Теорема о движении центра масс

Пусть имеется система точек, на каждую из которых действуют внешние и внутренние силы. Обозначим равнодействующие этих сил, приложенных к точке с номером k, соответственно и. Запишем основное уравнение динамики для точки с номером k:. Записывая подобные уравнения для каждой точки системы, и суммируя их, получим.

.

По свойствам внутренних сил (32). Кроме того, взяв вторую производную от равенства (33), получим.

.

С учетом этого формула (37) примет вид:

.

Формула (38) выражает теорему о движении центра масс: центр масс системы двигается как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на ее точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Определение: количеством движения системы точек называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:

.

Запишем теорему об изменении количества движения для точки с номером k:

. Здесь, как и ранее, и — соответственно равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к точке с номером k. Записывая подобные уравнения для каждой точки системы и, суммируя их, получим.

.

учитывая, что, получим, поменяв местами, знаки суммирования и дифференцирования в левой части равенства:

Формула (39) выражает теорему об изменении количества движения системы точек в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на ее точки.

Умножив равенство (39) на dt и проинтегрировав, получим теорему об изменении количества движения системы точек в интегральной форме:

.

где — импульс силы .

изменение количества движения системы точек за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на её точки за тот же промежуток времени.

Теоремы (39) и (40) — векторные, их можно записать в проекции на оси координат. Закон сохранения количества движения системы вытекает из формул (39) и (40): если в течение некоторого промежутка времени, сумма внешних сил, действующих на точки системы, равна нулю, то ее количество движения все это время остается неизменным.