Построение эконометрической модели оценки вероятности дефолта

Задачей данной дипломной работы является прогнозирование вероятности выхода в дефолт потенциальных заемщиков в зависимости от ряда факторов и построение модели расчета скорингового балла заемщика.

В качестве целевого клиентского сегмента рассматриваются физические лица, подавшие заявки на потребительский кредит со следующими характеристиками:

минимальная сумма составляет 50 тыс. руб.

максимальная-750 тыс. руб.

срок кредитования от 1 года до 5 лет включительно.

Дефолт конкретного заемщика считается произошедшим с момента, когда имело место любое из следующих событий, определенных ниже:

наличие непрерывной просрочки платежа (основного долга или процентов) перед банком более 90 календарных дней;

присвоение заемщику кредитного рейтинга «дефолт» по внутренней рейтинговой системе;

присвоение заемщику кредитного рейтинга «дефолт» в случае банкротства.

Под вероятностью дефолта понимается вероятность (в процентах) наступления дефолта в течение 12 месяцев по обязательствам заемщика.

От оценки вероятности дефолта напрямую зависит принятие решения о проведении сделки.

Процесс выдачи кредита можно представить в виде следующей схемы:

Источник: http://www.basegroup.ru/solutions/case/banks/reject_inference/.

Рис. 17.

После обращения заемщика в банк с целью получить кредитный продукт его заявка проходит механизм выбора, в результате которого принимается принципиальное решение о возможности выдачи кредита, и итоговый механизм, в результате которого оценивается качество клиента на основе его платежной дисциплины. Только на основании проведенных профильными службами оценок может быть принято окончательное решение о выдаче кредита или отказе в нем. Проблема заключается в том, что банку неизвестно, как ведут себя заемщики, которым было отказано в выдаче кредита, а потому полученная оценка вероятности дефолта может быть смещенной. Проблема анализа отказов в последнее время привлекла к себе много внимания, так как банки пытаются установить такие критерии отказа, которые бы позволили им максимизировать прибыль при заданном уровне риска, нивелировать порой слишком строгие требования кредитной политики, в результате выполнения которой банк отсекает часть платежеспособных клиентов.

Для того, чтобы решить проблему смещенности оценки, происходящую по причине пропуска значений, была применена коррекция Хекмана, которая включает в себя 2 этапа. Первый этап включает в себя механизм выбора, второй этап — итоговый механизм. Таким образом, используются 2 зависимые переменные:

целевая переменная на 1 этапе — вероятность выдачи кредита (issue);

целевая переменная на 2 этапе — вероятность дефолта (default).

В модели Хекмана механизм выбора issue и итоговый механизм default моделируются соответственно ненаблюдаемыми переменными issue* и default*.

issuei =.

defaulti=.

Разница между 2 используемыми выборками заключается в том, что анализ механизма выбора производится по заявкам, а анализ итогового механизма производится по контрактам.

Целевые переменные — вероятности выдачи (issue) и вероятность дефолта (default) — бинарные, то есть, как видно из спецификации выше, могут принимать только 2 значения: 0, если событие не произошло, и 1, если событие реализовалось. Для оценки такого рода переменной использовался не привычный метод наименьших квадратов, а пробит-регрессия или логистическая регрессия. С помощью последней произведена трансформация скор-баллов заемщиков в вероятность дефолта на основании наблюдаемых уровней дефолта. Под уровнем дефолта понимается количество реализовавшихся дефолтов по отношению ко всем наблюдениям в выборке.

Таким образом, в ходе анализа были оценены 2 регрессии:

Issuei*=вiXi+di.

Defaulti*=мiXi+ei,.

где ei и di — нормально распределенные ошибки.

В случае, если бы выборка была полной, регрессионную функцию итогового механизма для наблюдения i можно было сформулировать следующим образом:

E= мXi.

Однако, когда данные о платежеспособности клиентов доступны только по одобренным заявкам (контрактам), функция будет иметь следующий вид:

E= мXi+ E=.

=мXi+ E.

Для того, чтобы избавиться от смещения вследствие пропуска значений, условное математическое ожидание было сформулировано следующим образом:

E=сHi,.

где Hi — функция опасности (hazard function).

Для ее расчета была использована следующая формула, основанная на нормальном распределении:

Hi=,.

где ?-плотность вероятности (pdf),.

Ц-функция распределения (cdf).

Получается, что при включении пропущенных переменных, модель итогового механизма можно задать с помощью следующей функции:

E= мXi+ сHi,.

где с — корреляция.

Для того, чтобы реализовать описанную выше теоретическую модель на практике, была проведена оценка 2 регрессий:

пробит-регрессии переменной issue (i)* на выбранные независимые переменные логит-регрессии переменной default (i)* на выбранные независимые переменные плюс функцию опасности.

Для построения регрессии были использованы следующие данные:

на первом этапе 56 725 наблюдений (физических лиц), из них Eviews смог включить в анализ только 56 576 наблюдений, из которых 38 617 заявок были одобрены (уровень одобрения составил 68,25%);

на втором этапе 38 752 наблюдения, из них Eviews смог обработать 38 617 контрактов, из которых дефолт реализовался в 1246 случаях (уровень дефолтности составил 3,2%).

Ниже приведен перечень переменных, использованных для анализа, и их описание:

Таблица 5.

Для качественных переменных (например, образование, тип собственности жилья и т. д.) дополнительно были введены численные вспомогательные переменные. Например, для одной из переменных education это выглядит следующим образом (информация по всем остальным переменным, использованным для анализа, приведена в приложении):

Таблица 6.

Для всех переменных, как количественных, так и качественных, были рассчитаны их распределения. Для примера рассмотрим количественную переменную «number_of_fam_memb». В связи с тем, что проводимый анализ состоит из 2 этапов, описательная статистика представлена сразу для 2 выборок: для выборки заявок, использованной на первом этапе, и для выборки контрактов, использованной на втором этапе. Статистика по другим переменным приведена в приложении №…

Таблица 7.

Графически данная статистика может быть представлена в виде следующей линейчатой диаграммы:

Рис. 18.

Ниже приведены результаты расчетов из Eviews, полученные в результате оценки пробит-регрессии зависимости переменной Issue от независимых переменных, указанных выше в таблице.

Полученная регрессия имеет вид:

Issue= - 0.721 + 0.26coapplicant + 0.042gender + 0.010marital + 0.008age+0.03income ;

(0.050) (0.035) (0.012) (0.005) (0.0006) (0.1).

• — 0.039empl_status + 0.00005time_lastempl + 0.281debit_card + 0.351salary_card +
• (0.009) (0.7) (0.027) (0.013)

+0.02expenses — 0.055client_type + 0.505other_loans + 0.0001min_live_cost ;

• (0.2) (0.008) (0.015) (0.6)
• — 0.266number_of_fam_mem + 0.239empl_ownership+0.047total_work_exp —

(0.008) (0.005) (0.015).

• — 0.006education +0.054live_cond + 0.324number_depend — 0.031premise_type +
• (0.006) (0.005) (0.011) (0.011)

+ 0.00001spouse_income.

(0.2).

В связи с тем, что анализируемая переменная бинарная, нельзя ориентироваться на привычный R2 для проверки ее силы и на стандартный F-тест для проверки значимости. Поэтому, для того, чтобы установить, значима ли регрессия в целом, был использован тест отношения правдоподобия (LR ratio). Гипотезы сформулированы следующим образом:

Н0: коэффициенты перед всеми независимыми переменными равны 0.

Н1: коэффициент хотя бы перед одной независимой переменной не равен 0.

LR=2(LogL-LogL0).

LR статистика имеет распределение со степенями свободы, равными k-1, где kколичество переменных, включая константу.

Как видно из приведенного выше расчета, полученная LR статистика равна 6728.86, при критическом значении (21)=32.67 на 95% уровне значимости, (21)=38.93 на 99% уровне значимости и (21)=46.80 на 99.9%. Так как полученная тестовая статистика существенно превышает критические значения, есть все основания отвергнуть нулевую гипотезу о незначимости всей регрессии в целом на любом из выбранных уровней значимости.

Далее была оценена значимость каждого из коэффициентов в отдельности, для чего использовался стандартный t-тест, гипотезы которого сформулированы следующим образом:

Н0: вi=0.

Н1: вi?0.

Можно было бы использовать односторонние тесты, тем самым снизив критическое значение t-статистики, однако это возможно, только если есть уверенность в знаке эффекта, который i-ая переменная оказывает на зависимую переменную. Поэтому во избежание ошибок для оценки значимости переменных по отдельности, были использованы двусторонние гипотезы.

t-статистика=.

Так, для коэффициента перед переменной coapplicant имеем t-st == 7.

Подобная операция проделана со всеми остальными коэффициентами, используемыми в модели. Те же самые выводы можно было сделать, проанализировав P-значение (р-value) каждого коэффициента.

Таким образом, получается, что переменные time_lastempl и education абсолютно не имеют никакой предиктивной силы. На 99% уровне значимости также в ряд значимых переменных не будет входить переменная marital, а на 99.9% уровне значимости значимой перестанет быть переменная premise_type. В силу того, что в реальности банками используется максимально возможный уровень значимости и достаточности значимых переменных в построенной регрессии, из рассмотрения были исключены эти 4 переменные.

Величина функции опасности была получена следующим образом: для каждого i-ого наблюдения были рассчитаны значения issuedi путем перемножения полученных в регрессии коэффициентов на индивидуальные характеристики i-ого заемщика. Далее для этих значений были определены плотность вероятности и функции распределения с использованием следующих функций:

для расчета плотности вероятности:

для расчета функции распределения:

F (x)=, где erf (x)=.

После этого были получены значения функции опасности, рассчитанные как частное функции плотности вероятности и (1-функция распределения):

Hi=,.

Далее приведено описание логистической регрессии, устанавливающей связь между вероятностью дефолта и независимыми переменными, описанными выше, и дополнительно включенным регрессором-функцией опасности.

Log (default)= -2.507−1.32coapplicant +0.186gender+0.113marital — 0.018age+0.01income ;

(0.226) (0.412) (0.063) (0.022) (0.0003) (0.5).

• — 0.105empl_status + 0.006time_lastempl — 0.757debit_card — 1.525salary_card +
• (0.052) (0.0006) (0.192) (0.110)

+ 0.09expenses — 0.313client_type + 0.521other_loans + 0.00009min_live_cost ;

(0.1) (0.044) (0.100) (0.2).

• — 0.075number_of_fam_mem — 0.014empl_ownership+0.079total_work_exp +
• (0.049) (0.022) (0.066)

+ 0.058education + 0.010live_cond -0.063number_depend + 0.115premise_type +.

• (0.031) (0.029) (0.065) (0.061)
• — 0.03spouse_income + 0.003hazard_function
• (0.5) (0.002)

Как и в случае с пробит-регрессией, описанной выше, для установления значимости всей регрессии в целом был использован тест отношения правдоподобия (LR ratio). Более подробно процедура и сформулированные гипотезы представлены выше.

Полученная LR статистика равна 1533.99, при критическом значении (22)=33.92 на 95% уровне значимости, (22)=40.29 на 99% уровне значимости и (22)=48.27 на 99.9%. Следовательно, можно констатировать, что регрессия значима и предположения о существовании исследуемой связи обоснованы.

Подобно тому, как была исследована значимость каждого из коэффициентов при исходных переменных, были проверены все коэффициенты в новой регрессии. Однако, в этом случае для установления значимости каждого из коэффициентов полученной регрессии использовался анализ P-значений (р-value) каждого коэффициента.

В результате проведенных исследований, было установлено, незначимыми переменными являются: number_of_fam_mem, empl_ownership, total_work_exp, live_cond, number_depend, spouse_income и искусственно созданная нами переменная hazard_function. Также на 95% уровне значимости незначимыми являются переменные education и premise_type с Р-значениями равными 0.0635 и 0.0617 соответственно.

Регрессия для оставшихся переменных имеет вид:

Как видно из расчетов, полученная LR статистика равна 1521.356, что существенно превышает любое из критических значений, следовательно, полученная регрессия значима.

На 95% уровне значимости все из исследуемых независимых переменных оказались значимыми. Итоговая регрессия имеет вид:

Log (PD)= -2.64 — 1.37coapplicant + 0.18gender + 0.128marital — 0.018age+0.01income;

(0.198) (0.412) (0.061) (0.021) (0.003) (0.5).

— 0.107empl_status + 0.007time_lastempl — 0.724debit_card — 1.48salary_card +.

(0.053) (0.0006) (0.189) (0.110).

+ 0.09expenses — 0.317client_type — 0.52other_loans + 0.00009min_live_cost.

(0.044) (0.100) (0.2).

Для интерпретации модели были использованы функция распределения.

и плотности распределения.

где Z равна регрессии, описанной выше.

Вероятность дефолта была рассчитана для потенциального заемщика со средними показателями:

Таблица 8.

Так вероятность дефолта заемщика со средними характеристиками параметров можно найти как:

P (default=1)=F (Z)===0.026.

Далее была произведена оценка влияния на величину вероятности дефолта изменения на 1 процентный пункт каждого из выбранных параметров.

Для этого была применена следующая формула:

Так, f (Z)=,.

а предельный эффект от изменения переменной age, например, равен.

Аналогичные статистики можно также найти для других непрерывных переменных, таких как доход, расходы, срок работы на последнем месте.

Максимальная степень корреляции между факторами составляет 0,0998 по модулю, что является приемлемым, так как в финансовых моделях можно ожидать, что почти все факторы взаимосвязаны между собой. Следовательно, модель не требует дополнительного исключения параметров (см. таблицу корреляции в Приложении 1.

Для подтверждения корректности полученной модели был использован критерий Хосмера-Лемешова — статистическая оценка согласия модели с реально существующими в выборке частотами. Этот тест часто используется в моделях, рассчитывающих кредитный риск в банках. Модели, в которых ожидаемое значение близко или совпадает с реальным, называется хорошо откалиброванными.

Тестируемые гипотезы сформулированы как и в стандартном тесте оценки согласия модели:

Н0: данные распределены так, как указано в модели Н1: данные распределены не так.

Тест-статистика Хосмера-Лемешова рассчитывается по следующей формуле:

.

где G — количество групп, на которые были разделены измерения,.

O — наблюдаемые значения,.

Е — ожидаемые значения,.

рg — ожидаемый уровень риска в g-ом бакете,.

N — количество наблюдений.

Полученное значение Н сравнивается с критическим значением (G-2).

Ниже приводится статистика Хосмера-Лемешова для модели, построенной в Eviews.

Все данные были разбиты Eviews на 10 групп одинакового размера.

Полученное значениестатистики=20.078>(8)=1.647, что дает все основания отвергнуть нулевую гипотезу о распределении данных не так, как в указано в модели.

Все вышеизложенные статистические выводы о силе модели можно подтвердить графическим анализом с использованием ROC-кривой, построенной для финальной спецификации регрессии.

ROC-кривая (receiver operating characteristic) — график, позволяющий оценить качество бинарной классификации, который отображает соотношение между долей объектов от общего количества носителей признака, верно классифицированных, как несущих признак (true positive rate, TPR, называемой чувствительностью алгоритма классификации), и долей объектов от общего количества объектов, не несущих признака, ошибочно классифицированных, как несущих признак (false positive rate, FPR, величина 1-FPR называется специфичностью алгоритма классификации) при варьировании порога решающего правила.

На схеме это выглядит следующим образом:

Рис. 19.

Источник: Лекции Качалова Д. А., МИЭФ На основе этих данных рассчитываются:

чувствительность модели =.

специфичность модели = .

ROC-анализ позволяет выявить оптимальное пороговое значение вероятности для чувствительности и специфичности, так как зачастую возможен дисбаланс: слишком высокая специфичность, но низкая чувствительность и наоборот. Чем больше значение площади под ROC-кривой, тем выше сила модели. Если AUROC (площадь под ROC-кривой) равна 0.5, модель не имеет силы и называется наивной. Нужно отметить, что в реальности модель имеет право на существование и применение на практике, если значение ROC = 0.7. В рассматриваемой модели оно равно 0.67, что близко к 0.7, из чего можно сделать вывод о том, что построенная модель имеет силу.

Рис. 20.

Важнейшим элементом поддержания качества модели на должном уровне является ее калибровка. Калибровка — процесс, посредством которого основанные на модели прогнозы сравниваются с полевыми наблюдениями и/или экспериментальными измерениями на моделируемой системе, и модель корректируется в случае необходимости достижения наилучшего приближения к измеренным данным и/или данным наблюдений. Особенно актуальной проблема калибровки стала в условиях кризиса, то есть в условиях увеличившейся дефолтности. Банкам необходимо оперативно вводить меры для поддержания целевого уровня дефолтности в портфеле, чтобы максимально минимизировать потери от ухудшающегося качества входящего потока заявок.

Для портфельного анализа розничного кредитования принято использовать несколько общепринятых показателей, таких как:

• 30+ на 3 мобе (моб-от английского months on books) — клиент не вносит платежей более 30 дней по кредиту, выданному 3 месяца назад;
• 60+ @ 6 мобе — клиент не вносит платежей более 60 дней по кредиту, выданному 6 месяцев назад;
• 90+ @ 12 мобе — клиент не вносит платежей более 90 дней по кредиту, выданному 12 месяцев назад. Квалифицируется как дефолт.

Исторические данные показывают, что существует тесная взаимосвязь между просроченными платежами клиента. Модель, построенная в данной дипломной работе, была рассчитана на основе данных 2012;2013 годов. Очевидно, что в связи с ухудшившейся экономической ситуацией в стране она нуждается в калибровке. На данный момент данные по самой глубокой просроченной задолженности (90+ @ 12 mob) доступны только для кредитов, выданных в апреле 2014 года, однако для лучшей калибровки необходимы более свежие данные. В связи с этим была взята статистика по 60+ @ 6 mob для 2014 (она доступна по ноябрь 2014 включительно), проведен сравнительный анализ с аналогичной статистикой 2012;2013 года и получен грубый калибровочный коэффициент.

Для анализа было использовано 38 752 наблюдения, реальные уровни дефолтности составили:

Таблица 9.

Таблица 10.

Соотношение уровня дефолта 60+ на 6 мобе 2014 года и среднего за 2012;2013 годы равно = 2.12.

В связи с этим предлагается ввести калибровочный коэффициент, равный 2.12. Так, получается, что P (default=1 в 2014)=P (defaut=1 в 2012;13)*2.12. Для заемщика со средними показателями в 2014 вероятность дефолта равняется 2.6%*2.12=5.512%.

На заключительной стадии разработки скоринговой модели необходимо произвести трансформацию коэффициентов, полученных в ходе логистической регрессии, в скоринговые баллы, присваиваемые заемщику. Скоринговый балл в шкале натуральных логарифмов можно рассчитать, используя следующую формулу:

Score= - 1.37coapplicant + 0.18gender + 0.128marital — 0.018age + 0.01income ;

(0.412) (0.061) (0.021) (0.003) (0.5).

• — 0.107empl_status + 0.007time_lastempl — 0.724debit_card — 1.48salary_card +
• (0.053) (0.0006) (0.189) (0.110)

+ 0.09expenses — 0.317client_type — 0.52other_loans + 0.00009min_live_cost.

(0.044) (0.100) (0.2).

Для того, чтобы привести скоринговые баллы к шкале, похожей на ту, которая применяется на практике банками, необходимо произвести масштабирование. Для этого необходимо задать минимальное и максимальное значения скоринга, в случае данной модели они равняются 0 и 300 баллам соответственно. Помимо этого на результат масштабирования влияют два других входных параметра: количество баллов, которое удваивает вероятность клиента стать «хорошим», а также значение скоринга, при котором достигается заданное отношение шансов «хороших» к «плохим». Наиболее часто используется удвоение шансов стать «хорошим» для каждых дополнительных 40 или 20 баллов скоринга. Для приведения балла логистической регрессии к линейному виду используется следующее преобразование:

Score_scaled= - Score*Factor+Offset, где.

Score-величина, рассчитанная на этапе построения модели,.

Factor =, где B — количество баллов, удваивающих шансы стать «хорошим» клиентом,.

Offset = Kfactor*ln (C) — смещение, определяющее заданный скорбалл K, при котором шансы составляют C:1 при удвоении шансов каждые B баллов.

В нашем случае были использованы следующие значения:

B=20,.

K=200,.

C=50.

Так, переменная Factor примет значение: 28.8539, а переменная Offset: 200−28.8539*ln (50) = 87.1228.

Так, для заемщика со средними характеристиками, для которого ранее была рассчитана вероятность дефолта, скоринговый балл будет равен:

Score_scaled=0.9883*28.8539+87.1228=115.639.

Порог отсечения устанавливается банками на основе их предпочтений относительно среднего уровня дефолтности в портфелю. Так, средний уровень дефолтности в нашей выборке составляет 3.24%. Предположим, что банк консервативен и приемлемым считает уровень дефолтности в портфеле равный 1%. Для достижения поставленной цели банку необходимо установить пороговое значение для скоринга равным 112.

Таким образом, порог отсечения является основным регулятором дефолтности портфеля, диктуя банку, кому можно выдавать кредит и от сотрудничества с кем лучше воздержаться. Ниже представлена таблица с расчетами уровня дефолтности в зависимости от выбранного банком порога отсечения, а также график динамики дефолтности 2012;2013 гг. в зависимости от порогов. Очевидно, что, чем ниже порог отсечения, тем выше дефолтность и наоборот.

Рис. 21.

Таблица 11.

Таким образом, построенная эконометрическая модель зависимости вероятности дефолта от совокупности выбранных факторов подтверждает наличие значимой связи между переменными. В результате проведенного анализа установлено, что на кредитоспособность потенциального заемщика выбранного целевого клиентского сегмента влияние оказывают: пол, семейное положение, возраст, род занятости, доход, время работы на последнем месте трудоустройства, наличие созаемщика, расходы, минимальный прожиточный уровень, наличие кредитов в других банках, а также наличие зарплатной и дебетовой карты, тип клиента. В список значимых предикторов не вошли следующие переменные: количество членов семьи, количество иждивенцев, тип предприятия, на котором работает потенциальный заемщик, общий опыт работы, образование, тип жилья и тип собственности жилья. В этот список также не вошла переменная функции опасности, искусственно созданная в рамках коррекции Хекмана, целью которой было разрешить проблему смещения оценки в силу пропуска значений.

Важно отметить, что в модели было использовано большое количество переменных, однако, несмотря на это, представленный список не является исчерпывающим и может быть дополнен другими факторами, как количественными, так и качественными. Среди качественных факторов можно назвать цель кредита, род занятости, регион.

На основе рассчитанных коэффициентов были определены веса для присвоения скоринговых баллов заемщику, а также рассчитан скоринговый балл, набираемый среднестатистическим заемщиком.

Расчет показал, что если значения показателей потенциального заемщика будут близки к средним по рассмотренной выборке, то вероятность дефолта такого клиентапримерно равна 2.6% и скоринговый балл 115.639. В рассмотренном примере банк установил целевой уровень дефолтности на отметке в 1%, в связи с чем скоринговый порог отсечения оказался равным 112.044. В связи с ухудшившейся геополитической ситуацией в стране, качество выдач, что отмечается всеми аналитиками, заметно упало, поэтому модель оценки вероятности дефолта была откалибрована. Это было сделано путем сравнения средней глубины просрочек 2013 и 2014 годов и последующего введения калибровочного коэффициента, равного 2.12. В итоге обновленный прогнозный уровень дефолта среднестатистического заемщика стал равным 5.512%. Если изначально целевой уровень дефолта в кредитной портфеле был 1%, а в кризисное время банк изменил этот показатель до 2%, то для достижения поставленных целей, банку необходимо повысить порог отсечения до 114.52.

Как показывает практика, в кризисные периоды требования к заемщикам со стороны банка возрастают, кредитная политика направлена на выгашивание кредитного портфеля, а выдача новых кредитов носит крайне консервативный характер. Поэтому банки, имея сильный математико-статистический инструмент анализа, могут, сохраняя дружеские отношения с клиентами, страховать себя от потенциальных рисков.