Место курса по выбору «Решение комбинаторных задач» в школьном курсе математики

Современные представления школьного математического образования направлены, первым делом, на учет индивидуальных предпочтений учащихся, их склонностей и интересов. Это формирует критерии подбора содержания, подготовку и внедрение новейших, интерактивных методик обучения, усовершенствование требований к математической подготовке школьников. Когда говорят не только о преподавании математики, но и становлении личности благодаря математике, требуется развитие вероятностной интуиции у всех до единого учащихся, а также статистического мышления, что является необходимой задачей обучения.

До того, как любая область знания образует особую науку, она предварительно проходит продолжительный период сбора эмпирического материала, а затем развивается в глубине другой, обобщенной науки и только затем формирует собственный раздел. Задачи, в которых необходимо выбирать различные предметы и располагать их в некотором конкретном порядке, находить среди разнообразных расположений предпочтительное, встречались людям в доисторическую эпоху, при расположении воинов во время битвы, охотников во время охоты, делая выбор инструментов для работы. Конкретным образом располагались узоры на керамике, украшения на одежде, перья в оперении стрелы [9].

В пирамиде, где был похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли разграфленную доску с тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки для древней игры ''сенет'', правило которой мы, вероятно, никогда не узнаем. Позже появились нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты (китайские и японские шахматы, японские облавные шашки ''го'' и т. д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур, и выигрывал тот, кто их лучше заучил [9].

В китайских рукописях, датируемых XII—XIII вв. до н.э. упоминаются вопросы, схожие с комбинаторными. В этих рукописях говорится, что абсолютно все в мире есть сочетание двух начал — женского и мужского, обозначаемые символами. В ''Же Ким'' (''Книга перестановок'') представлены различные сочетания этих знаков как по два, так и по три.

Восемь рисунков из трех рядов символов изображали воду, горы, землю, ветер, огонь, грозу, небо и облака (есть рисунки, которые имеют и другие значения). Поэтому нет ничего удивительно в том, что сумма первых 8 натуральных чисел (число 36) олицетворяет в предположениях древних китайцев целый мир [9].

Оказалось нужным выразить в процессе углубления знаний и остальные элементы мироздания при помощи таких же знаков. Были созданы 64 фигуры, которые содержали пять рядов черточек. Полагают, что автор книги ''Же Ким'' обратил внимание на удвоенные числа рисунков при присоединении еще ряда символов [9]. Можно рассматривать это как первое общее достижение в комбинаторике.

Конкретные комбинаторные задачи, которые касаются перечисления малых групп предметов, греки легко решали без ошибок. Аристотель описал без пропусков все виды правильных трехчленных силлогизмов, а его ученик Арисксен из Тарента перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Живший в IV в. н.э. математик Папп рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения [9].

Комбинаторика зародилась в XVI веке. В жизни тогдашнего общества немалое место занимали азартные игры. В карты или кости выигрывались, проигрывались золото, бриллианты, дворцы, имения, породистые кони и дорогие украшения. Повсюду были распространены различные лотереи. Изначально комбинаторные задачи касались, главным образом, азартных игр — вопросов, насколько часто можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр были движущей силой в формировании комбинаторики и теории вероятностей [27, 30].

Комбинаторные проблемы обсуждались лишь в различных трудах по астрологии, математике и логике, но большей частью касались области математических развлечений и игр.

В 1666 г. Г. В. Лейбниц публикует ''Диссертацию о комбинаторном искусстве'', где термин ''комбинаторный'' появляется впервые. Диссертация стала началом большой работы, часто упоминаемой в его печатных трудах и письмах, и для которой он делал многочисленные заметки в своих записных книжках. Из этих записей видно, что Лейбниц намечал для комбинаторики разнообразные новые приложения: к играм, кодированию и декодированию и теории наблюдений, статистике. Он полагал, что комбинаторике необходимо заниматься похожим и непохожим, различным и одинаковым, абсолютным и относительным расположением, когда как традиционная математика занимается малым и большим, единицей и многим, частью и целым. Другими словами, Лейбниц под комбинаторикой понимал то, что мы сейчас называем дискретной математикой. К части комбинаторики Г. В. Лейбниц приписывал и ''универсальную характеристику'' - математику суждений, то есть модель современной математической логики.

Запланированные проекты Г. В. Лейбница представлялись несбыточными здравомыслящим математикам той эпохи. Положение дел быстро изменилось при появлении во второй половине XX века ЭВМ и расцвета дискретной математики [27, 30]. После этих событий комбинаторика переживает период стремительного развития. Комбинаторные методы сыскали множество применений. Они используются для урегулирования транспортных задач (особенно задач по формированию расписаний), для реализации продукции и регулировки планов производства, в статистике, в теории случайных процессов, в планировании экспериментов, в вычислительной математике, в шахматных программах для ЭВМ и т. д. Комбинаторика используется для создания и декодирования шифров и для решения других проблем теории кодирования и теории информации. Комбинаторные методы имеют огромное значение и в чисто математических вопросах — при изучении теории групп и их представлений, неассоциативных алгебр, конечных геометрий и т. д.

Комбинаторика — важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам, инженерам и многим другим научно-техническим работникам [40]. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений [4, 5, 6]. Один из главных аспектов совершенствования содержания математического образования заключается во включении в образовательные программы элементов теории вероятности и статистики [3]. Это обусловлено функцией, которую выполняют вероятностно-статистические знания. Без элементарной вероятностно-статистической грамотности нелегко адекватно воспринимать политическую, социальную, экономическую информацию и делать на ее основе обдуманные поступки.

Приступая к преподаванию школьникам стохастики, учитель должен себе ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической подготовки учителя математики к реализации новой линии [34, 35, 37].