Правильные и полуправильные многогранники. 
Теорема Эйлера–Декарта

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от маленького ребенка, играющего с кубиками, до взрослого человека.

Некоторые многогранники встречаются в природе, как в неживой так и в живой.

Правильные многогранники — самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий — вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник — икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Тема данной курсовой работы — «Правильные и полуправильные многогранники. Теорема Эйлера — Декарта».

Цель курсовой работы — рассмотреть различные виды правильных и полуправильных многогранников, изучить их основные свойства.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

· изучить, систематизировать и проанализировать литературу по данной тематике;

· дать понятие многогранников, рассмотреть многогранные поверхности, многогранники, топологические и правильные многогранники.

· оформить изученный материал в виде пояснительной записки.

1. Понятие многогранников

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики — линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники (рис. 1). Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии — крупного раздела современной математики.

Рисунок 1 Примеры естественных многогранников Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них — пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса — немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математикиэто правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

§ Вселенная — додекаэдр

§ Земля — куб

§ Огонь — тетраэдр

§ Вода — икосаэдр

§ Воздух — октаэдр Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ — идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

2. Многогранные поверхности. Многогранники

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной. На рисунке 2 изображены некоторые виды многогранных поверхностей.

Рисунок 2 Примеры многогранных поверхностей:

а) незамкнутая пирамидальная, б) замкнутая пирамидальная, в) незамкнутая призматическая, г) замкнутая призматическая

Их элементами являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней — ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней — вершинами.

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рис. 2 б, г), в противном случае — незамкнутой (рис. 2 а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке — вершине (рис. 2 а, б). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. 2 в, г).

Многогранную поверхность можно так же определить, основываясь на понятии многоугольника.

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.

Рисунок 3 Примеры многогранных поверхностей Рисунок 4 Примеры поверхностей не являющихся многогранными

Многогранная поверхность делит пространство на две части — внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.

Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Рисунок 5 Пирамида Многогранник обычно обозначается перечислением его вершин и указанием его специальных свойств. Например, многогранник SABCD, изображенный на рисунке 5, — пирамида.

Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы (рис. 6).

Рисунок 6 Простейшие многогранники: а) пирамида, б) призма Количество проекций многогранника должно быть таким, чтобы обеспечивалась обратимость чертежа. Чертеж называется обратимым, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее вторую проекцию. На рисунке 6 а) выполнен обратимый чертеж пирамиды SABC (S1A1В1С1, S2A2B2C2).

В общем случае двухпроекционный чертеж многогранника, состоящий из горизонтальной и фронтальной проекций, является обратимым, если на нем нет совпадающих проекций ребер и ни одно ребро не является профильной прямой (рис. 6 а, б). Если эти условия не соблюдаются, то для придания чертежу свойства обратимости необходимо построить третью проекцию многогранника или обозначить все его вершины. Замкнутая ломаная S1С1А1В1S1 называется очерком горизонтальной проекции пирамиды, а замкнутая ломаная S2А2В2С2S2 — очерком ее фронтальной проекции. Очерк проекции всегда видим. Видимость проекций линий, расположенных внутри очерка, определяется при помощи конкурирующих точек (рис. 6 а).

Существенную помощь при этом могут оказать следующие правила:

1. Если внутри очерка пересекаются две линии, то одна из них видимая, а другая — невидимая;

2. Если внутри очерка пересекаются в одной точке три линии, то все три будут видимые или все три — невидимые;

3. Если последовательность букв или цифр при обходе какой-либо грани в одном направлении одинакова на обеих проекциях, то и видимость этой грани на обеих проекциях одинакова, в противном случае — разная.

Например (рис. 6 а), последовательность букв при обходе грани АВS против часовой стрелки на обеих проекциях одна и та же (А1В1S1 и А2В2S2), поэтому и видимость проекций ее на П1 и П2 одинакова. В данном случае обе проекции видимы. Согласно тому же правилу проекции В1S1С1 и В2С2S2 грани ВSС имеют разную видимость.

При определении видимости проекций многогранника (призмы, пирамиды), основания которого параллельны плоскости проекций, рекомендуется пользоваться следующими правилами (рис. 6 б):

1. Линии, образующие внешний контур (очерк) каждой проекции, всегда видимы (D1Е1Е'1F'1F1D1 и D2F2F'2D'2D2).

2. Горизонтальные проекции сторон нижнего основания видимы те, которые входят в состав очерка (В1Е1 и D1F1); горизонтальные проекции сторон верхнего основания видимы все (D'1Е'1; Е'1F'1; F'1D'1).

3. На плоскости П1 видимы проекции тех граней, которые проходят через видимые на ней проекции сторон нижнего основания (D1Е1Е'1D'1; D1D'1F'1F1).

4. На плоскости П2 видимы проекции тех граней, которые проходят через впереди лежащие стороны нижнего основания (D2Е2Е'2D'2; Е2Е'2F'2F2).

Впереди лежащими сторонами основания DEF являются стороны DЕ и ЕF, если смотреть по стрелке А.

Среди других видов многогранников следует выделить — призматоиды и правильные многогранники (тела Платона). Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания — многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции (рис. 7).

Рисунок 7 Призматоид

3. Топологические многогранники

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство.

Пусть F — какая-нибудь грань многогранника M, и A, B — точки, принадлежащие грани F (рис. 8). Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F — выпуклый многоугольник.

Рисунок 8

Рисунок 9

Рисунок 10

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство. Пусть M — выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 9). Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся внутри многогранника M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в многограннике M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство. Предположим противное, т. е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 10). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней простого многогранника (рис. 11), тогда В — Р + Г = 2

Представим, что многогранник внутри пустой и поверхность его сделана из тонкой резины. Тогда, вырезав предварительно одну грань, можно оставшуюся поверхность деформировать так, что она расстелется на плоскость (рис.12). Конечно, грани углы и ребра многогранника испытают большие изменения, но «сетка», составленная из вершин и ребер на плоскости будет содержать то же число вершин и ребер, что и первоначальный многогранник, тогда как число граней станет на одну меньше.

Рисунок 11

Рисунок 12

Рисунок 13

Теперь предстоит убедиться, что для полученной сетки на плоскости будет справедливо равенство В — Р + Г = 1, т. е. одна грань вырезана.

«Триангулируем» плоскую сетку: если в сетке есть многоугольник с числом углов больше трех, проведем диагональ (рис. 13). В результате число ребер Р и граней Г увеличится на 1, а В — Р + Г не изменится.

Рисунок 14

Рисунок 15

Рисунок 16

Будем продолжать этот процесс, пока сетка не будет состоять из одних треугольников (рис. 14). Некоторые из этих треугольников имеют стороны, принадлежащие к границе сетки. Уберем эти отрезки (рис. 15). Число ребер и число граней уменьшатся одинаково, а В — Р + Г не изменилось. Продолжим этот процесс.

Убрали два ребра, одну вершину, и одну грань (рис. 16), а В — Р + Г не изменилось.

Рисунок 17

Рисунок 18

Продолжаем процесс (рис. 17−18). Для треугольника В — Р + Г=1

Поскольку В — Р + Г не изменялась по мере преобразования сетки, то и для исходного многоугольника В — Р + Г=1. А если учесть, что одна грань была вырезана, то В — Р + Г=2

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Не являются топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

4. Правильные многогранники

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Простым будем называть многогранник без «дыр», так что его поверхность путем деформации может быть переведена в поверхность сферы (рис. 19 а).

Рисунок 19 Многоугольники: а) простой, б) непростой

Существует пять правильных многогранников (рис. 20):

1. Тетраэдр (в основании фигуры четырехгранник) — ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками.

2. Гексаэдр (в основании — четырехгранник, или куб) — ограничен шестью равными квадратами.

3. Октаэдр (в основании — восьмигранник) — ограничен восемью равносторонними и равными треугольниками.

4. Додекаэдр (в основании — двенадцатигранник) — ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками.

5. Икосаэдр (в основании — двадцатигранник) — ограничен двадцатью равносторонними и равными треугольниками.

Рисунок 20 Правильные многоугольники

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427−347 до н. э.) «Тимаус». Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

С помощью теоремы Эйлера легко убедиться, что платоновых тел равно 5.

Пусть правильный многогранник имеет Г граней, каждая из которых есть правильный n-угольник, и что у каждой вершины сходится r ребер.

Тогда, считая по граням: nГ=2Р

Считая по ребрам: rВ=2Р

Тогда

Надо заметить, чтоn>2, r>2, так как многоугольник имеет не менее трех сторон и в каждой вершине сходится не менее 3-х граней.

С другой стороны оба числа n и r не могут быть больше 3, так как их сумма в противном случае была бы меньше ½.

При n=3, получаем

Поскольку может принимать значения, , т. е. r=3, 4, 5.

Если r = 3, n = 3, то P = 6, Г = В = - это тетраэдр.

Если r = 4, n = 3, то Р = 12, Г =, В = - это октаэдр.

Если r = 5, n = 3, то Р = 30, Г = В = - это икосаэдр.

Пусть теперь r = 3, тогда равенство примет вид:

или

Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

Случай n = 3 разобран.

Остаются два случая:

n =4 при k =3, тогда, т. е. Р =12, Г =, В = - это куб.

n = 5 при k = 3, тогда, Р = 30, Г = 12, В = 30 — это додекаэдр.

Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани — правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.

Это усеченный тетраэдр (рис 21 а), усеченный оксаэдр (рис 21 б), усеченный икосаэдр (рис 21 в), усеченный куб (рис 21 г), усеченный додекаэдр (рис 21 д), кубооктаэдр (рис 21 е), икосододекаэдр (рис 21 ж), усеченный кубооктаэдр (рис 21 з), усеченный икосододекаэдр (рис 21 и), ромбокубооктаэдр (рис 21 к), ромбоикосододекаэдр (рис 21 л), «плосконосый» (курносый) куб (рис 21 м), «плосконосый» (курносый) додекаэдр (рис 21 н).

Рисунок 21 Архимедовы тела Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1. Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник);

2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников — платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789−1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 22 а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 22 б).

Рисунок 22 Рисунок 23

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 23). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 24).

многогранник поверхность грань ребро Рисунок 24 Рисунок 25

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 25).

Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники (рис 26). С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Рисунок 26

1. Смирнова И., Смирнов В. Что такое «Полуправильный многогранник» Учебно-методическая газета «Математика». — 2007 .-№ 16-с.23−26

2. Смирнова И. М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся.- М.: Просещение, 1995.

3. Литвиненко В. Н. Многогранники. Задачи и решения: — М.: «Вита-Пресс», 1995.