Численная иллюстрация хаотической динамики в отображении Эно

Рассмотрим систему с дискретным временем на примере отображения Эно. Аттрактор Эно описывается уравнениями (4).

x, y — динамические переменные, и b — параметры отображения. Данное отображение интенсивно изучалось как одно из простейших расширений логистического отображения до большей размерности. Действительно, при b = 0 данное отображение вырождается в одну из форм записи логистического отображения*.

В отображении Эно реализуется каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума.

*Логистическое отображение является полиномиальным отображением, упоминаемым в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений.

Для того чтобы построить отображение Эно, берется начальная точка. Делается некоторое число итераций. Часть первых точек пропускается, а последние выводятся на экран.

На рис. 4 приведен аттрактор при разных µ.

Аттрактор имеет одну точку.

• б) µ=0,4;b= -0,3; аттрактор имеет две точки.
• в) µ=0,1; b= -0,3; аттрактор периодический.
• г) µ=1,1; b= -0,3; начинает образовываться хаос

Эта программа проходит 30 000 итераций. Пропускается 700 первых точек. После чего строится изображение.

На изображении (а) отображение Эно. На (б) увеличенный фрагмент отображения. Видно, что отображение состоит из множества почти параллельных прямых линий. Если увеличить отображение еще сильнее (в), видно, что линии состоят из множества точек.

Чтобы увидеть как строился аттрактор Эно нужно менять количество итераций.

На рисунке (рис 5) показано как строится аттрактор через разное количество пройденных итераций.

Данное отображение является простой дискретной системой, которая растягивает и «складывает» траектории в фазовом пространстве. Это является одним из типичных свойств и особенностей хаотических процессов.

При последовательной итерации отображения Эно повторяющиеся изгибы, сжатия и повороты приводят к формированию на плоскости подковообразного, очень сложно устроенного множества — хаотического аттрактора.