Расчёт показателей теоретического распределения

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования.

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова».

Факультет «Вечерний».

Кафедра «Организация и безопасность движения».

Отчет по лабораторной работе № 2.

Расчёт показателей теоретического распределения.

по дисциплине «Надёжность работы автомобильных дорог».

Студент Ламова А.Ю.

Руководитель проекта к.т.н., доцент И. В. Огнев БАРНАУЛ 2012.

Цель работы:освоить методы статистической обработки информации оботказах и определить основные характеристик надежности.

Немного теории (повторение пройденного).

Среднее арифметическое значение характеризует центр группирования случайных величин;

Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации характеризуют степень разброса случайных величин около центра;

Асимметрия и эксцесс характеризуют соответственно степень не симметрии и тупости кривой распределения.

Законы распределения случайных величин отражают физическую сущность рассматриваемых явлений. Совокупность факторов или условий, приводящих к возникновению того или другого вероятностного закона, называют математической моделью явления. Применительно к нормальному закону математической моделью служат следующие условия:

- исследуемое явление является следствием или суммой воздействий достаточно большого количества различных случайных, независимых между собой или слабо зависимых источников;

- дисперсии и математические ожидания складываемых источников мало отличаются друг от друга, и от математического ожидания и дисперсии складываемой суммы.

При наличии указанных условий возникает нормальный закон, который находит широкое применение при решении различных инженерных и экономических задач. Применительно к математической теории надежности нормальный закон хорошо описывает постепенные отказы изделий, вызываемые выходом из строя их отдельных элементов.

Критерий согласия Пирсона применяется для проверки согласованности эмпирического и теоретического распределений.

Точечной называют опенку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Расчет.

статистический аккумулятор надежность математический.

Дано: имеется статистика отказов аккумуляторов. Было обследовано 20 аккумуляторов. Величина выработки аккумуляторов колеблется в пределах от 6100 км до 14 700 км.

Определить параметры теоретического распределения и величину границ нижнего и верхнего интервала оценки математического ожидания выработки аккумляторов с доверительной вероятностью 0,95.

Решение: требуется решить следующие задачи:

- построить гистограмму опытных частот по пробегу и по ее виду решить в первом приближении вопрос о законе распределения (было в первой работе);

- для предполагаемого закона распределения построить теоретическую кривую частоты отказов по пробегу, найти основные параметры закона распределения, построить интегральную кривую;

— дать интервальную оценку математического ожидания.

Для удобства обработки весь объем выборки п обычно группируется в К разрядов (интервалов).

В нашем примере нижний пробег округлен до 6 тыс. км, верхний до 15 тыс. км. Их разность составила 6 тыс. км, что позволяет нам все измерения сгруппировать в 9 разрядов с величиной интервала в 6 тыс. км.

Определяем числовые характеристики статистического распределения.

Находим среднее арифметическое:

Определяем оценку дисперсии:

Находим оценку среднего квадратического отклонения:

Определяем оценку величины коэффициента вариации:

Расчёт показателей теоретического распределения.

За нулевую гипотезу принимаем, что теоретическое распределение является нормальным (исходя из вида гистограммы).

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

гдеи — соответственно математическое ожидание и среднееквадратическое отклонение случайной величины Определяем показатели теоретического распределения и строим графики. Определение точек теоретических кривых удобнее проводить в табличной форме, см. таблицу № 1.

Таблица 1 — Расчёт теоритических кривых..

При этом теоретические частости подсчитываются через так называемую табличную плотность вероятности:

где.

Значения этой функции подсчитаны и приводятся в таблицах, содержащихся в литературе по математической статистике. Эта же таблица приведена в приложении 1 настоящего методического указания.

Теоретические частоты подсчитываются по формуле:

где — постоянный коэффициент.

Умножив цифры в пятой колонке на этот коэффициент мы получаем соответствующие им теоретические частоты, которые заносим в шестую колонку таблицы.

Для контроля правильности ваших действий необходимо на этом этапе в обязательном порядке подсчитать сумму теоретических частот. Она должна получиться чуть меньше объема выборки. В нашем примере она равна 19,36 что на 0,64 меньше 20. Это очень хороший результат указывает на правильность наших вычислений.

Если полученная сумма значительно меньше объема выборки или превышает ее, то дальнейшие расчеты надо приостановить и искать ошибку. Иногда она довольно проста и кроется в ошибке определения постоянного коэффициента с. Редкой, но более неприятной ошибкой является такая, причина появления которой заложена в самом начале расчетов. Она связана с грубыми просчетами в вычислениях среднего арифметического и среднего квадратического значений.

Рассчитываем интегральную функцию нормального распределения:

Для ее вычисления удобнее провести центрирование и нормирование данной функций, для чего положим:

Центрированная и нормированная, т. е. табличная функция нормального закона запишется так:

Для табличной интегральной функции составлена таблица, см. приложение 2. По величинеZ находим значения функции. Используя ее, занесем в гр. 7 таблицы № 1 накопленные частости для каждого интервала, а в гр. 8 ее значение в процентах.

В отчете по лабораторно-практической работе выполняются два рисунка, на одном из которых изображается теоретическая кривая частот распределения отказов, а на другом — интегральная кривая частот отказов, см. рис. 1 и 2. При их выполнении необходимо соблюдать в установленном порядке существующие на данный момент стандарты.

Рисунок 1 — Гистограмма и теоритическая кривая.

Рисунок 2 — Интегральная кривая.

Проверка правильности выбора закона распределения.

Для проверки согласованности эмпирического и теоретического распределений вычисляют наиболее распространенный критерий согласия Пирсона по формуле:

Расчет критерия согласия также удобно выполнять табличным способом, см. таблицу 2.

Таблица 2 — Расчёт критерия согласия Пирсона..

Далее определяется число степеней свободы г как разность между числом интервалов К и наложенными связями (условиями) S* :

Поскольку при построении законов распределения всегда накладывается требование, т. е. всегда имеется одна связь (условие), то введя замену S= S*-1, получим:

где S — количество числовых характеристик (параметров) закона распределения.

Например, нормальный закон является двухпараметрическим и определяется математическим ожиданием M (x) и средним квадратическим отклонением, т. е.S=2.

Для рассматриваемого примера число степеней свободыr= 9−2-1 = 6.

Поrис помощью приложения 4 определяют вероятность согласия р теоретического и эмпирического распределений, или, иначе говоря, уровень значимости. Численное значение уровня значимостихарактеризует вероятность допустить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Наиболее употребительными значениями уровня значимости является: р = 0,1 и р = 0,05 (строгие условия); р = 0,01 и р = 0,001 (менее строгие условия).

При статистическом контроле качества продукции чаще всего используется величина р = 0,0027, равная вероятности отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону за пределы ±.

Таким образом, при проверке правдоподобности сделанной нулевой гипотезы с помощью уровня значимости происходит сравнение опытного значения с данным теоретическим значением вероятностир, т. е.:

Для рассматриваемого примера приr = 6 и = 1 из таблицы приложения 4 находим, что уровень значимости лежит в пределах 0,90<�р< 0,99, что вполне допустимо и мы можем сделать допущение, что принятая гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Вторая методика проверки правильности выбора закона распределения.

Можно быстро произвести проверку принятой гипотезы с помощью критерия Романовского:

В нашем случае:

Определение доверительного интервала для оценки среднего значения наработки на отказ.

Существует точечная и интервальная оценка.Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше — точечные. При выборе малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценки.

Доверительным называют интервал (; ;), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратичном отклонении (стандарте)находятся из выражения:

Таким образом имеем:

где — коэффициент Стьюдента, определяется поnи.

Применительно к примеру, задаваясь доверительной вероятностью (надежностью) у= 0,95 из таблицы приложения находим = 2,093.

Тогда:

т.е. с доверительной вероятностью равной 0,95 можно утверждать, что математическое ожидание лежит в пределах от 9,70 тыс. км до 11,68 тыс. км.