Методика формирования познавательного интереса

Современные технологии обучения школьников и познавательный интерес школьников

В связи с техническим пониманием понятия «модернизация» целесообразно рассматривать и различные технологии в обучении математике и формирование в них познавательного интереса в связи с изменениями в современном образовании.

Зарождение идеи технологизации обучения связано, прежде всего, с внедрением достижений технического прогресса в различные области теоретической и практической деятельности.

Массовое внедрение технологий обучения исследователи относят к началу 60-х годов и связывают его с реформированием сначала американской, а затем и европейской школы.

В настоящее время технологии обучения рассматриваются как один из видов человековедческих технологий, и базируется на теориях психодидактики, социальной психологии, кибернетики, управления и менеджмента. Педагогические технологии на сегодняшний день могут быть представлены как технологии обучения (дидактические технологии) и технологии воспитания.

К настоящему времени разработаны и используются в образовательной практике технологии трансформирования знаний, умений и навыков, проблемного, программного, разноуровневого, адаптивного, модульного обучения и другие. Рассматривая более подробно каждую из технологий можно с уверенностью сказать, что во всех них, в большей или меньшей степени, играет немаловажную роль познавательный интерес и его проявления, в процессе обучения математике. И на все это накладывает свой неизгладимый отпечаток модернизация современного математического образования.

Технология трансформирования знаний, умений и навыков, или традиционная технология обучения, ориентирована на их передачу. При такой технологии на учителя возлагается полнота ответственности за воспроизводящую деятельность обучаемого. Последнему остается роль исполнителя, хотя не отвергает его познавательная активность.

Технология поэтапного формирования умственных действий была разработана П. Я. Гальпериным. Ее можно представить в виде ряда этапов.

Этап предполагает актуализацию соответствующей мотивации учащегося, а мотивация тесно связана с познавательным интересом.

Этап связан с осознанием схемы ориентировочной основы деятельности (действия). Учащиеся предварительно знакомятся с характером деятельности, условиями ее протекания, последовательностью ориентировочных, исполни тельных и контрольных действий.

Этап — выполнение действия во внешней форме — материальной или материализованной, т. е. с помощью каких-либо моделей, схем чертежей и т. п., что предполагает непосредственную заинтересованность в денной деятельности.

Этап предполагает «внешнюю» речь, когда действие подвергается дальнейшему обобщению благодаря речевому (устному или письменному) оформлению и отрыву от материализованных средств.

Этап — этап внутренней речи, на котором действие приобретает умственную форму.

Этап связан с выполнением действия в умственном плане (интериоризация действия).

Достоинством технологии поэтапного формирования, умственных действий является создание условий для работы ученика в индивидуальном темпе и для мотивированного управления учебно-познавательной деятельностью.

Технология коллективного взаимообучения (организованный диалог, сочетательный диалог, талгенизм — таланты и гении, коллективный способ обучения, работа учащихся в парах сменного состава) разработана А. Г. Ривиным, его учениками и последователями.

Подготовка учебного материала при такой технологии заключатся в отборе учебных текстов, дополнительной и справочной литературы по теме урока (или циклу уроков), разделении учебного содержания на единицы усвоения (в авторском варианте смысловые абзацы), разработке целевых заданий, в том числе и домашних.

В условиях технологии коллективного взаимообучения каждый обучаемый чувствует себя раскованно, работает в индивидуальном темпе, скорость которого зависит от степени интереса учащегося к изучаемому материалу. У него повышается ответственность не только за свои успехи, но и за результаты коллективного труда, формируется адекватная самооценка личности, своих возможностей и способностей, достоинств и ограничений. Обсуждение информации с несколькими сменными партнерами увеличивает число ассоциативных связей, а, следовательно, обеспечивает более прочное усвоение.

Технология полного усвоения, предполагает реорганизацию традиционной классно-урочной системы, задающей для всех учеников одно и то же время, и содержание, условия труда, но имеющей на выходе не однозначные результаты. Технология полного усвоения задает единый для учащихся фиксированный уровень овладения знаниями, умениями и навыками, но делает переменными для каждого обучающегося время, методы, формы, и условия труда. Таким образом, от степени интереса к предмету зависит полнота изученного материала за сжатые сроки обучения. А это прямым образом, скажется на положительном или отрицательном отклонении от эталонного значения, которое является критерием полного усвоения.

Технология разноуровневого обучения позволяет создать педагогические условия для включения каждого ученика в деятельность, соответствующую зоне его ближайшего развития. Данная технология осуществляется посредством уровневой дифференциации, организованной путем деления потоков на подвижные и относительно гомогенные по составу группы, каждая из которых овладевает программным, материалом в различных образовательных областях на базовом (государственный стандарт) и вариативном (творческом или подготовительном к базовому) уровнях.

Технология адаптивного обучения — разновидность технологии разноуровневого обучения. Центральное место при использовании технологии адаптивного обучения отводится ученику, его деятельности, качествам его личности.

Технология программного обучения — это технология самостоятельного индивидуального обучения по заранее разработанной обучающей программе с помощью специальных средств (программированного учебника, особых обучающих машин, ЭВМ или микрокомпьютеров и др.). Она обеспечивает каждому учащемуся возможность осуществления учения в соответствии с его индивидуальными особенностями (темп обучения, уровень обученности и др.). Основное средство реализации технологии программированного обучения — обучающая программа. Технология программного обучения стала следствием технологического прогресса вошедшего в образование школьников.

Технология проблемного обучения связана с интенсификацией традиционного обучения, что предполагает поиск резервов умственного развития учащихся и, прежде всего творческого мышления, формирование способностей к самостоятельной познавательной деятельности. Суть проблемного обучения заключается в создании (организации) проблемных ситуаций и их решении в процессе совместной деятельности учащихся и учителя при максимальной самостоятельности первых и под общим руководством последнего, направляющего деятельность учащихся.

Технология модульного обучения основана на парадигме, суть которой состоит в том, что ученик должен учиться сам, а учитель обязан осуществлять управление его учением: мотивировать, организовывать, координировать, консультировать, контролировать. Эта технология интегрирует в себе многие прогрессивные идеи, накопленные в педагогической теории и практике.

Модуль выступает технологическим средством модульного обучения, так как в него входят целевой план действий, банк информации, методическое руководство по достижению дидактических целей. Модуль — это программа обучения, индивидуализированная по содержанию, методам учения уровню самостоятельности, темпу учебно-познавательной деятельности.

Технология гарантированного обучения, известная как педагогическая технология профессора Монахова, Монахов В. М. Проектирование и внедрение новых технологий обучения // Советская педагогика. — 1990. — № 7. — С. 17−22. представляет собой модель совместной педагогической деятельности по проектированию и осуществлению учебного процесса.

Согласно технологии гарантированного обучения в деятельности учителя выделяют два этапа: проектирования и учебного процесса. Этап проектирования связан с конструированием на основе технологических предписаний и процедур технологической карты урока.

Технология индивидуализации обучения на основе учета когнитивного стиля разработана М. Н. Берулава и Г. А. Берулава. Гуманизация образования предполагает создание таких условий обучения, которые обеспечивали бы максимальный психологический комфорт для учащихся, и лучшие условия, по их мнению, создаются при индивидуализации обучения, благодаря которой учащийся может работать в своем генетически заданном ритме. В этом плане целесообразен учет когнитивных стилей учащихся.

Все рассмотренные нами выше образовательные технологии тем или иным образом опираются на познавательные интересы учащихся. Каждая образовательная технология предполагает в своем контексте различные методы обучения математике, а, следовательно, и формирования познавательного интереса.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что любая образовательная технология характеризуется определенным набором стандартных методов формирования познавательного интереса. Модернизация образования влияет на становление и развитие образовательных технологий, а, следовательно, и методов формирования познавательного интереса в контексте каждой из них. Выбор образовательной технологии в обучении стоит за учителем, а, следовательно, он сам определяет методы формирования познавательного интереса.

§ 2. Формирование познавательных интересов в обучении у школьников в условиях модернизации образования В связи проведением на сегодняшний день всесторонней модернизации современного математического образования мы сталкиваемся по-новому с проблемой формирования познавательного интереса, что неуклонно ведет к разработке новых методик формирования познавательного интереса. Рассмотрим более подробно некоторые методы формирования познавательного интереса у учащихся на уроках математики и аспекты их практического применения в процессе преподавания предмета.

Познавательный интерес, как и всякая черта личности и мотив деятельности школьника, развивается и формируется в деятельности, и прежде всего в учении.

Формирование познавательных интересов учащихся в обучении может происходить по двум основным каналам, с одной стороны само содержание учебных предметов содержит в себе эту возможность, а с другой — путем определенной организации познавательной деятельности учащихся.

Первое, что является предметом познавательного интереса для школьников — это новые знания о мире. Вот почему глубоко продуманный отбор содержания учебного материала, показ богатства, заключенного в научных знаниях, являются важнейшим звеном формирования интереса к учению.

Каковы же пути осуществления этой задачи?

Прежде всего, интерес возбуждает и подкрепляет такой учебный материал, который является для учащихся новым, неизвестным, поражает их воображение, заставляет удивляться. Удивление — сильный стимул познания, его первичный элемент. Удивляясь, человек как бы стремится заглянуть вперед. Он находится в состоянии ожидания чего-то нового.

Ученики испытывают удивление, когда составляя задачу, узнают, что одна сова за год уничтожает тысячу мышей, которые за год способны истребить тонну зерна, и что сова, живя в среднем 50 лет, сохраняет нам 50 тонн хлеба.

Но познавательный интерес к учебному материалу не может поддерживаться все время только яркими фактами, а его привлекательность невозможно сводить к удивляющему и поражающему воображение. Еще К. Д. Ушинский писал о том, что предмет, для того чтобы стать интересным, должен быть лишь отчасти нов, а отчасти знаком. Новое и неожиданное всегда в учебном материале выступает на фоне уже известного и знакомого. Вот почему для поддержания познавательного интереса важно учить школьников умению в знакомом видеть новое.

Такое преподавание подводит к осознанию того, что у обыденных, повторяющихся явлений окружающего мира множество удивительных сторон, о которых он сможет узнать на уроках. И то, почему растения тянутся к свету, и о свойствах талого снега, и о том, что простое колесо, без которого сейчас не обходится ни один сложный механизм, является величайшим изобретением.

Все значительные явления жизни, ставшие обычными для ребенка в силу своей повторяемости, могут и должны приобрести для него в обучении неожиданно новое, полное смысла, совсем иное звучание. И это обязательно явится стимулом интереса ученика к познанию.

Именно поэтому учителю необходимо переводить школьников со ступени его чисто житейских, достаточно узких и бедных представлений о мире — на уровень научных понятий, обобщений, понимания закономерностей.

Интересу к познанию содействует также показ новейших достижений науки. Сейчас, больше чем когда-либо, необходимо расширять рамки программ, знакомить учеников с основными направлениями научных поисков, открытиями.

Далеко не все в учебном материале может быть для учащихся интересно. И тогда выступает еще один, не менее важный источник познавательного интереса — сам процесс деятельности. Что бы возбудить желание учиться, нужно развивать потребность ученика заниматься познавательной деятельностью, а это значит, что в самом процессе ее школьник должен находить привлекательные стороны, что бы сам процесс учения содержал в себе положительные заряды интереса.

Путь к нему лежит, прежде всего, через разнообразную самостоятельную работу учащихся, организованную в соответствии с особенностью интереса.

Самостоятельная работа.

Самостоятельное выполнение задания — самый надежный показатель качества знаний, умений и навыков ученика.

Организация самостоятельной работы — самый трудный момент урока. Дело в том, что к моменту проверки работы всегда находится в классе несколько учеников, которые с заданием не успели справиться, а ждать их — значит терять время. Поэтому учитель обычно начинает проверять самостоятельные работы. Те, кто выполнили задания, включаются в работу, а те, кто не выполнил, фактически переписывают решения в тетради. Организуя, таким образом, проверку, учитель в какой-то мере помогает ученикам, которые не справились с заданием. Но верный ли это путь? В конечном итоге в классе образуется группа, которая изо дня в день полностью не справляется с самостоятельной работой и привыкает дописывать задания во время проверки. Как научить ученика работать самостоятельно? Необходимо использовать подготовительные упражнения, карточки с дифференцированными заданиями, продуманную последовательность заданий, вариантность, комментирование заданий и наглядность.

Опорные схемы.

Овладение новыми, более совершенными способами познавательной деятельности содействует углублению познавательных интересов в большей мере тогда, когда это осознается учащимися. Именно это и является источником радости.

Проблемное обучение.

Проблемное обучение, а не преподнесение готовых, годных лишь для заучивания фактов и выводов всегда вызывает неослабевающий интерес учеников. Такое обучение заставляет искать истину и всем коллективом находить ее.

В проблемном обучении на общее обсуждение ставится вопрос-проблема, содержащий в себе иногда элемент противоречий, иногда неожиданности.

Проблемное обучение вызывает со стороны учащихся живые споры, обсуждения. Проблемное обучение вызывает к жизни эмоции учеников, создается обстановка увлеченности, раздумий, поиска. Это плодотворно сказывается на отношении школьника к учению.

Для развития познавательных интересов важно усложнение познавательных задач.

Для этого интересно использовать предварительную подготовку к восприятию нового. Например:

Заселите домик числами.

Решить удобным способом.

• (40+10) — 7
• (60+10) — 4

После записи решения на доске детям дается задание: Найдите, чем похожи суммы в этих примерах. А получив ответ: Вторые слагаемые одинаковы — число 10, дети обводят указанные слагаемые красным мелом.

• (40+10)-7
• (60+10)-4

Вывод можно зафиксировать наглядно, соединив дугой число 10 и то число, которое вычитается.

В этом обобщении фиксируется основа вычислительного приема для случая 30−6.

Следующие задания предлагаются с целью закрепить умение выделять в круглых десятках один десяток, т. е. представлять круглые десятки в виде суммы, в которой одно из слагаемых равно числу 10.

Вставить числа в окошки по данному образцу.

• 40 = 30 + 10 80 = … + 10
• 60 = 50 + 10 50 = … + …

При подытоживании проделанной работы необходимо сказать о том, что умения заменять круглые десятки суммой со вторым слагаемым 10, находить удобный способ вычитания из такой суммы несколько единиц и знания состава числа 10 пригодятся ученикам в дальнейшем при изучении нового вычислительного приема. Все это нацеливает детей на изучение нового материала. И детям интересно решать пример вида 30 — 6 т.к. они сами при его решении устанавливают закономерность, используя ранее приобретенные знания.

Задачи на применение знаний и умений также способствуют развитию познавательных интересов. С одной стороны эти задачи позволяют ученикам оперировать знаниями, повседневно убеждаться в их полезности. С другой стороны, сам процесс оперирования умениями позволяет им делать лестные для себя заключения о продвижении.

Особенно развивают интерес творческие работы учащихся, которые связаны с работой воображения, углубленной мысли, с активным оперированием знаниями и умениями. Для этой цели использую опорные схемы:

Занимательный материал.

Одним из средств формирования познавательного интереса является занимательность. Элементы занимательности, игра, все необычное, неожиданное вызывают у детей чувство удивления, живой интерес к процессу познания, помогают им усвоить любой учебный материал.

В процессе игры на уроке математики учащиеся незаметно для себя выполняют различные упражнения, где им приходится сравнивать множества, выполнять арифметические действия, тренироваться в устном счете, решать задачи. Игра ставит ученика в условия поиска, пробуждает интерес к победе, а отсюда — стремление быть быстрым, собранным, ловким, находчивым, уметь четко выполнять задания, соблюдать правила игры.

В играх, особенно коллективных, формируется и нравственные качества личности. На уроках можно использовать такие игры: ЛЕСЕНКА, МОЛЧАНКА, ДЕСАНТНИКИ, «ПРОДОЛЖАЙ, НЕ ЗЕВАЙ», ТОЧНО ПО КУРСУ, ПОЕЗД, КОМУ ПОДАЕТСЯ МЯЧ, и многие другие.

Геометрический материал.

Развитию познавательных интересов способствует использование геометрического материала.

· Вывесив плакат с рисунком, составленным из геометрических фигур.

Можно спросить:

Из каких фигур состоит рисунок кошки?

Какой фигурой представлено туловище?

Измерь и найди площадь этой фигуры, сумму длин ее сторон.

· Раздать детям геометрические фигуры и дать задание — составить из данных фигур домик, елочку, кораблик и т. д.

Страницы истории на уроках математики.

Математика и история — две неразрывные области знания.

Сведения из истории математики, исторические задачи сближают эти два школьных предмета. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять.

Как, решая проблему формирования интереса учеников к учению, использовать возможности двух школьных предметов? Сведения из истории математики, задачи исторического характера, софизмы — лишь немногие «точки соприкосновения» этих, казалось бы, далеких, но достаточно близких наук.

Как добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов?

Многие школьные учебники математики решают эти проблемы. Для развития интереса к предмету в них есть занимательные задачи, система упражнений, которая формирует необходимые умения и навыки, прикладные вопросы, показывающие связь математики с другими областями знаний. Конечно, в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаем о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач.

И тем не менее творчески работающему учителю тесно в рамках того исторического содержания, которое приводится в учебнике. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки.

Формы подачи исторического материала могут быть различными, начиная от простых (беседа учителя, короткие сообщения учеников на заданную тему, решение исторических задач, разгадывание софизмов, выпуск стенгазет) до более глубоких и сложных — таких, как историко-математическая конференция, защита рефератов по вопросам истории математики.

В учебниках математики 5−6-х классов (автор Н. Я. Виленкин и др.) сведения по истории предмета выделены в специальные разделы. Из них ученики узнают о древних единицах измерения длины, площади, массы. Интересны сведения о системе записи чисел у разных народов. Короткие биографии ученых-математиков рассказывают об их важнейших открытиях.

Однако структура размещения таких разделов меняется, начиная с 7-го класса, когда исторические сведения приводятся уже в конце учебника. Это снижает значимость исторического материала, изменяет отношение к нему учеников. Хорошо, если учитель хотя бы иногда дает задание прочитать последние страницы учебника. Но часто, выполняя программу, реализуя математическое содержание, педагог забывает об историческом. И стоит ли винить его в этом? Ведь не на каждом математическом факультете педагогического вуза преподается история математики.

Можно ли себе представить, что учитель литературы, изучая, например, произведения Ф. М. Достоевского или Л. Н. Толстого, не говорил бы на уроках об исторической эпохе, в которую жили эти писатели? Но в программах по математике на вопросы исторического характера не предусматривается ни одного часа, хотя известно, что история и математика неразделимы.

И все-таки опытный учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря о новом разделе математики, без вводной исторической части, вызывающей интерес и внимание учеников. Как, знакомя учеников с начальными понятиями геометрии, не рассказать о греческой математике? В Древней Греции геометрию причисляли к семи свободным искусствам наряду с грамматикой, риторикой, диалектикой, арифметикой, астрономией и музыкой. Такие ученые, как Пифагор и Платон, считали, что окружающая природа устроена по определенному плану, поэтому красоту окружающего мира, по их мнению, можно было познать с помощью математики.

Именно древнегреческий ученый Евклид, систематизируя геометрические знания, написал величайший труд «Начала», который почти на два тысячелетия стал учебником геометрии. Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств. Потом еще не раз на уроках геометрии мы будем возвращаться к Евклиду. Изучая аксиомы геометрии, сравниваем понятия, данные в современном учебнике и в «Началах». Доказывая теорему Пифагора, говорим, что ею заканчивается первая книга «Начал». При построении правильных многоугольников опять звучит это имя. XIII книга «Начал» посвящена Платоновым телам — правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии. Рассматривая вопросы дифференциального и интегрального исчислений на уроках анализа, говорим о том, что идеи, положенные в их основу Ньютоном и Лейбницем в XVII в., уходят своими корнями к методу исчерпывания, открытому еще Евклидом и Архимедом. Так история математики помогает понять не только логику развития предмета, но и показывает яркие примеры ученых, прошедших трудный путь открытия истины.

Известно, что уже при постройке первой египетской пирамиды Джосера в Саккаре (около 2800 лет до н.э.) древние зодчие были знакомы с правилами построения так называемых несоизмеримых отрезков, т. е. таких, длины которых нельзя выразить рациональной дробью. Вместе с учениками можно выполнить геометрические построения и еще раз, повторяя теорему Пифагора, вычислить длины диагоналей прямоугольников, изображенных на рисунке. Так, вводя на уроке алгебры понятие иррационального числа, можно геометрически и исторически помочь школьникам понять и почувствовать его суть.

Эффективным и занимательным приемом является также математический софизм. Софизм — это доказательство заведомо ложного утверждения. Причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Группу древнегреческих философов, живущих в V—IV вв. до н.э., называли софистами. Они достигли большого искусства в логике.

Ученикам VII-VIII классов уже можно привести софизм об Ахиллесе и черепахе.

Ахиллес, бегущий в десять раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на сто метров впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти сто метров, черепаха будет впереди него на десять метров. Пробежит Ахиллес и эти десять метров, а черепаха окажется впереди на один метр и т. д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Сколько восторгов, мнений, споров, а главное — неподдельного интереса и жажды знаний вызывает у учеников этот исторический софизм. Тут же разбираем и чисто геометрическое ложное утверждение, пытаясь найти искусно скрытую ошибку.

Докажем, что все (!) треугольники равнобедренные. Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Легко доказывается, что ОА = ОС и ОД = ОЕ. Следовательно, прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по гипотенузе и катету. Отсюда <�ДАО = <�ЕСО. Кроме того, <�ОАС = <�ОСА, так как треугольник АОС — равнобедренный. В итоге получаем: <�ВАС = <�ДАО + <�ОАС = <�ЕСО + <�ОСА = <�ВСА. Итак, мы доказали, что <�ВАС = <�ВСА, значит, треугольник АВС — равнобедренный и АВ = ВС.

Поиски ошибки привели к долгожданному результату. Ошибка оказалась в чертеже, ведь серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противолежащего ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.

Решая геометрические задачи на построение в VII, VIII классах, конечно, знакомимся с тремя классическими задачами древности: о квадратуре круга, трисекции угла и об удвоении куба.

Способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано много. Так, например, еще в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9, = 256/81= 3,1604…

С удовольствием и эмоциональным подъемом слушают ученики легенду, связанную с «делосской задачей» об удвоении куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба.

Ученики узнают о том, что древние задачи оказались неразрешимыми с помощью циркуля и линейки, но благодаря многолетним поискам их решения совершенствовались математические методы. Исторически развивалась и сама математика.

Открытие логарифмов — еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой.

На уроке во 11 классе, посвященном логарифмам, обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), к открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах «Пифагора-Архита» .

• 1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l/f = a/l (а — коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны).
• 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.

Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А. Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем — [Корень из двух в двенадцатой степени] является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого, используются логарифмы.

Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении «Псамлигт» Архимеда (287 — 212гг. до н.э.) мы читаем: «Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе». Здесь под «непрерывной пропорцией» Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате]… В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: [a в степени m] * [a в степени n] = [a в степени m+n] .

Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж. Непер (1550−1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж. Непер писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики» .

Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцати звуковой строй).

Еще один пример того, как можно учить, не отпугивая от математики, — интеграция исторических знаний и математических задач, связанных с этими знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи, нежели о пионерах и бригадах, колхозах и рационализаторских предложениях. Особенно это относится к ученикам V-VI классов, у которых история вызывает глубокий интерес. В то же время наибольшую трудность у них вызывает математика. Может быть, в какой-то мере интеграция исторических и математических знаний на примерах задач исторического содержания поможет привить интерес и к истории, и к математике.

В 1994 году в издательстве «Педагогика-пресс» вышел нетрадиционный задачник Б. С. Перли. Б. С. Перли «Страницы русской истории на уроках математики». Необычность названного пособия в том, что все приведенные математические задачи даны на фоне русской истории начиная от первого упоминания в летописи о Москве и заканчивая Петровской эпохой. Словно следуя словам Петра Великого «Оградя отечество безопасностью от неприятеля, надлежит стараться находить славу государства через искусство и науки», мы читаем о родной истории, ее богатых обычаях и традициях. Книга хорошо иллюстрирована, написана на ярком историческом материале.

Задачник соответствует программе по математике V-VI классов. Большое место занимают задачи на составление уравнений, причем уровень сложности их постепенно возрастает. Содержание всех задач связано с русской историей, с ее архитектурными и культурными памятниками.

Вот некоторые задачи из этого сборника:

• 1. В XV в. суммарная площадь Пскова, Великого Новгорода и Нижнего Новгорода была 940 га, из которых 11/47 составляла площадь Пскова. Вычислите площадь каждого из этих трех городов, если известно, что Нижний имел площадь на 100 га меньше, чем Новгород Великий (задача на нахождение числа по величине его процента к теме: «Размеры русских средневековых городов»).
• 2. Теме «Некоторые итоги Петровских преобразований» посвящена задача на составление уравнения. «В 1795 г. бюджет России составлял 9,75 млн. рублей. Из них 2/3 расходовали на содержание армии и флота. Расходы на флот составляли 0,3 от стоимости содержания армии. Сколько стоило России содержание армии и флота в 1725 г.?»

К сожалению, в последнее время почти не выходит литература по истории математики.