Ошибки, выявленные при решении задач первой части основного государственного экзамена по математике в Алтайском крае в 2015 году

Методический анализ образовательных результатов различных видов экзаменов, в частности, единого государственного экзамена (ЕГЭ), основного государственного экзамена (ОГЭ) позволяет выявить основные погрешности, допускаемые участниками экзамена и спроектировать предупреждающие и корректирующие действия по их преодолению. В Алтайском крае, начиная с 2010 г. [2], в практику вошло осуществление методического анализа предметных результатов основного государственного экзамена (ОГЭ) на различных уровнях: регион, муниципалитет, образовательная организация.

Выявление погрешностей учащихся преследует цель не только осуществления контроля, но совершенствования учебного процесса, поскольку позволяет наметить пути преодоления типичных ошибок и недочётов учащихся в дальнейшем обучении. Функции анализа ошибок достаточно давно выделены в научно-методической литературе. «Рассмотреть с учащимися средней школы хотя бы некоторые такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем; во-вторых, самый процесс разыскания ошибки легко сделать увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики» [1, с. 3].

В 2015 г. в ОГЭ приняло участие 20 012 выпускников образовательных организаций Алтайского края. Продемонстрируем некоторые положения выполненного на уровне региона анализа решений задач первой части контрольных измерительных материалов ОГЭ участниками в Алтайском крае на примере одного из вариантов работы.

Не приступили к выполнению задания 0,5% (в прошлом году 2,2%).

При выполнении задачи 1 учащиеся допускали ошибки в умножении и вычитании десятичных дробей. Несформированность действия самоконтроля не призывало учащихся к выполнению проверки, в ходе которой многие вычислительные ошибки были бы ликвидированы.

Не приступили к выполнению задания 1,24%.

Причиной массовых ошибок, различных неверных вариантов ответов в задании 2 является недостаточный уровень сформированности умений сравнивать рациональные числа, а также низкий уровень вычислительных умений (при представлении обыкновенной дроби в виде десятичной или при приведении дробей к общему знаменателю).

Не приступили к выполнению задания 2,22%.

В решении задания 3 участники экзамена допускали ошибки при работе с квадратными корнями. Основная причина ошибок — непонимание смысла знака радикала, незнание свойств квадратных корней или неумение их применять в типичных ситуациях.

Не приступили к выполнению задания 3,66%.

Значительный процент учащихся (17,2%), неверно выполнивших задание 4, можно объяснить несформированностью действий переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, приведения подобных слагаемых, нахождения неизвестного множителя. Отсутствие действий самоконтроля не позволило многим учащихся осуществить проверку найденного значения переменной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ: A — 1, Б — 3, В — 2.

Верный ответ предложили 88,7% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

А-3 Б-1 В-2 — 25,4%,.

А-3 Б-2 В-1 — 15,9%,.

А-1 Б-2 В-3 — 15,2%,.

А-2 Б-3 В-1 — 9%,.

А-2 Б-1 В-3 — 7,4%.

Не приступили к выполнению задания 0,79%.

Причина ошибок учащихся в этом задании — незнание вида графика для конкретной функции. Анализ вариантов ответов дает возможность предположить, что девятиклассники:

• — путая понятия показателя степени и коэффициента для квадратичной и линейной функций, отмечали соответственно варианты ответов 3) и 1);
• — учитывая, что графики обратно пропорциональной функции и квадратичной функции — кривые, выбирали для них варианты ответов 1) или 2).

Не приступили к выполнению задания 8,32%.

Традиционно в заданиях с арифметической, равно как и геометрической, прогрессией учащиеся допускают множество вычислительных ошибок в применении формул (даже при наличии справочных материалов).

Ошибки при сложении десятичных дробей привели девятиклассников к неверным ответам 55,6 и 55,4. 4,1% учащихся подменили сложение чисел с разными знаками на сложение отрицательных чисел, в результате чего получили ответ -71,6. Несформированность умений решать простейшие задачи с прогрессиями на уровне «знаний» привела к тому, что 7,8% школьников получили ответы 2,8; 63,4.

Не приступили к выполнению задания 9,88%.

Типичные ошибки в задании 7 могли быть связаны с неумением выносить общий множитель за скобки и делить рациональные дроби.

Не приступили к выполнению задания 2,74%.

К решению задачи 8 приступали более 95% учащихся, но около половины из них предложили неверный ответ.

В решении задания школьники допускали ошибки при решении второго неравенства системы, а именно: умножая или деля обе части неравенства на отрицательное число не меняли знак.

Кроме того, учащиеся, ошибались при нахождении общего решения системы — вместо пересечения промежутков находилось их объединение или в качестве ответа выбирался один из полученных промежутков.

Не приступили к выполнению задания 2,37%.

Некоторые школьники, видимо, подменили понятие прямоугольного треугольника на прямоугольный равнобедренный, поэтому считали острые углы равными (ответ 43⁰).

Часть учащихся помня, что сумма углов треугольника равна 180⁰, вычли из 180 число 43 и записали результат в ответ, найдя тем самым сумму двух других углов вместо величины искомого острого угла.

Не приступили к выполнению задания 10,24%.

Ошибки в задании 10, приведшие к неверным результатам учащихся, связаны, скорее всего, с путаницей понятий «радиус» и «диаметр», поэтому среди неверных ответов появилось число в 4 раза меньше верного результата.

Другие ошибочные ответы учащихся могут быть обусловлены незнанием школьниками формулы площади квадрата (подмена ее формулой периметра).

Не приступили к выполнению задания 1,65%.

Неверные варианты ответов дают основание предположить, что учащиеся не знают формулы площади параллелограмма, находя ее либо просто как произведение длин данных отрезков 3, 2 и 4 (24), либо как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне (10), либо как произведение двух сторон параллелограмма (25).

Не приступили к выполнению задания 2,17%.

Неправильные ответы связаны с незнанием учащимися термина «бульший катет» прямоугольного треугольника (ответ 10 получен в результате сложения длин двух катетов); игнорированием условия задания (ответ 3,5 получен как 3,5 см, считая, что единичный отрезок равен 2-м клеткам); ошибочным применением теоремы Пифагора и неумением возвести число в степень 2.

Не приступили к выполнению задания 1,02%.

В задании 13 учащиеся должны были продемонстрировать свое знание истинных математических утверждений (теорем, свойств и признаков фигур), умение обосновывать ложность предложенных утверждений, опираясь на контрпримеры.

Выбор учащимися двух вариантов ответа может указывать на невнимательность или непонимание формулировки задания, в котором требуется выбрать только одно утверждение. Другие неверные ответы могут свидетельствовать о незнании математических фактов или неумении опровергнуть утверждение, ссылаясь на контрпример.

Верный ответ дали 76,42% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 4 — 61,6%,
• 3 — 17%,
• 1 — 6,7%.

Не приступили к выполнению задания 0,84%.

Результаты выполнения практико-ориентированной задачи аналогичны прошлогодним. Почти все девятиклассники приступили к решению задачи. Выбранный школьниками вариант ответа «3» или «4» указывает на то, что они не учитывали время движения студентки от вокзала до университета.

Вариант ответа «1» мог быть выбран по причине того, что ученики не ориентировались на полное требование «…время отправления от станции Нара до самого позднего из электропоездов, которые подходят студентке».

Верный ответ дали 84,06% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 6 — 24,3%,
• 8 — 20,4%,
• 4,5 — 6,5%.

Не приступили к выполнению задания 0,7%.

Ответ «8» есть результат невнимательного чтения требования задачи — учащиеся считали нагрев двигателя от 10⁰С. Варианты ответов 6; 4,5 получены из-за бессмысленных манипуляций экзаменующихся с числовыми данными и как следствие — неправильное нахождение требуемого времени.

Задание 16. Плата за телефон составляет 350 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 11%. Сколько придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

Ответ: 388,5.

Верный ответ дали 65,19% учащихся, выполнявших данный вариант.

Массовые неверные ответы:

• 385 — 27,5%,
• 38,5 — 4,3%,
• 361 — 3,9%.

Не приступили к выполнению задания 8,21%.

Простейшие задачи на проценты остаются для учащихся нелегкими (верно решили задачу только две трети школьников), и поэтому обучение школьников решению задач на проценты не теряет своей актуальности.

Анализ неверных ответов школьников дает возможность предположить, что в первом случае ребята, вместо умножения данного числа (385) на 1,11 умножают его на 1,1, т. е. неверно трактуют увеличение числа на 11%.

Второй вариант ответа представляет собой денежную сумму, которая приходится на 11%; иными словами, учащиеся переопределили требование задачи, ответив на другой вопрос — на сколько рублей увеличится ежемесячная плата за телефон.

Вариант ответа 361 получен сложением 350 и 11, демонстрирующим полное непонимание учащимися понятия «процент» и неумение решать соответствующие задачи.

Верный ответ дали 74,86% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 4 — 40,1%,
• 6 — 13%,
• 16 — 9%.

Не приступили к выполнению задания 4,86%.

Задание 17 предполагает работу с геометрической моделью — прямоугольным треугольником, в котором учащимся необходимо найти катет.

Ответ «6» получен девятиклассниками, по-видимому, из рисунка — на нем катеты треугольника зрительно равны.

Анализ других неверных вариантов ответа приводит к выводу о том, что учащиеся обходятся без теоремы Пифагора, выполняя действия сложения или вычитания с данными числами.

Верный ответ дали 96,61% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 4 — 9,3%,
• 3 — 7,5%,
• 1 — 7%.

Не приступили к выполнению задания 0,79%.

Работа с диаграммами у школьников практически не вызывает затруднений. Ошибки, по всей вероятности, допущены теми учащимися, которые не умеют читать диаграммы. Ряд ошибок могло быть сделано по причине невнимательности.

Задание 19. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Миша. Найдите вероятность того, что Мише достанется пазл с машиной.

Ответ: 0,3.

Верный ответ дали 73,71% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 0,1 — 8,7%,
• 0,03 — 5,3%,
• 3,3 — 5,2%.

Не приступили к выполнению задания 8,93%.

Большинство полученных неверных ответов объясняется неправильным составлением отношения для нахождения вероятности, например:

Задание 20. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле С = 150 + 11(t — 5), где t — длительность поездки, выраженная в минутах. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки. Ответ укажите в рублях.

Ответ: 249.

Верный ответ дали 72,06% учащихся, выполнявших рассматриваемый вариант.

Массовые неверные ответы:

• 1449 — 19%,
• 271 — 6,5%.

Не приступили к выполнению задания 8,95%.

Полученные неверные ответы являются следствием ошибочного выполнения вычислений с натуральными числами по формуле, или подмены данных одной величины другой величиной.

Статистическая картина различных вариантов ответов, предлагаемых учащимися по каждому заданию первой части, так называемый «веер ответов"[3, с. 30], представлена на рисунке 1.

Рис. 1. Количество разных вариантов ответов, предложенных учащимися для заданий первой части, в анализируемом варианте

Анализ показывает наличие у девятиклассников определенных проблем при решении отдельных заданий первой части (в частности, 1, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 16, 19, 20), так как большой разброс вариантов ответов свидетельствует, в частности, о неустойчивости понимания учащимися соответствующего учебного материала.

Проведенный анализ выполнения учащимися заданий первой части, основанный на детальном изучении выполнимости, решаемости задач, а также «веера ответов» к ним, дает основание определить наиболее слабо сформированные математические умения школьников. В связи с этим, в ходе освоения учащимися базовыми понятиями курса математики, умениями применять математические знания и решать практико-ориентированные задачи.

математический образование ошибка учащийся.

• 1. В.M. Брадис, В. Л. Минковский, А. К. Харчева. Ошибки в математических рассуждениях [Текст]. — М.: Учпедгиз, 1959. — 176 с.
• 2. Кисельников И. В. Анализ типичных ошибок учащихся основной школы при решении задач государственной итоговой аттестации по алгебре (в новой форме) в системе обеспечения качества обучения математике. Мир науки, культуры, образования. 2010, август, № 4 (23): 214−217.
• 3. Кисельников И. В. ЕГЭ по математике в Алтайском крае: методический анализ результатов 2013 года: учебно-методическое пособие Барнаул: АлтГПА, 2013. — 94 с.