Методика обработки экспериментальных данных

Задание на курсовую работу

Построить вариационный ряд Рассчитать числовые характеристики статистического ряда:

а) Размах варьирования.

б) Среднее арифметическое значение.

в) Оценки дисперсии.

г) Оценки среднеквадратического отклонения.

д) Мода.

е) Медиана.

ж) Коэффициент вариации.

Построить полигон и гистограмму относительных частот.

Построить эмпирическую функцию распределения.

Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова.

Вычислить асимметрию и эксцесс.

Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%.

Выводы.

Данные по выборке вариант 34

— 678	— 752	— 624	— 727	— 612	— 632	— 704	— 697	— 627	— 727
— 561	— 748	— 686	— 676	— 676	— 696	— 717	— 694	— 700	— 707
— 680	— 681	— 687	— 656	— 692	— 644	— 805	— 758	— 695	— 722
— 706	— 704	— 681	— 608	— 647	— 699	— 658	— 686	— 689	— 643
— 701	— 716	— 731	— 623	— 693	— 703	— 731	— 700	— 765	— 697
— 662	— 705	— 667	— 677	— 701	— 678	— 667	— 673	— 697	— 701
— 597	— 716	— 689	— 694	— 695	— 729	— 700	— 717	— 647	— 673
— 690	— 578	— 703	— 688	— 666	— 670	— 671	— 693	— 688	— 646
— 667	— 689	— 711	— 731	— 604	— 691	— 675	— 686	— 670	— 703
— 696	— 702	— 660	— 662	— 681	— 666	— 677	— 645	— 746	— 685

1. Построение вариационного ранжированного ряда

Сортируем экспериментальные данные по возрастанию. Получаем вариационный ряд.

Таблица 1

— 805	— 727	— 705	— 700	— 695	— 689	— 681	— 673	— 662	— 632
— 765	— 727	— 704	— 700	— 694	— 688	— 680	— 671	— 660	— 627
— 758	— 722	— 704	— 700	— 694	— 688	— 678	— 670	— 658	— 624
— 752	— 717	— 703	— 699	— 693	— 687	— 678	— 670	— 656	— 623
— 748	— 717	— 703	— 697	— 693	— 686	— 677	— 667	— 647	— 612
— 746	— 716	— 703	— 697	— 692	— 686	— 677	— 667	— 647	— 608
— 731	— 716	— 702	— 697	— 691	— 686	— 676	— 667	— 646	— 604
— 731	— 711	— 701	— 696	— 690	— 685	— 676	— 666	— 645	— 597
— 731	— 707	— 701	— 696	— 689	— 681	— 675	— 666	— 644	— 578
— 729	— 706	— 701	— 695	— 689	— 681	— 673	— 662	— 643	— 561

Вывод: Вариационный ряд послужит нам для облегчения дальнейших расчетов, и для определения относительных частот и разделения на интервалы и расчета ряда числовых характеристик.

2. Расчет числовых характеристик статистического ряда

2.1 Размах варьирования

Размах варьирования вычисляется по формуле:

(2.1)

где R — размах варьирования;

x_max — максимальный элемент вариационного ряда;

x_min — минимальный элемент вариационного ряда;

x_max= — 561

x_min = -805

R = -561+805=244

2.2 Среднеарифметическое значение статистического ряда

(2.2)

где n_i — частота варианты x_i;

x_i — варианта выборки;

n =? n_i — объем выборки;

Распределение выборки представлено в таблице 2.

Таблица 2

Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n
— 805		— 717		— 700		— 689		— 675		— 647		— 608
— 765		— 716		— 699		— 688		— 673		— 646		— 604
— 758		— 711		— 697		— 687		— 671		— 645		— 597
— 752		— 707		— 696		— 686		— 670		— 644		— 578
— 748		— 706		— 695		— 685		— 667		— 643		— 561
— 746		— 705		— 694		— 681		— 666		— 632
— 731		— 704		— 693		— 680		— 662		— 627
— 729		— 703		— 692		— 678		— 660		— 624
— 727		— 702		— 691		— 677		— 658		— 623
— 722		— 701		— 690		— 676		— 656		— 612

2.3 Оценка дисперсии

(2.3)

где s² — несмещенная оценка генеральной дисперсии;

2.4 Оценка среднего квадратического отклонения

(2.4)

2.5 Определение моды

Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.

Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n=3 имеют варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667.

2.6 Определение медианы

Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:

М_В=(x_k+x_k+1)/2 (2.5.)

где x_k — пятидесятый член вариационного ряда;

x_k+1 — пятьдесят первый член вариационного ряда;

n — Количество вариант и n=2*k

М_В=(x_k+x_k+1)/2=(-689-689)/2= -689

2.7 Расчет коэффициента вариации

Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:

(2.6)

Вывод:

Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики — генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.

3. Построение полигона и гистограммы относительных частот

Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер интервала I	Частичный интервал xi-xx+1	Сумма относительных частот wi	Плотность частот
	xi	xx+1
	— 805	— 780,6	0,01	0,41
	— 780,6	— 756,2	0,02	0,82
	— 756,2	— 731,8	0,03	0,123
	— 731,8	— 707,4	0,12	0,492
	— 707,4	— 683	0,4	0,1 639
	— 683	— 658,6	0,24	0,984
	— 658,6	— 634,2	0,08	0,328
	— 634,2	— 609,8	0,05	0,205
	— 609,8	— 585,4	0,03	0,123
	— 585,4	— 561	0,02	0,82

По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).

Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.

Рис 1.

Вывод: Полигон и гистограмму — графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.

4. Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:

(4.1)

где n_x — число вариант меньших х;

n - объем выборки.

По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.

Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:

F (x)	Интервал
		X<	— 792,8
0,01	— 792,8		— 768,4
0,02	— 768,4		— 744
0,03	— 744		— 719,6
0,05	— 719,6		— 695,2
0,08	— 695,2		— 670,8
0,12	— 670,8		— 646,4
0,19	— 646,4		— 622
0,27	— 622		— 597,6
0,41	— 597,6		— 573,2
0,67	— 573,2		— 548,8
		x>	— 548,8

Вывод:

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности

5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова

Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.

В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

— Среднее арифметическое значение

— Количество вариантов

— Шаг интервалов

— Оценка среднеквадратического отклонения.

Вычислим данные по таблице:

I	ni	Xi	X (i+1)	Zi	Z (I+1)
		— 805	— 780,6		— 2,7340	— 0,5	— 0,469	3,1	1,4226	0,3226
		— 780,6	— 756,2	— 2,7340	— 2,1140	— 0,469	— 0,408	6,1	4,2639	0,1639
		— 756,2	— 731,8	— 2,1140	— 1,4941	— 0,408	— 0,285	12,3	5,6008	1,3008
		— 731,8	— 707,4	— 1,4941	— 0,8741	— 0,285	— 0,099	18,6	7,2344	2,6344
		— 707,4	— 683	— 0,8741	— 0,2542	— 0,099	0,1141	21,31	1,0322	31,7222
		— 683	— 658,6	— 0,2542	0,3658	0,1141	0,2939	17,98	12,5473	60,5673
		— 658,6	— 634,2	0,3658	0,9857	0,2939	0,4131	11,92	0,3630	16,4430
		— 634,2	— 609,8	0,9857	1,6057	0,4131	0,4713	5,82	0,8166	10,9966
		— 609,8	— 585,4	1,6057	2,2256	0,4713	0,4927	2,14	0,3456	4,2056
		— 585,4	— 561	2,2256		0,4927	0,5	0,73	7,0588	12,3288
СУММА									40,6851	140,6851

X²_набл=40,685

Контроль: 140,685−100=40,685

Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством.

Уровень значимости = 0,05;

По таблице критических точек распределения ?? (приложение 3), по уровню значимости? = 0,05 и числу степеней свободы K=10−3=7 находим критическую точку правосторонней критической области?? кр (0,05; 7) = 14,1.

Вывод: Так как X²_набл> X²_кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.

6. Расчет асимметрии и эксцесса

Асимметрия — отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

где

Эксцесс — характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.

где

Значение Х_В, вычисляем по формулам:

где С — Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).

где h — шаг (разность между двумя соседними вариантами);

(условный момент второго порядка);

(условный момент первого порядка);

(условная варианта).

Расчеты занесем в таблицу 7:

Xi	Ni	Ui	XB	M1	M2		m3	m4	AS	EK
— 805		— 2,73	— 684,67	0,30	1,06	23,97	3433,28	4 193 007,72	0,25	12,71
— 780,6		— 2,11
— 756,2		— 1,49
— 731,8		— 0,87
— 707,4		— 0,25
— 683		0,37
— 658,6		0,99
— 634,2		1,61
— 609,8		2,23
— 585,4		2,85

Вывод:

Т.к. асимметрия положительна то `длинная часть' кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.

Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и `острую' вершину, чем нормальная кривая.

7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью) находят как:

(7.1)

где n — объем выборки;

t — случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.

s — исправленное среднее квадратическое отклонение;

— выборочное среднее;

Найдем интервал:

по приложению 1 находим t = 1.984 при = 0.95 и n = 100;

=-684,67; s = 38,19;

Получаем

— 692,25

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

(с надежностью) находят как:

при q<1 (7.2)

при q>1 (7.3)

где q находят по приложению 2, по заданным n и ;

Исходя из приложения 2, n = 100 и = 0.95 находим q=0.143;

Поэтому интервал находим по формуле (7.2):

32.73 43.65

Вывод:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание `а' находится в доверительном интервале -692,25

?' находиться в доверительном интервале 32.73 43.65.

Вывод

Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.

Я нашла:

размах варьирования R=244;

среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67;

несмещенную оценку генеральной дисперсии s²=1458,99;

среднее квадратическое отклонение s=38,19;

медиану М_В=-689 и коэффициент вариации V= 5,58%.

С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале

— 692,25 а -677,09

и среднее квадратическое отклонение в интервале

32,73 43,65

Выборка имеет варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.

На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при =0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.

Асимметрия a_s=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.

Эксцесс e_k=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2001.