Вывод формул для поля

При анализе волн в круглом волноводе (рис.18) будем считать, что заполняющая его среда — идеальный диэлектрик с параметрами е и м, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Еи Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Ж с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию w=w (r, ц, z) = w0 (r, ц) exp (- i Яz), которая в случае Е-волн равна Emz, а в случае Н-волн — Нтz. Функция w0 (r, ц) удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

(1).

где, как обычно,. Представим функцию w0 в виде w0= R® Ц (ц). Разделяя переменные в уравнении (1) 1, получаем.

(2).

(3).

где, C и Dпроизвольные постоянные.

При r>0 функция Неймана стремится к бесконечности, а составляющие Еmz и Нтz должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем.

. (4).

В случае Е-волн w (r, ц, z) = Ez (r, ц, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (9.19) и (9.20). Вводя обозначение ВС = E0Ж получаем.

(5a).

где (5б) волновод поле энергия бессель, а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (10.32б) т — определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (10.32б) постоянная ц0 влияет только на начало отсчета угла ц, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Ж. В рамках используемой физико-математической модели постоянные EOz и ц0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора E и т. д.).

Чтобы найти неизвестную постоянную, используем граничное условие. В рассматриваемом случае из него следует равенство.

(6).

где, а — радиус волновода (см. рис.18). Подставляя выражение для из (5б) в (6), получаем.

. (7).

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая п-й корень функции Бесселя т-го порядка через (см. рис.19), из (7) находим.

. (8).

Параметр в вычисляется по известной формуле.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (7). Например, корню v01 E соответствует волна E01, корню v12 Eволна E12, корню vmn E — волна Етп.

Зависимость структуры поля волны от угла ц определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу ц с периодом 2р/т. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2р] изменения угла ц. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла ц).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса m и n. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а n — число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n — 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т. д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (6). В рассматриваемом случае.

. (9).

Несколько первых корней функций Бесселя vmnE в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (9), приведены в табл.1. Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E01.

Таблица 1.

Тип волны.	E01.	E11.	E21.	E02.	E31.	E12.
	2,405.	3,832.	5,135.	5,520.	6,379.	7,016.
	2,613.	1,640.	1,223.	1,138.	0,985.	0,895.

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по известным формулам На рис. 10.15 показана структура поля волны E01.

В случае З-волн функция w = Нтz (r, ц, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через Hтz. Вводя обозначение ВС = H0z, получаем.

(10а).

где (106).

Все сказанное о постоянных m, E0z и ц0 в полной мере относится и к постоянным т, H0z и ц0.

Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным условием = 0. Подставляя в это равенство приходим к уравнению.

. (11).

Обозначая корни уравнения (11) через vmnH (см. рис. 20), находим, что.

. (12).

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нтn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Етп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n — с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Также как и в случае Е-волн, структура поля волны Нтп периодична по углу ц с периодом 2п/т, т. е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Нтп, укладывающихся на интервале [0, 2р] изменения угла ц. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла ц. Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней vmnH в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле лксЗmn=2рa/ vmnH (13).

приведены в табл. 2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл.1 и 2, является волна З11- Интересно отметить, что структура поля этой волны близка к структуре поля волны З10 в прямоугольном волноводе, также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 10.17 показана структура поля волны З01.

Параметры Н-волн в, нц, нэ и Л вычисляются по известным формулам.