Теорема об изменении кинетической энергии точки

Кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы — 1 Дж. Найдем зависимость между этими двумя величинами.

Теорема (в конечном виде). Изменение кинетической энергии точки при ее перемещении равно алгебраической сумме работ действующих на точку сил на том же перемещении.

Пусть точка массой m перемещается из положения М0, где ее скорость V0, в положение М1, где ее скорость V1. Используем в дальнейшем выражение, выражающее основной закон динамики:

m.

Проецируя обе его части на касательную М к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим.

ma ,.

где — касательное ускорение точки, которое представим в виде.

a ,.

тогда получим.

.

Умножим обе части равенства на ds и внесем m под знак дифференциала (т.к. m постоянная):

Или.

(33).

где — элементарная работа силы. Формула (33) есть выражение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме.

Проинтегрируем обе части равенства (33) в пределах, соответствующих значениям переменных в точкам М0 и М1, получим окончательно:

. (34).

Уравнение (34) выражает теорему в конечном виде.

При несвободном движении точки в правую часть равенства (34) войдет работа заданных (активных) сил и работа реакции связи. Рассмотрим движение точки только по неподвижной гладкой кривой или поверхности (трение равно нулю).

В этом случае реакция будет направлена по нормали к траектории точки и касательная составляющая реакции равна нулю.

Тогда работа реакции связи будет равна нулю и уравнение (34) примет вид.

. (35).

Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил, прибавляется работа силы трения.

Задача 14. Груз массой m = 2 кг, брошенный со скоростью = 20 м/с из пункта А, находящегося на высоте h = 5 м (рис. 82), имеет в точке падения С скорость = 16 м/с. Определить, чему равна работа, действующей на груз при его движении силы сопротивления воздуха .

Рис. 7.

Решение. На груз действует сила тяжести и сила сопротивления воздуха. По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз точкой, имеем.

.

Из этого равенства, так как согласно формуле (32) находим.

.