Методика изучения обыкновенных дробей на уроках математики в 5-6 классах

Введение

Глава1. Теоретические положения темы «Обыкновенные дроби»

1. Основные понятия о дроби

2. Сравнение долей

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

4. Смешанные числа

5. Основное свойство частного и дроби

6. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

7. Сложение и вычитание смешанных чисел

8. Умножение дробей

9. Деление обыкновенных дробей

Глава 2. Методика изучения обыкновенных дробей.

1. Общие рекомендации

2.Методические рекомендации к теме: Доли

3. Методические рекомендации к теме: Обыкновенные дроби

4.Методические рекомендации к теме: Деление и дроби

5. Методические рекомендации к теме: Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби

6. Методические рекомендации к теме: Сложение и вычитание дробей, имеющих одинаковые знаменатели

7. Методические рекомендации к теме: Основное свойство дроби

8. Алгебраическая пропедевтика при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

9. Методические рекомендации к теме: Умножение и деление обыкновенных дробей Заключение Литература Приложение

Данная выпускная квалификационная работа посвящена одной из центральных тем курса школьной математики. Невозможно полностью осознать ту роль и то прикладное значение, которое имеют обыкновенные дроби. На основе этой темы излагается очень большое количество материала средней школы.

Так как же появились дроби? В чем их назначение?

Дроби появились очень давно и точной даты не знает никто. С незапамятных времен охотникам при дележе добычи уже приходилось иметь дело с дробями. Трудно было обходится без дробей и при измерении различных величин.

Древние египтяне использовали лишь единичные дроби и т. д., то есть дроби, числители которых равны единице. Все вычисления с дробными числами производились с помощью этих единичных дробей, что было очень сложно. Поэтому, вычисления с дробными числами выполняли лишь специально обученные писцы.

Египтяне все дроби старались записать как суммы дробей вида. Например, вместо они писали. Иногда это было удобно. В папирусе Ахмеса есть задача:

" Разделить 7 хлебов между 8 людьми" .

Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь записывали в виде долей. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба — на четыре части, один хлеб — на восемь долей.

Более четырех тысяч лет назад в Вавилоне использовалась особая форма записи дробных чисел, когда знаменателями дробей были числа 60 и степени числа 60. Это были так называемые шестидесятеричные дроби.

Современная форма записи обыкновенных дробей стала применяться лишь в XVlll в. Первым дробную черту стал применять арабский ученый ал — Хасан. В Европе дробную черту для записи обыкновенных дробей использовал итальянский математик Леонардо Фибоначчи. Долгое время действия с дробными числами считались по праву очень сложными. Недаром у немцев сохранилось: «Попасть в дробь», что означает «Попасть в тупик, в трудное положение». Даже еще в XVlll в. овладение дробными числами, которые иногда называли «ломаными» числами, считалось очень трудным делом.

Назначение их состоит в следующем: мы знаем, что для счета предметов достаточно иметь натуральные числа. А вот для измерения значений величин одних натуральных чисел не достаточно. Вспомним, как производиться измерение какой — либо величины. Для этого нужно выбрать за единицу измерения мерку. Этой выбранной мерке ставится в соответствие натуральное число 1. Затем для измерения, например, длины отрезка выбранную мерку откладывают на измеряемом отрезке столько раз, сколько возможно. И если мерка уложилась на измеряемом отрезке целое число раз без остатка, то результат измерения — натуральное число. А если получится остаток? Как тогда быть? Тогда на помощь приходят дробные числа.

Дробные числа нужны тогда, когда надо обозначить результат дробления (разделения) какого — либо предмета на части. Например, если за единицу объема воды выбран какой — то сосуд, а наполнили водой лишь часть этого сосуда, то как обозначить объем этой части сосуда? Натуральным числом нельзя, так как объем всего сосуда принят за единицу, а натуральных чисел, меньше единицы и больше нуля нет. Следовательно, и здесь помогут числа, которые меньше 1, но больше нуля. Такими числами как раз и являются некоторые дробные числа.

Дробные числа нужны и для выражения частного двух натуральных чисел. Деление натуральных чисел очень редко можно выполнить нацело, часто получается остаток, значит, получится лишь приближенное частное. А как в таких случаях выразить точное частное? Оказывается, это можно сделать с помощью дробных чисел.

В настоящее время остаются актуальными вопросы глубины и прочности усвоения, овладение навыками решения учащимися по теме «обыкновенные дроби» .

Поэтому, объектом исследования данной выпускной квалификационной работы является процесс обучения математике в 5 — 6 классах.

Предмет исследования — методика изучения обыкновенных дробей на уроках математики в 5 — 6 классах.

Научная проблема состоит в обосновании и разработке методических положений по изучению темы «Обыкновенные дроби» .

Цель работы — совершенствование методики обучения, выявление путей формирования знаний, умений и навыков при изучении данной темы.

Исходя из поставленной цели, сформулируем гипотезу исследования. Итак, гипотеза исследования заключается в том, что разработанная методика обучения будет способствовать наиболее качественному усвоению материала по рассматриваемой теме и развитию математических способностей в соответствии с главной целью школьного образования.

Реализация поставленной цели потребовала решения конкретного ряда задач:

Произвести историко — педагогический анализ возникновения и развития обыкновенных дробей в курсе средней школы;

Обобщить и систематизировать материал по теме «обыкновенные дроби» ;

Произвести анализ учебной, методической, математической литературы;

4. Разработать методические рекомендации, которые будут способствовать наиболее качественному проведению уроков по теме «обыкновенные дроби» .

Методами исследования являются:

Анализ методической и математической литературы, работ по истории математики, школьной программы, учебников и учебных пособий;

Изучение методического опыта учителей;

Обобщение и систематизация знаний теоретико — методического материала.

Практическая значимость данной работы определяется тем, что в ней разработаны и проверены учебные материалы для преподавания темы «Обыкновенные дроби». Подобраны системы задач для указанной темы, в том числе: устных, опорных, стандартных, нестандартных и исследовательских. Разработаны методические рекомендации для учителей по организации обучения по представленному материалу. Работа может использоваться студентами при подготовке к педагогической практике.

Глава I. Теоретические положения темы «Обыкновенные дроби»

1. Основные понятия о дроби

Что такое доля единицы? Как читается и записывается дробь?

На рисунке 1 круг разделен на две равные части. Равные части называют долями. Название долей зависит от того, на сколько равных частей разделена одна целая (единица) или предмет, принимаемый нами за единицу. Если, например, круг разделить на две равные части, то получим вторые доли; если на три равные части, то третьи доли (рис. 2); если на четыре равные части, то четвертые доли (рис. 3) и т. д. Вторые, третьи, четвертые доли получили особые названия: половина, треть, четверть. Используя рисунки 1, 2 и 3, определите сколько в целом круге, принятом нами за единицу, содержится половин, третьих и четвертых долей круга?

В жизни приходится иметь дело не только с одной долей единицы, но и с несколькими равными ее долями. На рисунке 4 выделены две трети и три четверти квадрата.

Определение. Одну долю или несколько равных долей единицы называют дробью пли дробным числом.

Дробные числа записывают с помощью натуральных чисел и черты. Например, одну четвертую долю записывают так, а три четвертых записывают так:.Такие записи, как и называют обыкновенными дробями. В дроби число, стоящее над чертой, называют числителем дроби, а число, стоящее под чертой, называют знаменателем дроби. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделена единица, а числитель дроби показывает, сколько таких частей взято. Числитель и знаменатель дроби называют членами дроби. Читают дроби так: сначала называют числитель, потом знаменатель. Например, читают: две пятых; читают: семь сотых.

Дробь как результат измерения и деления

До сих пор мы получали дробь в результате деления единицы на равные части. Но дробь может получиться и при измерении величин. Пусть при измерении ширины стола метровой линейкой оказалось, что край стола совпал с делением, соответствующим 50 см.

Следовательно, ширина стола равна м. Итак, при измерении мы получили дробное число. Дробь можно получить также и при делении натуральных чисел. Пусть надо разделить 2 пряника между 3 учениками. Число 2 не делится без остатка на число 3, поэтому разделим каждый пряник на 3 доли и дадим каждому ученику по 2 доли. Каждый ученик получит пряника. Таким образом, дробь можно рассматривать как частное от деления одного натурального числа (2) на другое натуральное число (3). Это записывают так: 2:3=. Вообще любое частное можно записать в виде дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю.

Примеры: а) 5:7=; б) 49:40=; в) 6:3=; г) 5:1 =5

Любое натуральное число можно записать в виде дроби, числитель которой само число, а знаменатель 1 (см. пример г).

Итак, дроби могут получиться при делении единицы на равные части, при измерении, при делении натуральных чисел.

2. Сравнение долей

Каждому дробному числу соответствует единственная точка на координатном луче. Для дробных чисел, как и для натуральных чисел, верно правило:

из двух чисел то меньшее, которое расположено на координатном луче левее;

из двух чисел то, большее, которое расположено на координатном луче правее.

Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Какие дроби называют правильными, а какие — неправильными?

Рассмотрим дроби

Нетрудно заметить, что у первых трех дробей числители меньше своих знаменателей.

Такие дроби называют правильными дробями.

Определение. Правильной дробью называют дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Так как правильная дробь является частью единицы, то она меньше единицы (рис. 6 а). У трех следующих дробей числитель равен знаменателю. Каждая из этих дробей равна единице. Такие дроби называют неправильными дробями (рис. 6, б). У последних трех дробей числитель больше знаменателя. Такие дроби тоже называют неправильными дробями. Каждая из этих дробей больше единицы (рис. 6, в).

Определение. Неправильной дробью называют дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше знаменателя.

С помощью букв можно записать:

дробь правильная, если аb или, а = b, где, а — натуральное число или нуль, b — натуральное число.

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило: Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо составить дробь, у которой числитель равен сумме числителей данных дробей, а знаменатель остается без изменения.

Это правило записывается так:

.

Замечания.

1. Если в результате сложения дробей получится сократимая дробь, то ее можно сократить.

Пример:

.

2. Если при сложении дробей получится неправильная дробь, то из нее можно выделить целую часть.

Примеры:

1) 2)

3. Сложение дроби и натурального числа записывают так:

+3 = 3.

Значит, число 3можно записать в виде суммы:

3=+3=3+.

Рассмотрим другие случаи, которые могут представиться при сложении дробей с одинаковыми знаменателями.

4. Если складывается дробь и числа, содержащие целую и дробную части, например, то сначала надо сложить целые числа, а затем дроби. Пример:

=(3+2)+()=5+=5.

5. При сложении чисел, содержащих целую и дробную части, может оказаться, что сумма дробных частей равна единице. Ее надо прибавить к целой части числа.

Пример:

6. При сложении чисел, содержащих целую и дробную части, может оказаться, что сумма дробных частей образует неправильную дробь. Тогда из дроби надо исключить целую часть и прибавить ее к целой части числа.

Пример:

7. При сложении дроби и нуля остается справедливым то же правило, каким пользовались при сложении натурального числа и нуля .

Примеры:

1) +0=; 2) 0 + =.

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, оставив тот же знаменатель.

С помощью букв это правило записывается так:

где a>b или a = b, а c — натуральное число.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями могут представиться случаи:

1. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается натуральное число. В этом случае из целой части числа вычитается целое число, оставшееся целое число с дробью является остатком или разностью.

Пример:

.

2. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, равная дроби уменьшаемого.

Пример:

.

3. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого. В этом случае из дроби вычитается дробь, оставшееся целое число с дробью является остатком. Если дробь остатка сократима, то ее надо сократить. Пример:

.

4. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается число, содержащее целую и дробную части, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого. В этом случае сначала из целого числа вычитается целое, затем из дроби вычитается дробь и к оставшемуся целому прибавляется оставшаяся дробь.

Пример:

.

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, оставив тот же знаменатель.

С помощью букв это правило записывается так:

где a>b или a = b, а c — натуральное число.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями могут представиться случаи:

1. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается натуральное число. В этом случае из целой части числа вычитается целое число, оставшееся целое число с дробью является остатком или разностью.

Пример:

.

2. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, равная дроби уменьшаемого.

Пример:

.

3. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого. В этом случае из дроби вычитается дробь, оставшееся целое число с дробью является остатком. Если дробь остатка сократима, то ее надо сократить.

Пример:

.

4. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается число, содержащее целую и дробную части, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого. В этом случае сначала из целого числа вычитается целое, затем из дроби вычитается дробь и к оставшемуся целому прибавляется оставшаяся дробь. Пример:

.

Рассмотрим другие случаи вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

5. Из единицы вычитается дробь. Эта единица раздробляется в доли вычитаемого и из неправильной дроби вычитается дробь (вычитаемое).

Пример:

.

6. Из целого числа вычитается дробь. У целого числа занимается единица и раздробляется в доли вычитаемого, затем из неправильной дроби вычитается дробь (вычитаемое). Получившийся остаток дроби прибавляется к остатку целого числа. Пример:

7-.

7. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, причем дробь уменьшаемого меньше дроби вычитаемого. У целого числа занимается единица, эта единица вместе с дробью обращается в неправильную дробь и из нее вычитается дробь (вычитаемое). К оставшемуся целому прибавляется оставшаяся дробь. Пример:

.

8. Уменьшаемое и вычитаемое — числа, содержащие целую и дробную части, причем дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого.

Пример:

4. Смешанные числа Разделим 11 на 4. Получим неполное частное 2— это, целая часть и остаток 3 — это числитель дробной части. Знаменатель дробной части — число 4. Таким же образом выделим целые части из следующих дробей:

a), так как 16:7 = 2, остаток 2(16 = 72 + 2);

б), так как 9:5=1, остаток 4(9 = 51+4);

в), так как 57:10 = 5, остаток 7(57=105 + 7);

_г), так как 18:6 = 3, остаток 0(18 = 63 + 0).

Если деление числителя неправильной дроби на знаменатель дроби выполняется без остатка, то частное является натуральным числом, а если нет, то оно является дробным числом. Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно разделить ее числитель на знаменатель, частное даст целую часть числа, остаток — числитель дробной его части, а знаменатель останется тем же. Числа, содержащие целую и дробную части, иногда называют смешанными числами. Сложение смешанных чисел рассматривалось в пункте сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

НОД и НОК

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа, а и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Пример найдем наибольший общий делитель чисел 48 и 36, разложим эти числа на простые множители:

48=22 223 36=2233

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т.е. две двойки). Остаются множители 223. Их произведение равно 12. Это число — НОД (48;36). Аналогично находят НОД трех и более чисел.

АЛГОРИТМ:

1) Раскладываем числа на простые множители;

2) Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) Найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b.

Пример Найти наименьшее кратное чисел 75 и 60.

Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:

75=355 60=2235.

Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа.

Получаем пять множителей 22 355, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 60 и 75 — НОК (60;75)=300.

Так же находят наименьшее общее кратное для трех и более чисел.

АЛГОРИТМ:

1. Раскладываем числа на простые множители;

2. Выписываем множители, входящие в разложение одного из чисел;

3. Добавить к ним недостающие множители из разложений оставшихся чисел;

4. Находим произведение получившихся множителей.

5. Основное свойство частного и дроби

Пример 1. = 3. Умножим делимое (12) и делитель (4) на 2:

. Значит,

Пример 2. = 5. Разделим делимое (30) и делитель (6) на 3:

. Значит, .

Если делимое и делитель умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число, то значение частного не изменится.

Это свойство называется основным свойством частного. Оно является и основным свойством дроби, так как дробь представляет собой частное от деления одного натурального числа на другое. Основное свойство дроби читается так: значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее умножить или разделить на одно и то же натуральное число. В общем виде с помощью букв это свойство можно записать так:

.

Где k — натуральное число.

Что значит сократить дробь?

Числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель 5.

Основное свойство дроби позволяет разделить и числитель, и знаменатель на 5, то есть можно записать:

.

При этом получилась дробь, значение которой равно данной дроби, но с меньшими числителем и знаменателем. Такое преобразование называют сокращением дроби. При сокращении дроби изменится лишь ее запись, числовое значение дроби не меняется. Дробь можно сразу сократить на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то есть на 60:, можно вести сокращение постепенно:

Дробь сокращают до тех пор, пока не получат в числителе и знаменателе взаимно простые числа.

Определение. Дробь, числитель и знаменатель которой числа взаимно простые, называется несократимой.

Приведение дробных чисел к общему знаменателю

Число 35 делится без остатка на числа 5 и 7. Число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называют общим кратным этих чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух натуральных чисел, надо разложить каждое из этих чисел на простые множители, затем взять все множители одного числа и умножить их на те множители числа, которых недостает в разложении первого числа. Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел a и b, обозначают НОК (а;b)

Таким же образом находят общее кратное трех и более чисел. Есть удобное правило приведения дробей к общему знаменателю:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, найти дополнительный множитель для каждой дроби и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

6. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби.

Пример 1. Сравним дроби и .

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 15.

Получим

; .

Так как

>, то > .

Пример 2. Найдем значение суммы +.

Решение.

+= .

Пример 3. Найдем значение разности — .

Решение.

— = .

Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Они иногда помогают упрощать вычисления.

7. Сложение и вычитание смешанных чисел

Пример. Найдем значение суммы

.

Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно складываем целые и дробные части:

.

Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части. При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы.

Пример. Найдем значение разности

.

Решение. Приведем дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18:

;

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записывается так:

=3+.

Значит,

.

Обычно пишут короче:

.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

8. Умножение дробей Задача 1. В бутылке л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках?

Решение. Для решения задачи надо найти произведение. Но умножить на натуральное число 5- значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно :

=.

Значит, в 5 бутылках л сока.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Для иллюстрации рассмотрим следующую задачу.

Задача 2. Длина прямоугольника дм, а ширина дм (рис.). Чему равна площадь прямоугольника?

Решение. Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части, а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части. При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей, а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей. Значит, площадь прямоугольника равна дм. Но мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Поэтому считают, что число получено от умножения на. Итак,

.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби исключают целую часть.

Например:

; .

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

9. Деление обыкновенных дробей

Задача. Площадь прямоугольника м. Длина одной стороны м. Найдем длину стороны.

Решение. Обозначим длину другой стороны через x м. По формуле площади прямоугольника должно выполняться равенство. Умножим обе части равенства на число, обратное числу. Так как произведение равно 1, то получим, что, или. Таким образом, длина другой стороны прямоугольника равна м.

В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении. По смыслу деления это число равно частному от деления числа на число .

Видим, что это частное равно произведению делимого и числа, обратного делителю, т. е.

.

дробь урок математика алгебраический пропедевтика Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример. Разделим на .

Решение. Представим сначала числа и в виде неправильных дробей:

.

Поэтому

.

Пример. Разделим на 6.

Решение. Числом, обратным делителю, является, так как. Значит,

Глава II. Тематическое планирование

Для наиболее рационального использования времени и сил в процессе обучения предусмотрен базисный учебный план. В нем в зависимости от профильной направленности класса, расположена расчасовка по предметам.

Но хотелось бы отметить, что основной упор в образовании идет на общеобразовательную школу. И поэтому основной пласт в обучении приходится на 1−9 классы. Таким образом в данном параграфе рассмотрено почасовое планирование темы «Обыкновенные дроби» .

Планирование по учебникам «Математика 5» и «Математика 6» под редакцией Н. Я. Виленкина.

Итак, в пятом классе выделяется 26 часов на изучение обыкновенных дробей, включая 2 часа на проведение контрольных работ. Учитель может объединять изложение нескольких тем, высвобождая время на решение задач и проведения контроля в форме самостоятельных работ. Так как материал блоков значителен по объему, то необходимо проведение хотя бы одной самостоятельной работы перед каждой контрольной, иначе можно упустить этап, на котором у детей возникли трудности. Это в свою очередь влияет на дальнейшее успешное изучение.

Контрольные работы разработаны в приложении таким образом, что в их текст входят задания, относящиеся к темам, стоящим перед ними в тематическом планировании. Например, в первую контрольную работу входят темы: «Доли. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей» и «Правильные и неправильные дроби» .

1. Общие рекомендации

Психолого — педагогический аспект изучаемой темы

Границы подросткового периода примерно совпадают с обучением детей в 5 — 8 классах средней школы и охватывают возраст от 11 — 12 до 14 — 15 лет, но фактическое вступление в подростковый возраст может не совпадать с переходом в 5 класс и происходить на год позже. Особое положение ребенка подросткового периода в развитии ребенка отражено в его названии: «переходный», «переломный», «трудный». В них зафиксировано сложность и важность происходящих в этом возрасте процессов развития, связанных с переходом от одной эпохи жизни к другой. Переход от детства к взрослости составляет основное содержание и специфическое отличие всех сторон развития в этот период — физического, умственного, нравственного, социального. По всем направлениям происходит становление качественно новых образований, появляются элементы взрослости в результате перестройки организма, самосознания, отношений со взрослыми и товарищами.

Проблема биологического фактора в развитии подростка обусловлена тем, что именно в этом возрасте происходят кардинальные изменения в организме ребенка на пути к биологической зрелости: начинается новый этап физического развития и развертывается процесс полового созревания. Перестройка организма начинается с изменений в эндокринной системе, что приводит к значительному скачку в развитии ребенка. В последнее время наблюдается акселерация физического развития детей, но не смотря на это их мышцы и позвоночник остаются слабыми и учителю необходимо следить за осанкой учеников, так как наибольшие нарушения осанки происходят в 11 — 15 лет.

Эта перестройка сказывается и на внутренних состояниях, реакциях, настроении ребенка и часто является основой его общей неуравновешенности, раздражительности, взрывчатости, возбужденности, двигательной активности.

Поэтому с первых уроков учитель должен приучить детей к порядку и дисциплине. Лучше потратить первые уроки на организационные моменты, чем потом отставать в учебном процессе в следствии плохой дисциплины учеников.

Одной из главных особенностей этого возраста является возрастающий уровень учебной нагрузки. В связи с этим, в процессе обучения учащемуся приходится многое запоминать специально (произвольное запоминание). При этом он нередко должен ставить перед собой цель — запомнить точно, полно и по возможности прочно то, что намечено им самим или задано учителем. Разумеется, запоминание затрудняется, если материал плохо понят. То же самое наблюдается и в случае, когда усвоению подлежит материал относительно большого объема. Облегчить же закрепление помогает использование возможностей непроизвольного запоминания, происходящего без специальной установки. Непроизвольно запоминается то, что интересует учащихся, действует на их чувства, с чем они активно оперируют, часто используют, а именно этим изобилует тема «Обыкновенные дроби». Вообще говоря, успешное запоминание материла (произвольное и непроизвольное) возможно тогда, когда учащиеся выполняют над ним активную мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала. Иногда же оказывается полезным использование специальных приемов, облегчающих запоминание учебного материала. Такие приемы называются мнемоническими. Они применяются с привлечением мнемонических схем, фраз, опорных сигналов и т. д.

В качестве примера можно привести способ разъяснения определения правильной и неправильной дроби.

" Представьте что числитель и знаменатель перетягивают канат:

Если числитель больше знаменателя — дробь неправильная;

Если знаменатель больше числителя — дробь правильная;

Если они равны, то ничья и дробь равна единице."

Эти методы хорошо работают в младших классах, но не надо отказываться от их использования и в старших классах. Например на геометрии (биссектриса — крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам).

Заучивая учебный материал, нельзя ограничиваться (как учителю, так и ученикам) лишь чтением его вслух или про себя. Надобно еще письменно воспроизвести его по памяти, фиксируя план изложения, чертежи, доказательства. При этом учебный материал запоминается прочнее, поскольку нервы, ведущие от глаза к мозгу, в двадцать пять раз толще нервов, ведущих от уха к мозгу.

Процессом, противоположным запоминанию, является забывание. Оно биологически целесообразно для человеческого организма. Поэтому основным способом предотвращения забывания служат повторение изученного и включение его в постановку и решение новых задач. Это необходимо делать на каждом уроке, использовать актуализацию базовых знаний при изложении нового материала.

Повторение в неизменном виде путем решения только однотипных задач малоэффективно. Нужно не злоупотреблять таким повторением, помня, что для осознания некоторой особенности оптимальное число однотипных упражнений равно трем.

Более эффективно повторение, выступающее как основа для решения разнообразных задач, осуществляемое путем реконструкции материала, противопоставления либо сравнение его с ранее известным. Поэтому, в своей работе я старался показать целостность и связность материала по теме «Методика изучения обыкновенных дробей в 5 — 6 классах СОШ» При этом различные виды повторения желательно рассредоточивать во времени, не ограничиваясь лишь его использованием сразу же после объяснения нового материала в качестве инструмента для ослабления процессов забывания.

По мере накопления знаний по изучаемой теме возникает проблема осмысления и запоминания большого объема информации. В таких случаях предпочтение следует отдавать не рассредоточенному во времени, а концентрированному повторению с выходом на обобщение и систематизацию знаний. Оно подразумевает повторное рассмотрение изученного, его анализ, сравнение, классификацию в целях нахождения и выделение общих связей, приводящих знания в целостную систему. Порой этому посвящается учебное время всего урока, именуемого, как известно, уроком обобщающего повторения.

Учитывая возраст детей, необходимо давать разнообразные и интересные уроки, использовать как можно больше наглядности и упрощенное разъяснение, помня о том, что большинство правил и определений являются остенсивными.

Практика и образы при изучении обыкновенных дробей

Всякое понятие, в том числе математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчеркивает существенные.

Формирование математических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, если оперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик не увидит наглядной мысленной картины, т. е. образа. Игнорирование практической деятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которые несут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностных знаний, а иногда и к отсутствию их.

Обыкновенная дробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией, которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательной стороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробями без достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а то и средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5 ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробями превращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых ему приходится просто запоминать.

Формированию верного представления о понятии «обыкновенная дробь» и умению пользоваться им способствуют практические работы с материализованными объектами. Ниже приведены некоторые из материалов, по которым целесообразно проводить такую работу. Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.

На этом этапе обучения весьма полезны карточки, образцы которых показаны ниже. Карточка № 1 — это только вариант индивидуального задания. Именно индивидуального. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается от карточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а не просто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводится «наглядность» при изучении дробей.

В карточке № 1 нужно заполнить таблицу, указывая каждую часть, если это подсказывается рисунком, в виде «разных» дробей (½ = 3/6).

Укажи дробью часть фигуры

Своеобразной подсказкой являются жирные линии, делящие фигуры. Выполняя предложенные упражнения, ученик осваивает понятие дроби, подмечает основное свойство, подсчитывает дополнение дроби до единицы. Уже на этом этапе он встречается в неявном виде со сложением дробей, с приведением дроби к новому знаменателю.

По карточке учащимся приходится отвечать на следующие вопросы:

Какая часть фигуры (всего в каждой карточке по 8 фигур самых разнообразных очертаний) закрашена штриховкой определенного вида?

Какая часть фигуры закрашена штриховками обоих видов? (Этот вопрос подводит учащихся к сложению дробей, например требуется сложить 6/18 и 3/18 долей фигуры Е.)

Какая часть фигуры осталась без штриховки? (Здесь фактически требуется вычесть правильную дробь из 1, например найти, какая часть фигуры С осталась без штриховки, если заштриховано ее 5/10 частей.)

Косой штриховкой закрашены 4/12 доли фигуры G, а прямой штриховкой — 2/12 доли той же фигуры. Какая штриховка занимает больше долей фигуры G? На сколько долей больше занимает в фигуре G косая штриховка, чем прямая? (Сравнение дробей друг с другом и вычитание дробей.)

На сколько частей жирные линии делят фигуру В? Сколько в каждой из этих частей содержится 12-х долей данной фигуры?

Рассмотрите фигуруF, выделите в ней ¼ долю. Выразите дробь ¼ другими дробями, руководствуясь фигурой F.

Основное свойство дроби закрепляется по карточке № 2. Она разделена на две части, в каждой из которых демонстрируются три способа деления одного «отрезка» на равные части: на 4 части, на 8 частей и на 16 частей (на 3 части, на 6 частей и на 12 частей). Учащиеся должны записать отсутствующие числители у двух из трех равных дробей. Для этого им придется проделать следующие действия: выделить на рисунке первый отрезок, заданный одной из трех дробей (той, у которой известны и числитель и знаменатель); найти второй отрезок, равный первому (он разделен на то число частей, которое указано знаменателем другой дроби); подсчитать число частей во втором отрезке и записать его в числителе второй дроби; мысленно разделить один из отрезков на то число частей, которое указано знаменателем третьей дроби, и сообщить, сколько потребуется набрать таких частей для третьего отрезка такой же длины, что и первые два. Как видим, такой процесс побуждает учащихся самостоятельно оперировать наглядным материалом и постепенно в ходе этого оперирования вырабатывать формальное правило.

Карточка № 2

Упражнения по карточкам № 3 и 4 взаимно обратны. Они представляют новый аспект освоения понятия дроби. Выполнение предложенных упражнений сопровождается моторными действиями, которые лучше запоминаются учениками с кинестетическим (двигательным) типом мышления.

Отметим, что в карточке № 3 исходные фигуры намеренно усложнены. Таким образом обеспечивается закрепление в сознании учащихся не геометрического образа, а последовательности арифметических действий над числом, получающимся в результате подсчета равных «элементов фигуры. Аналогично и в карточке № 4 в ответах не получается «хороший» прямоугольник. Учащимся приходится постепенно переходить от манипуляций с геометрическими объектами к арифметическим действиям. Так, если первое задание учащиеся могут выполнить чисто геометрически (приставив к фигуре, обозначающей дробь ½, еще точно такую же фигуру), то в случае с дробью 2/5 так поступить уже нельзя. Приходится сначала поделить данную фигуру на 2 части. В следующем задании (дробь ¾) такое деление не удается осуществить «безболезненно», т. е. наглядным образом. Приходится начинать с подсчета числа равных квадратиков данной фигуры.

Карточка № 3

Обведи контур указанной части фигуры. Какая часть фигуры осталась не обведенной?

Карточка № 4

Изобрази фигуру по ее части (форма фигуры может быть произвольной) Конечно, практика оперирования дробями не должна ограничиваться приведенными упражнениями с наглядным материалом. Учитель должен использовать и обычные задания из учебных пособий. Делать это он может дифференцированно, задерживая одних на карточках и стимулируя других более сложными упражнениями.

Для усвоения способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби ученикам вновь предлагается задание по наглядному материалу, т. е. по карточкам № 5 и 6. Выполняя эти задания, ребята обращаются к рисункам. При этом они отчетливо осознают суть операций нахождения дроби от числа и числа по его дроби, поскольку с этими операциями связываются наглядные картины — образы. Важно лишь в заданиях предложить ученикам достаточное количество образных вариаций, не одну или две, как часто бывает на уроках, а пять-шесть. На индивидуальной карточке такие задания предъявить легко, поскольку ученик работает один, не снижая темп изучения материала всем классом.

Карточка № 5

Карточка № 6

При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможность поработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей. В данном случае используются задания, схожие с теми, что приведены в карточке № 7.

Карточка № 7

Здесь тонкие линии помогают понять, каким будет наименьший общий знаменатель и что он наглядно означает. Подсказывается и то, какой будет дробь, приведенная к новому знаменателю. Попрактиковавшись в выполнении таких упражнений, ученик сможет наглядно оценивать результат сложения двух дробей, делая необходимые прикидки. Для слабого ученика такая работа полна смысла: опираясь на нее, можно вводить алгоритм сложения дробей с разными знаменателями, который теперь не будет представляться ребенку непонятной процедурой. Параллельно со сложением на наглядном уровне изучается и операция вычитания дробей. По карточке № 7 целесообразно предложить школьникам найти разность дробей:

и т.д.

Аналогичным образом, можно изготовить карточки для правила умножения обыкновенных дробей, на примере нахождения площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются дробями.

Приемы активизации учащихся в 5 — 6 классах В 5 — 6 классах очень важно не только дать детям твердые знания начал математики, но и не отпугнуть школьников холодной строгостью царицы наук, увлечь их этим предметом.

Большое значение имеет организационный момент каждого урока. Как быстро настроить детей на работу, но сделать это без понуканий и строгости? Можно провести организационный момент в виде математической зарядки (дети в этом возрасте легко утомляются, отвлекаются, становятся невнимательными, поэтому изложенный ниже прием можно применять и в середине урока, в качестве физической минутки). Заранее заготовить несколько карточек с простейшими примерами. Примеры даются с ответами. На одних карточках ответы верные, на других — неверные. Каждое упражнение зарядки состоит из двух движений.

Например, если ответ верный — руки вверх, если нет — руки вперед.

Сначала дети не могут собраться, не попадают в ритм. Но постепенно сосредотачиваются, а темп зарядки убыстряется. И в результате через две — три минуты мы получаем класс, полностью подготовленный к работе. Зарядка может состоять из 2 — 3 упражнений и проводиться по самым разным темам. Составление комплексов упражнений полезно поручать детям. Они это делают с большим увлечением.

Комплекс математической зарядки по теме: «Сложение дробей с одинаковыми знаменателями «.

Первое упражнение. Правильный ответ — руки вперед, неправильный — руки вверх.

;; ;

;; .

Второе упражнение. Все стоят, руки на поясе. Правильный ответ — поворот направо, неправильный — налево.

;; .

Очень помогают активизировать учащихся во время урока так называемые быстрые диктанты. От обычных математических диктантов их отличают 3 особенности:

Задания не одинаковы по трудности (сначала предлагаются очень легкие, потом все сложнее и сложнее).

Изменяющийся темп диктанта (сначала медленный, затем убыстряется).

Одновременно с классом у доски работает 2 ученика (это дает возможность детям проверить свои ответы).

Нет нужды приводить здесь текст такого диктанта. Каждый учитель легко может составить его самостоятельно по любой теме.

В курсе математики 5 — 6 классов много серьезных правил и определений. Как добиться от одиннадцатилетнего ребенка заинтересованного, увлеченного изучения этих правил? В этом может помочь игра в математические карты.

Класс разбивается на группы по 4,5,6 человек. Желательно, чтобы число игроков в каждой группе было одинаково. Теперь нужно снабдить каждую группу карточками с заданиями теоретического характера. Например: сформулировать такое — то правило или дать такое — то определение.

В каждой группе число карточек должно быть одинаковым. Карта считается битой, если на вопрос, стоящий в ней, дан правильный ответ. Битая карта откладывается в сторону. Если ответ неверный, то карта остается в колоде у игрока, который дал этот ответ. В результате проигрывают те, у кого в конце игры на руках окажутся карты.

В ходе такой игры учитель не только контролирует теоретические знания учащихся и организует постоянное повторение, но и ведет тематический учет знаний, причем на игру требуется не более 5 минут урока. Не надо боятся, что останется незамеченным неверный ответ. В группе все найдется ученик, твердо знающий правило, он и разоблачит ошибку. Что же касается технических трудностей, в том числе изготовление карточек, то они легко преодолимы. К делу можно привлечь активистов математического кружка, родителей.

Постоянное стремление разнообразить набор используемых заданий привносит элементы неожиданности и новизны, а значит способствует проявлению у учащихся интереса к уроку.

Рассмотрим пример организации начала урока в 6 классе, на котором предстоит отработка умений умножения обыкновенных дробей. Ранее уже было введено правило умножения, поэтому перед учителем прежде всего стоит задача выяснить, знают и понимают ли это правило учащиеся? И начать урок поэтому можно с решения следующих заданий, подготовленных учителем.

Раскрывается одно из «крыльев» доски с таблицей:

Перед учащимися ставится задача: найти правило, по которому составлена таблица, и вписать пропущенные числа.

Выясняется, что числа верхней и нижней колонок есть множители, а средней — их произведение. Учитель требует обосновать это предположение, в ходе чего проверяется знание и понимание учащимися правила умножения дробей на конкретных примерах. При заполнении же таблицы рассмотренные действия повторяются несколько раз учениками. Необычность упражнения захватывает ребят, и они, как правило, требуют новых аналогичных заданий, которые можно несколько видоизменить.

Раскрывается второе «крыло» доски с другой таблицей:

Задание остается прежним, хотя здесь надобно выяснить, что уже числа средней и правой колонок есть множители, а левой — их произведение. И вновь следует многократное воспроизведение формулировки правила и его осмысление на конкретных примерах.

Наконец предлагается последнее задание, вызывающее наибольший интерес.

Демонстрируется таблица:

Учитель сообщает, что в ходе ее заполнения была допущена ошибка при написании одного из чисел. Требуется установить правило, по которому составлена таблица, и исключить это число.

Учащиеся должны сначала обнаружить, что числа правой левой колонок данной таблицы являются множителями, а средней — их произведением. Затем проверить с помощью установленного правила заполнение таблицы и исключить число. Кстати, допущенная ошибка является типичной для учащихся и связана с потерей знака. На это также следует обратить внимание учеников, выясняя вместе с ними причины появления подобных ошибок.

Составленные таблицы заготавливаются заранее на доске, причем могут использоваться не только для этой темы, но и для многих других.

Полезно приобщать детей к грамотной математической записи и речи, не допускать «детского лепета» при формулировке правил. Кроме того, при «буквенной» записи правил у ребят развивается мышление, легче происходит адаптация при рассмотрении различного рода задач, где неизвестные принято обозначать буквенными выражениями. А когда ребята привыкнут к этому то можно давать следующие примерные задачи:

Вставить пропущенный символ Учитель должен следить за грамотностью своей речи, избавляться от неправильного произношения звуков и слов, при высказывании основных мыслей добиваться краткости, четкости и логичности, очищать речь от слов паразитов, вроде «ну», «короче», «так сказать» и т. д. Так как учеников одинаково раздражают и монотонно — тихая и громкая речь учителя в течении всего урока, то следует варьировать силу своего голоса и его тон в соответствии с изменяющейся обстановкой в классе.

К учащимся следует относиться уважительно, знать каждого из них по фамилии и имени, не допускать обращений типа: «Ну — ка ты, мальчик, ответь на этот вопрос». Быть требовательным, но справедливым, доброжелательным, но не располагающим к панибратству. Убеждать и переубеждать, но не поучать и не унижать человеческого достоинства учеников.

2. Методические рекомендации к теме: Доли Первой темой с которой встречаются ученики является — тема «Доли. Обыкновенные дроби «.

На эту тему выделяется 4 урока. Перед изложением нового материала, необходимо заинтересовать учеников интересными историческими очерками, показать жизненную актуальность этой темы и убедить их в необходимости ее изучения, а также, опираясь на их жизненный опыт привести понятные им примеры из повседневной жизни.