v — некоторые функции от х. В дифференциальной форме:

d (uv) = udv + vdu.

Проинтегрировав, получаем:. Учитывая свойства неопределенного интеграла, получаем: или .

Получена формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы от различных элементарных функций.

12. .

=.

=. ?

13. .

=.

После двукратного применения метода интегрирования по частям получен интеграл, равный исходному, поэтому выразим из следующего уравнения искомый интеграл.

.

или окончательно получаем:

. ?

14. Вывести формулу понижения степени для интеграла .

Применим формулу интегрирования по частям, разбивая подынтегральное выражение на части:,. Тогда, и получим следующие преобразования:

.

Последнее выражение можно записать короче в виде:

.

Откуда или. После замены n+1 на n получаем окончательно рекуррентную формулу.

15. Вычислить по рекуррентной формуле.

.

=.

Так как, то искомый интеграл равен:

=. ?

16. .

.

Рассмотрим отдельно решение второго интеграла.

.

.

17. .

Вначале представим дробь в виде суммы простейших дробей, затем применим метод интегрирования по частям.

=. ?

18. .

Проинтегрируем дважды данный интеграл по частям, чтобы увидеть закономерность в изменении интеграла.

.

По трем первым слагаемым из последнего равенства видны закономерности: переменная х содержится во всех слагаемых в виде множителя, знаки слагаемых чередуются, степени логарифма убывают, коэффициент перед логарифмом есть произведение чисел от n до степени, на единицу меньше степени логарифма. Значит, в результате n-кратного интегрирования по частям мы придем к интегралу от. В итоге получим:

. ?

19. .

Поскольку, то данный интеграл преобразуется к виду:

. ?

20. .

Заметим, что и получим преобразования:

. ?

21. .

Преобразуем числитель дроби в виде:, тогда данный интеграл можно представить как сумму интегралов следующим образом:

.

Рассмотрим каждый из получившихся интегралов отдельно.

.

.

Окончательно получаем ответ.

. ?

22. .

Выполним интегрирование по частям, заменяя переменные следующим образом:

тогда.

=.

.

Рассмотрим последний интеграл отдельно.

.

23. .

Прежде, чем интегрировать по частям, выполним замену переменной, тогда и и данный интеграл примет вид:

.

Пусть, , тогда.

.

.

Вычислим отдельно последний интеграл.

.

.

.

где. ?