Распределение случайной величины

В контрольной работе 2 задания. Все расчеты и графики выполнять в Excel. Отчет по контрольной работе в письменной форме и файл в Excel.

В приложении даны краткие сведения и примеры решения.

Варианты к заданию 1.

• 1. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные
• 2, 1, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3;
• 3, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1;
• 4, 4, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 4, 4;
• 4, 3, 4, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 4.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

• 2. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:
• 12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12,
• 20, 17, 15, 13, 17, 16, 20, 14, 14, 13,
• 17, 16, 15, 19, 16, 15, 18, 17, 15, 14,
• 16, 15, 15, 18, 15, 15, 19, 14, 16, 18,
• 18, 15, 15, 17, 15, 16, 16, 14, 14, 17.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

• 3. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:
• 214, 204, 212, 201, 190, 222, 226, 216, 228, 240,
• 224, 220, 260, 204, 240, 190, 218, 232, 254, 224,
• 204, 221, 256, 260, 228, 232, 204,182, 230, 214,
• 242, 222, 260, 198, 216, 198, 232, 242, 216, 226.
• 208, 221, 202, 204, 222, 196, 222, 238, 224, 223.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:

.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

5. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

6. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонениях.

7. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные.

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

8. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение 9. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение 10. В результате независимых измерений некоторой величины получены данные:

Требуется:

• а). составить вариационный ряд;
• б). найти моду и медиану
• в). построить полигон частот,
• г). составить интервальную таблицу и построить гистограмму частот

Найдите выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Варианты к заданию 2.

Даны результаты 10 независимых наблюдений над системой случайных величин (х, у).

Требуется:

• а). Построить поле корреляции
• б). найти линейный коэффициент парной корреляции ;.

1).	0,9.	3,1.	— 0,8.	— 1,8.	2,1.	4,8.	1,1.	0,1.	2,2.	2,5.
	1,4.	2,2.	0,8.	0,6.	1,8.	2,8.	1,5.	1,2.	1,8.	1,9.

2).	0,0.	0,5.	1,0.	1,5.	2,0.	2,5.	3,0.	3,5.	4,0.	4,5.
	1,67.	1,32.	1,10.	0,81.	0,48.	0,18.	— 0,10.	— 0,46.	— 0,80.	— 1,15.

3).	0,9.	3,1.	— 0,8.	— 1,8.	2,1.	4,8.	1,1.	0,1.	2,2.	2,5.
	1,4.	2,2.	0,8.	0,6.	1,8.	2,8.	1,5.	1,2.	1,8.	1,9.

4).	0,0.	0,5.	1,0.	1,5.	2,0.	2,5.	3,0.	3,5.	4,0.	4,5.
	1,67.	1,32.	1,10.	0,81.	0,48.	0,18.	— 0,10.	— 0,46.	— 0,80.	— 1,15.

5).	0,9.	3,1.	— 0,8.	— 1,8.	2,1.	4,8.	1,1.	0,1.	2,2.	2,5.
	1,4.	2,2.	0,8.	0,6.	1,8.	2,8.	1,5.	1,2.	1,8.	1,9.

6).	0,0.	0,5.	1,0.	1,5.	2,0.	2,5.	3,0.	3,5.	4,0.	4,5.
	1,67.	1,32.	1,10.	0,81.	0,48.	0,18.	— 0,10.	— 0,46.	— 0,80.	— 1,15.

7).	0,9.	3,1.	— 0,8.	— 1,8.	2,1.	4,8.	1,1.	0,1.	2,2.	2,5.
	1,4.	2,2.	0,8.	0,6.	1,8.	2,8.	1,5.	1,2.	1,8.	1,9.

8).	0,0.	0,5.	1,0.	1,5.	2,0.	2,5.	3,0.	3,5.	4,0.	4,5.
	1,67.	1,32.	1,10.	0,81.	0,48.	0,18.	— 0,10.	— 0,46.	— 0,80.	— 1,15.
9).	0,9.	3,1.	— 0,8.	— 1,8.	2,1.	4,8.	1,1.	0,1.	2,2.	2,5.
	1,4.	2,2.	0,8.	0,6.	1,8.	2,8.	1,5.	1,2.	1,8.	1,9.

10).	0,0.	0,5.	1,0.	1,5.	2,0.	2,5.	3,0.	3,5.	4,0.	4,5.
	1,67.	1,32.	1,10.	0,81.	0,48.	0,18.	— 0,10.	— 0,46.	— 0,80.	— 1,15.

Приложение 1

1. Вариационные ряды. Таблица частот. Полигон и гистограмма.

Совокупность всех возможных значений случайной величины х в математической статистике называют генеральной совокупностью.

Совокупность n возможных значений х:

х1, х2, …, xn, (1).

полученных в результате n независимых опытов (наблюдений), называется выборкой или статистическим рядом объема n.

Различные значения случайной величины, содержащиеся в выборке (1), называются вариантами. Система вариант.

1, 2, …, m, (2).

расположенных в возрастающем порядке, называются вариационным рядом.

Пусть х — дискретная случайная величина и (2) ее вариационный ряд, полученный по выборке (1). Тогда число.

(i = 1,2,…, m),.

где ki — количество повторений варианты i в выборке объема n, называется частотой этой варианты в данной выборке.

		…	m.
		…	m.

в первой строке которой расположены варианты, а во второй — соответствующие им частоты, называется таблицей частот или эмпирическим законом распределения дискретной случайной величины х. Сумма всех частот в таблице (3) равна единице.

Если на плоскости в прямоугольной системе координат построим точки.

(i, i) (i = 1, 2,…, m).

и соединим их последовательно отрезками прямых, то получим ломаную линию, которая называется полигоном частот.

Полигон частот дает приближенное наглядное представление о характере распределения случайной величины х.

Если изучаемая случайная величина х непрерывна, то вместо обычного (дискретного) вариационного ряда составляют интервальный вариационный ряд: находят минимальную и максимальную варианты выборки и весь промежуток между ними разбивают на частичные промежутки. Получается так называемый интервальный вариационный ряд:

[c1; c2[, [c2; c3[, …, [cm; cm+1]. (4).

Далее по выборке определяют частоту.

(i = 1,2,…, m).

попадания значений х в i-й интервал. Здесь — количество членов выборки, попавших в i-й интервал. Если при этом некоторое xk выборки совпадает с граничной точкой между промежутками, то его относят к правому промежутку. В результате получается интервальная таблица частот:

[c1;c2[.	[c2; c3[.	…	[cm; cm+1].
		…

Интервальная таблица частот графически изображается гистограммой, которая представляет собой ступенчатую линию (см. рис.22). Основанием i-й ступеньки является i-й частичный интервал, а высота hi такова, что площадь ступеньки равна. По построению суммарная площадь всех ступенек гистограммы равна 1. вариационный мода статистический выборка Пример 1. При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений получена выборка:

• 10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9;
• 8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7;
• 10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10;
• 14, 13, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12.

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) построить полигон. Решение. а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14.

б) Для нахождения частот.

предварительно подсчитаем для каждой варианты соответствующие кратности ki :

ki = 1, 3, 6, 8, 6, 6, 5, 3, 2.

Таблица частот.

в) Полигон изображен на рисунке 1.

Пример 2.

Для изучения распределения веса новорожденных были собраны данные для 100 детей и составлена интервальная таблица частот. Для удобства таблица составлена в столбик:

Интервалы веса (кг).	Частота.
1,0 — 1,5.	0,01.
1,5 — 2,0.	0,02.
2,0 — 2,5.	0,05.
2,5 — 3,0.	0,15.
3,0 — 3,5.	0,35.
3,5 — 4,0.	0,28.
4,0 — 4,5.	0,12.
4,5 — 5,0.	0,02.

Гистограмма полученной интервальной таблицы частот представлена на рисунке 24.

Задание 2.

Корреляция Пусть мы располагаем n точками:

(х1, у1), (х2 у2), …, (xn yn), (2).

полученными в результате n независимых опытов над системой (х, у). Тогда в качестве приближенного значения неизвестного r[x, y] берется выборочный коэффициент корреляции:

.

Свойства коэффициента корреляции:

• 1) Если х и у независимы, то r [x, y] = 0.
• 2) Для любых х и у имеет место неравенство r [x, y] 1.
• 3) r [x, y] = 1 тогда и только тогда, когда между х и у имеется линейная зависимость у = ах + b; причем r [x, y] = 1, если a > 0 и r [x, y] = -1, если a < 0 (и наоборот).

ь Пример. Построить поле корреляции и найти линейный коэффициент парной корреляции.

1). Корреляционное поле представляет собой график, где на оси абцисс откладываются значения X, по оси ординат — значения Y, а точками показываются сочетания первичных наблюдений X и Y.

2).линейный коэффициент корреляции.

		x.	Y.
				— 46,5.	— 18,9.	2162,25.	357,21.	878,85.
				— 35,5.	— 12,9.	1260,25.	166,41.	457,95.
				— 24,5.	— 7,9.	600,25.	62,41.	193,55.
				— 16,5.	— 5,9.	272,25.	34,81.	97,35.
				— 3,5.	— 0,9.	12,25.	0,81.	3,15.
				3,5.	2,1.	12,25.	4,41.	7,35.
				15,5.	7,1.	240,25.	50,41.	110,05.
				23,5.	9,1.	552,25.	82,81.	213,85.
				35,5.	13,1.	1260,25.	171,61.	465,05.
				48,5.	15,1.	2352,25.	228,01.	— 166,92.
сумма.					8724,5.	1158,9.	2260,23.
среднее.	76,5.	37,9.			872,45.	115,89.	226,023.

связь прямая и так как, то сильная.