Динамика движения тела в вязкой среде

Вся первая книга «Начал» Ньютона написана в предположении, что тела движутся в среде без сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают законы движения, когда тела движутся в жидкости. Уаллис ввел предположение о том, что сопротивление жидкости движению тела пропорционально скорости этого тела. Однако Гюйгенс заметил, что с увеличением скорости тела возрастает масса перемещенной жидкости, так что сопротивление должно быть пропорционально квадрату скорости. Ньютон рассматривал оба эти случая. Он заметил, что движущееся в жидкости тело должно не только смещать жидкость, но и преодолевать ее вязкость; поэтому он считает сопротивление равным сумме двух членов; одного — пропорционального квадрату скорости и другого — пропорционального скорости. Результаты теории применимы к движению тел в среде с сопротивлением. Жидкое трение возникает между поверхностью твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой, в которой оно движется. При медленном движении сила сопротивления пропорциональна скорости, а при быстром — квадрату скорости. Благодаря тому, что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде при действии на него какой-либо постоянной силы, например силы тяжести. В конце концов тело начинает двигаться равномерно.

Решение задач:

1. Стеклянный шарик, радиус которого 2 мм, падает в растворе глицерина. Определите установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотность стекла 2530кг/м3, а плотность глицерина 1210кг/м3. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на него со стороны раствора действует сила сопротивления Fс=6рkRV (закон Стокса), где коэффициент k=0,0502 Пас-вязкость раствора.

Решение:

Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на вертикальную ось имеет вид mg-F_А-F_с=mб, где 4/3рR³с — масса шарика, F_А= 4/3рR³с₀g-архимедова сила, действующая на шарик со стороны раствора.

Получаем 4/3рR³сg-4/3рR³с₀g-6рkRV=4/3рR³сб.

Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:

V_у=2R²g (с-с₀)/9k; V_у=23см/с.

Начальное ускорение получим из уравнения движения, полагая скорость равной нулю:

б₀=g (с-с₀)/с; б₀=5.1м/с².

• 2. Два шара одинакового размера, но разных масс 200 г и 100 г связаны нитью, длина которой много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся падении в жидкости?
• 3. Стальной и деревянный шарики одинакового объема падают в глицерине. Какой из них движется с большей скоростью при условии, что скорость тел установилась.
• 4. Одновременно опустили в воду два одинаковых бруска: один — плашмя, другой — ребром. Какой из них упадет раньше? Объясните явление.
• 5. Установившаяся скорость движения стального шарика, радиус которого 4 мм, равна 0,38м/с. Определите вязкость раствора.