Урок «Вычисление углов в пространстве»

Предметные: повторить, обобщить и закрепить материал по данной теме. Провести сравнительный анализ разных методов решения геометрических задач. Развивать навыки решения геометрических задач, умение выбирать наиболее эффективные способы решения задачи в зависимости от конкретных условий, выявлять особенности (качества, признаки) разных объектов в процессе их рассмотрения, тренировать геометрическую зоркость, пространственное воображение. Готовить учеников к успешной сдаче ЕГЭ.

Личностные: развивать такие качества мышления как гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей, формировать навыки самоанализа и самоконтроля. Развивать умение брать на себя инициативу в организации совместного действия. Использовать обмен знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений. Проявлять готовность адекватно реагировать на нужды других, оказывать помощь и эмоциональную поддержку партнерам. Развивать взаимовыручку и взаимопомощь, умение вести культурную дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу. Развивать умение адекватно оценивать свои возможности и достигнутый результат.

Оборудование урока: ноутбук, медиа проектор, экран, компьютерная презентация, раздаточный материал для индивидуальной работы.

Организационный момент:

Взаимное приветствие, проверка готовности учащихся к уроку.

Сообщение темы урока: «Вычисление углов в пространстве»

Актуальность данной темы очевидна, т.к. в последние годы задачи именно на эту тему чаще всего предлагаются на ЕГЭ в качестве задания С 2.

Сегодня на уроке мы повторим и обобщим материал по данной теме, для чего рассмотрим решение задач классическим и координатно-векторным методами на нахождение углов между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями.

Ход урока:

Повторим теорию (устная работа с презентацией).

1. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

геометрический метод — слайд 1 метод координат — слайд 2.

2. Что называют нормалью к плоскости — слайд 3.

3. Как найти угол между прямой и плоскостью?

геометрический метод — слайд 4 метод координат — слайд 5.

4. Как найти угол между двумя плоскостями?

геометрический метод — слайд 6 метод координат — слайд 7.

5. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах — слайд 8.

6. Сформулируйте теорему косинусов — слайд 9.

В качестве домашнего задания были предложены 3 задачи на вычисление углов в пространстве.

Каждый из вас по собственному желанию выбирал метод их решения. Сравним результаты и сделаем выводы о целесообразности применения того или иного метода. К доске приглашаются 6 учеников (по 2 на каждую задачу для решения её геометрическим и координатным методами).

Пока идет запись решения задач на доске фронтально решаются задачи на готовых чертежах (работа с презентацией). Дополнительные построения и вычисления появляются на слайдах постепенно по клику мышкой. В последнюю очередь появляется ответ задачи.

После завершения работы по готовым чертежам заслушиваются и проверяются решения домашних задач. Верные решения заготовлены на слайдах презентации, открывающихся пошагово.

Задача № 1. Точка Е — середина ребра ВВ₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти угол между прямыми АЕ и СА_1.

Решение геометрическим Решение методом координат:

методом:

Какой метод решения данной задачи кажется вам проще и рациональнее?

Задача № 2. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5, ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол между прямой А₁В и плоскостью ВСС₁.

Решение геометрическим Решение методом координат:

методом:

Каким методом решения предпочтительнее воспользоваться в данном случае?

Задача № 3. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ: ЕА₁ = 2: 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD₁(ЕГЭ 2012).

Решение геометрическим Решение методом координат:

методом:

В чем вы видите преимущества каждого из методов решения, а в чем недостатки?

Проведение физминутки.

• · Двумя пальцами обеих рук помассируйте виски.
• · Сложите ладони, интенсивно потрите их (это упражнение способствует мобилизации энергетического потенциала и работы всех внутренних органов, т.к. на ладонях находится много биологически активных зон).

Самостоятельная работа.

Задача № 1. На ребре СС₁ куба отмечена точка Е так, что Найти угол между прямыми ВЕ и.

Задача № 2. В правильной шестиугольный призме ABCDEFA’B’C’D’E’F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.

Задача № 3. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и.

Самостоятельная работа выполняется группами по 2 человека. После того, как работы будут сданы, демонстрируются слайды с их решениями. По «горячим следам» даются ответы на возникшие в процессе решения вопросы.

Задача№ 1. Решение.

Примем ребро куба за. Тогда.

Поскольку, получаем:

и.

Проведем через точку прямую, параллельную. Она пересекает ребро в точке, причем треугольники и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике с прямым углом.

В прямоугольном треугольнике с прямым углом.

В треугольнике.

откуда.

Тогда.

Ответ может быть представлен и в другом виде:

или.

Ответ:

Решим задачу методом координат. Совместим начало отсчета с точкой D, а оси направим вдоль ребер куба. Тогда координаты точек А (а, 0,0), С₁ (0,а, а), В (а, а,0), Е (0,а, 1/3а). Координаты направляющих векторов АС₁{-а, а, а}, ВЕ {-а, 0,1/3а}. Тогда косинус искомого угла равен:

|a²+0+a²| / aa= 2.

Ответ:

Задача 2. Решение.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

откуда.

Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений:

Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости: вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен.

Ответ:

Приведем другое решение.

— искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией так как в силу того, что и.

Рассмотрим.

(т. к. — диагональ квадрата).

Ответ:

Задача № 3. Решение Пусть точка — центр куба, а — середина, а — средняя линия треугольника, поэтому Треугольник — равносторонний, следовательно, искомый угол равен углу.

Примем длины ребер куба за. Найдем стороны треугольника Из треугольника находим из равностороннего треугольника находим.

поскольку — середина диагонали то Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Ответ:

Рефлексия:

• 1. Справились ли вы с заданиями самостоятельной работы?
• 2. Какая из задач вызвала наибольшие трудности и почему?
• 3. Как вы оцениваете свои шансы в решении заданий С2 ЕГЭ?
• 4. Над чем и как необходимо работать для достижения максимально возможного для вас результата в этой области?

Домашнее задание: решение тренировочных заданий С2 ЕГЭ 2014 (МИОО).

Литература и ЭОРы:

• 1. Геометрия, 10−11: Учеб для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-М.: Просвещение, 2012.
• 2. А. А Прокофьев, А. Г. Корянов. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание С2. Многогранники: Типы задач и методы их решения-М.: Легион, 2013
• 3. Сборники для подготовки к ЕГЭ под редакцией А. Л. Семенова, И.В. Ященко
• 4. festival.1september.ru
• 5. http://reshuege.ru/test?a=catlistwstat
• 6. http://alexlarin.net/