Линейные однородные. 
Дифференциальные уравнения I и II порядка

Используя свойства линейного дифференциального оператора, сформулируем свойство решений линейного дифференциального уравнения (4), которое дает ключ к пониманию структуры (устройства) общего решения.

Если h (x) и g (x) — решения линейного однородного уравнения (4), то для любых констант С1 и С2 функция j (х) = С1h (x) + С2g (x) — решение уравнения (4).

Известно, что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных констант. В связи с этим возникают следующие вопросы. Можно ли найти такие nрешений j1(х), j2(х), …, jn (х), что функция.

(5).

где Сi (i = 1, 2, …, n) — константы, будет общим решением линейного однородного уравнения (4)? Какими свойствами должны обладать функции ji (х), чтобы составленная из них по формуле (5) функция являлась общим решением?

На основании свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что множество всех решений данного уравнения образует линейное пространство. Известно, что в любом линейном пространстве каждый элемент является линейной комбинацией базиса.

Введем понятия линейной зависимой и линейной независимой системы функций.

Определение 2.

Система функций y1(х), y2(х), …, ym (х) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если на этом интервале выполняется тождество:

a1y1(х) + a2 y2(х) + …+ am ym (х) є 0, (6).

в котором, по крайней мере, один из коэффициентов ai (i = 1, 2, …, m) отличен от нуля (a12 + a22 + … + am2 № 0).

Определение 3.

Система функций y1(х), y2(х), …, ym (х) называется линейно независимой на интервале (a, b), если на этом интервале тождество (6) выполняется только в том случае, когда все коэффициенты ai (i = 1, 2, …, m) равны нулю.

(a12 + a22 + … + am2 = 0).

Пример 2. Исследовать на линейную зависимость системы функций:

а) у1(х) = х, у2(х) = 3х; б) у1(х) = sinх, у2(х) = cosх.

Решение. В случае (а) тождество a1y1(х) + a2 y2(х) є 0 выполняется при a1 = -3 и a2 = 1 для всех х, т. е. по определению 2 эта система функций линейно зависима на всей числовой прямой.

В случае (б) предположим, что a1 sinх + a2 cosх є 0 и один из коэффициентов, допустим a1, отличен от нуля. Тогда показывает, что это невозможно, так как выражение слева зависит от х, а справа — константа. Таким образом, функции sinx и сosx являются линейно независимой системой на (-Ґ, Ґ).

Анализируя решение примера 2, можно сформулировать утверждение общего характера: система, состоящая из двух функций, линейно зависима тогда и только тогда, когда их отношение является константой.

Для того чтобы сформулировать условия линейной зависимости системы функций, нам потребуется понятие определителя Вронского (вронскиана).

Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде.

где a₁(x) и a₂(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a, b].

Линейная независимость функций. Определитель Вронского Функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если существуют постоянныеб₁, б₂, …, б_n, одновременное не равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество.

Если же это тождество выполняется лишь при б₁ = б₁ = … = б_n = 0, то указанные функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x)называются линейно независимыми на отрезке [a, b]. Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функцииy₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a, b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

В противном случае, при, эти функции будут линейно зависимыми. Пусть n функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) имеют производные (n? 1) порядка. Определитель.

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций. Теорема. Если система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейна зависима на отрезке [a, b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке. Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a, b], то функцииy₁(x), y₂(x), …, y_n(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.