Общая теория статистики

Задание 1

1. По данным таблицы 1 произведите группировку 30 коммерческих банков по величине прибыли, образовав 6 групп с заданными интервалами:

а) До 100; б) 100−200; в) 200−300; г) 300−500; д) 500−700; е) 700 и более.

Таблица 1 Список крупнейших банков России по размеру капитала на 01.01.97 г, (млрд. руб.)

1.По каждой группе рассчитайте:

— средний размер прибыли;

— средний размер кредитных вложений;

— средний объем вложений в ценные бумаги.

Результаты оформите в аналитической таблице. Сделайте выводы.

2. По данным таблицы определите модальное и медианное значения прибыли.

3. По показателю размер кредитных вложений рассчитайте:

— общую дисперсию по правилу сложения дисперсии;

— общую дисперсию любым другим способом;

— эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение

1.Строим ранжированный ряд банков по прибыли.

Группировочная таблица:

По каждой группе определяем общий размер прибыли, общий размер кредитных вложений и общий объем вложений в ценные бумаги. Составляем вспомогательную таблицу:

По каждой группе определяем средний размер прибыли, средний размер кредитных вложений и средний объем вложений в ценные бумаги. Результаты представляем в итоговой таблице:

Вывод:

По результатам группировки нельзя заключить, что с ростом средней прибыли увеличиваются или уменьшаются средний размер кредитных вложений и средний объем вложений в ценные бумаги.

2. Мода определяется по формуле:

.

Модальным является интервал [200;300], содержащий наибольшее количество банков. Получаем модальное значение прибыли:

Медиана определяется по формуле:

Медианным интервалом является интервал [200 — 300], содержащий 30/2=15-й банк. Получаем медианное значение прибыли:

=255,56.

3. По показателю размер кредитных вложений рассчитаем общую дисперсию по правилу сложения дисперсии:

где — межгрупповая дисперсия;

— средняя из групповых дисперсий .

Для нахождения межгрупповой дисперсии составляем вспомогательную таблицу:

Получаем: = 47 308 502,5/30=1 576 950,08.

Для нахождения групповых дисперсий и общей дисперсии составляем вспомогательную таблицу:

Для нахождения средней из групповых дисперсий составляем таблицу внутригрупповых дисперсий:

Получаем: 279 863 263 / 30 = 9 328 775,427

Общая дисперсия по правилу сложения дисперсии равна: =9 328 775,427+1 576 950,08= 10 905 725,51.

Рассчитаем общую дисперсию по формуле: .

По результатам таблицы получаем: 327 171 981,37 / 30 = 10 905 732,71.

Вычисляем эмпирическое корреляционное отношение по формуле: .

Получаем: =0,38

Эмпирическое корреляционное отношение равно: 0,38 и означает, что связь между кредитными вложениями и прибылью средняя.

Вывод:

Модальное значение прибыли равно 266,67 млрд руб. и равно наиболее часто встречающемуся размеру прибыли. Медианное значение прибыли равно 255,56 млрд руб. и означает, что половина банков имеют прибыль менее 255,56 млрд руб. По показателю размер кредитных вложений межгрупповая дисперсия равна 1 576 950,08, средняя из групповых дисперсий равна 9 328 775,427. Общая дисперсия по правилу сложения дисперсии равна 10 905 725,51, что приблизительно совпадает с точным значением дисперсии (разницу можно объяснить погрешностью вычислений). Эмпирическое корреляционное отношение равно: 0,38 и означает, что связь между кредитными вложениями и прибылью средняя.

Задание 2

Имеются следующие данные по району за 1999 год (условные):

1. На начало года численность трудоспособного населения рабочего возраста составила 320 т. чел., работающих лиц пенсионного возраста — 15 т. чел., работающих подростков до 16 лет — 5 т. чел.

2. В течение года вступило в рабочий возраст 20 т. чел., 0,5 т. чел. из них нетрудоспособны; прибыло из других районов трудоспособных лиц 2,5 тыс. человек. Выбыло по естественным причинам 15 тыс. чел.; в другие районы — 10 т. чел. трудоспособного населения.

Определите:

1. Численность трудовых ресурсов на начало и конец года.

2. Абсолютные и относительные показатели воспроизводства трудовых ресурсов.

Решение

1. Найдем численность трудовых ресурсов: на начало года: 320 +15 + 5 = 340 тыс. чел.

Численность трудовых ресурсов: на конец года: 340 + (20−0,5) +2,5 -15−10= 335

2. Абсолютный прирост трудовых ресурсов: 335 — 340 = -5 тыс. чел.

Численность трудовых ресурсов уменьшилась на 5 тыс. чел.

Темп роста трудовых ресурсов: 335 / 340 *100 = 98,2%.

Темп прироста трудовых ресурсов: 98,2 — 100 = -1,8%.

Численность трудовых ресурсов уменьшилась на 1,8%.

Задание 3

Имеются следующие данные по предприятию:

Определите в целом по предприятию:

1 Изменение себестоимости единицы продукции.

2 Изменение общих затрат на производство продукции, если физический объем производства увеличился на 8%.

3. Сумму экономии в связи с изменением себестоимости единицы продукции.

Решение

1. По условию известен индивидуальный индекс себестоимости:

.

Найдем изменение себестоимости единицы продукции, используя общий индекс себестоимости продукции:

Получаем общий индекс себестоимости продукции: Ix = 8300 / 8394.74 = 0.989

В целом себестоимость уменьшилась на 1.1%.

2. Если физический объем производства увеличился на 8%, то индекс физического объема равен = 1,08. Тогда общий индекс затрат на производство равен = 0,989*1,08=1.068. Следовательно, общие затраты на производство продукции увеличились на 6,81%.

3.Сумма экономии от среднего снижения себестоимости равна 8394,74−8300=94 тыс. руб.

Ответ. 1. В целом себестоимость уменьшилась на 1,1%.

2. Если физический объем производства увеличился на 8%, то общие затраты на производство продукции увеличились на 6,81%.

3.Сумма экономии от среднего снижения себестоимости равна 94 тыс. руб.

Задание 4

Имеются следующие данные по 3 рынкам города о продаже яблок:

Определите изменение средней цены на яблоки по 3 рынкам города всего и в т. ч. за счет:

— изменения цены на каждом рынке города;

— изменения, структуры продаж.

Решение

Составляем расчетную таблицу:

Индекс цен переменного состава:

В целом цена уменьшилась на 15,2%, т. е. на 34,060−28,882=5,178 руб.

Индекс цен постоянного состава:

Средняя цена уменьшилась на 15,1% из-за изменения цен на каждом рынке города, т. е на 34,060*0,151=5,143 руб.

Индекс структурных сдвигов в объеме продажи:

Из-за структурных изменений цена уменьшилась на 0,01% т. е на 34,060*0,01= 0,341 руб.

Вывод.

В целом цена уменьшилась на 5,178 руб., т. е. на 15,2%.

Средняя цена уменьшилась на 5,143 руб. из-за изменения цен на каждом рынке города, т. е на 15,1%.

Из-за структурных изменений цена уменьшилась на 0,341 руб. т. е на 0,01%.

Задание 5

Имеются следующие данные об изменении физического объема ВВП за период с 1990 г. (1990=100%):

Определите, как в среднем ежегодно изменяется физический объем ВВП в указанном периоде. Исчислите цепные темпы изменения ВВП (в сопоставимых ценах).

Решение

В условии задачи даны базисные темпы изменения физического объема ВВП Т_рбi= (у_i / y₀) *100.

Среднее ежегодное изменение физического объема ВВП равно В среднем ежегодно физический объем ВВП в указанном периоде уменьшается на 9,1%. Так как цепные темпы изменения вычисляются по формуле: Т_рцi= (у_i / y_i-1)*100, то цепные темпы изменения можно вычислить по формуле:

Т_рцi = Т_рбi / Т_рбi-1 *100.

Результаты вычислений представляем в таблице:

Задание 6

Имеются следующие данные о грузообороте предприятий транспорта и перевозке грузов предприятиями транспорта за 1986;1997 гг. в одном из регионов:

Для изучения связи между этими рядами произведите:

1. выравнивание рядов динамики по уравнению прямой;

2. вычислите коэффициент корреляции;

3. рассчитайте прогнозные значения грузооборота на 3 года вперед.

Сделайте выводы.

Решение

1. Воспользуемся прямолинейной формой связи регрессии, y = аt + b.

Оценки, а и b можно искать по следующим формулам:, где — номер года и .

Для грузооборота предприятий транспорта составляем расчетную таблицу:

Подставляя итоги в формулы, получаем: а = 51/572=0,989, b = 3523/12=293,583

Уравнение регрессии: y = 0.989 t +293,583.

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

Для перевозки грузов предприятиями транспорта составляем расчетную таблицу:

Подставляя итоги в формулы, получаем: а = 815/572=1,425, b = 3841/12=320,08

Уравнение регрессии: y = 1,425 t +320,08.

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

2. Вычисляем коэффициент корреляции по формуле:

где, .

Составляем расчетную таблицу:

Получаем:

Так как коэффициент корреляции близок к 0, связь между признаками слабая.

3.Рассчитаем прогнозные значения грузооборота на 3 года вперед с помощью уравнения регрессии:

y = 293,583t +0.989:

у (13) = 0.989 * 13 + 293,583 = 306,362,

у (15) = 0.989 * 15 + 293,583 = 308,328,

у (17) = 0.989 * 17 + 293,583 = 310,294.

Задание 7

Имеются следующие данные по группе предприятий района:

Определите по предприятиям района среднее значение:

1. стоимости основных производственных фондов на одно предприятие;

2. фондоотдачи;

3. производительности труда;

4. фондовооруженности труда

Решение

Составляем расчетную таблицу:

1. Находим среднее значение стоимости основных производственных фондов на одно предприятие по формуле средней арифметической простой:

50,9/3 = 16,967 млн руб.

2.Находим среднее значение фондоотдачи по формуле средней арифметической взвешенной:

руб.

3. Находим среднее значение производительности труда по формуле средней гармонической взвешенной: 53,36/6,354=8,397 тыс. руб.

4. Находим среднее значение фондовооруженности труда по формуле средней гармонической взвешенной: 50,9/5,994=8,491 тыс. руб.

Задание 8

С целью определения средних затрат времени при поездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин. При среднем квадратическом отклонении 15 мин.

Решение

Ошибка выборочной средней при повторном отборе вычисляется по формуле:.

Так как Р = 0,954, то коэффициент доверия t=2.

По условию, среднее квадратическое отклонение .

Из неравенства получаем:

Таким образом, должно быть обследовано не менее 900 человек.

Задание 9

Имеются следующие данные о среднедушевых доходах и расходах на продукты питания по совокупности семей в базисном и отчетном периодах:

Определите коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от роста дохода.

Решение

Определим коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от роста дохода по правилу:

Коэффициент эластичности =(Процентное изменение расходов на питание)/ (Процентное изменение роста дохода)

Среднедушевой доход за год увеличился на 45/40*100−100=12,5%.

Расходы на продукты питания увеличились на 33,5/28*100−100=19,6%.

Получаем: Коэффициент эластичности = 19,6 / 12,5 = 1,568.

При росте дохода на 1% расходы на питание увеличиваются на 1,568%.

Задание 10

Номинальные среднедушевые доходы населения одного из регионов составили в текущем периоде 2500 руб., за предыдущий период — 2100 руб.; доля налоговых платежей увеличилась с 20 до 22% соответственно. Цены выросли на 25%. Как изменились реальные доходы населения.

Решение

Индекс общей суммы номинальных доходов:

Индекс налогов:

Индекс цен:

Индекс общей суммы реальных доходов: .

Реальные доходы населения уменьшились на 6,4%.

1. Гусаров В. М. Статистика: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

2. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие/ Под ред.проф. В. В. Глинского и к.э.н., доц. Л. К. Серга. Изд. З-е.- М.:ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002.

3. Статистика: Учебное пособие/Харченко Л-П., Долженкова В. Г., Ионин В. Г. и др., Под ред. В. Г. Ионина. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: ИНФРА-М.2001.

4. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р. А. Шмойловой, — М.-.Финансы и статистика, 2000.

5. Экономика и статистика фирм: Учебник /В.Е.Адамов, С. Д. Ильенкова, Т. П. Сиротина; под ред. С. Д. Ильенковой. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 1997.