Основные виды экономико-математический моделей и особенности их составления

Контрольная работа

по дисциплине

" Экономико-математические методы и модели"

Преподаватель Новикова Наталья Владимировна

• Задания
• Задание 1. Оптимизационные модели
• Задание 2. Теория массового обслуживания
• Задачи 3. Модели управления запасами
• 3.1 Бездефицитная простейшая модель
• 3.2 Статические детерминированные модели с дефицитом
• Задание 4. Корреляционно-регрессионный анализ

Задания

Задание 1. Оптимизационные модели

Составить экономико-математическую модель задачи.

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение:

Задача состоит в определении такого плана производства продуктов Р₁ и Р_2, при котором прибыль от их реализации будет максимальной.

Обозначим:

Запас ресурсов:

Обозначим х_{1 -} количество продукта Р₁, х₂ — количество продукта Р₂, f — запасы.

Значения х₁ и х₂ должны удовлетворять ограничениям по использованию трёх видов ресурсов S₁, S₂, S₃.

Так, использование ресурса S₁ будет описываться формулой (2х₁+3х₂), где

2х_{1 -} условное количество ресурса S₁ в х₁ единицах продукта Р_1;

3х₂ — условное количество ресурса S₁ в х₂ единицах продукта Р_2.

По условию, данная сумма не должна превышать 180 ед.

Т. е:

2х₁+3х₂?180

Использование ресурса S₂ будет описываться формулой (4х₁+х₂), где

4х_{1 -} условное количество ресурса S₂ в х₁ единицах продукта Р_1;

3х₂ — условное количество ресурса S₂ в х₂ единицах продукта Р_2.

По условию, данная сумма не должна превышать 240 ед.

Т. е:

4х₁+х₂?240

Использование ресурса S₃ будет описываться формулой (6х₁+7х₂), где

6х_{1 -} условное количество ресурса S₃ в х₁ единицах продукта Р_1;

7х₂ — условное количество ресурса S₃ в х₂ единицах продукта Р_2.

По условию, данная сумма не должна превышать 426 ед.

Т.е.:

6х₁+7х₂?426

По смыслу задачи, х₁ и х₂ должны быть неотрицательными — х₁?0 и х₂?0

Составим целевую функцию. Прибыль х₁ единиц продукта Р₁ составит 16 ден. единиц, а прибыль х₂ единиц продукта Р₂ составит 12 ден. единиц.

Т.о., целевая функция, которую необходимо максимизировать записывается в виде:

f = 16х₁+12х₂

Математически, задача сводится к определению таких значений х₁ и х₂, удовлетворяющих линейным ограничениям задачи, при которых функция достигнет максимального значения.

Получаем экономико-математическую модель задачи:

minf = 16х₁+12х₂

2х₁+3х₂?180

4х₁+х₂?240

6х₁+7х₂?426

х₁?0 и х₂?0

экономический математический модель

Задание 2. Теория массового обслуживания

Мастерская имеет п рабочих мест для обслуживания клиентов. Поток заявок (клиентов) является простейшим потоком с плотностью Я [заявки в час]. Среднее время обслуживания одного клиента Т_об [час]. Клиент, заставший все рабочие места занятыми, становится в очередь и может ждать неограниченное время, пока его не обслужат.

Параметры п, X, Т_об даны для каждой задачи в табл.1. Предварительно определив тип системы массового обслуживания и существование установившегося режима, требуется найти вероятность наличия очереди р_оч и среднюю длину очереди L_m.

Решение:

1. Определим величины

2. Находим м = 1/1,6 = 0,625 и с = 2/0,625 = 3,2

3. Если установившийся режим существует, определяем величину с₀ — вероятность того, что все каналы являются свободными, по формуле:

с₀ = 1/ (1+с/1i +с²/2i + … + сⁿ/n! + сⁿ⁺¹/ (n! * (n-с))) =0,012

4. Зная с₀, находим остальные характеристики системы по формулам:

с_оч = сⁿ⁺¹/ (n! * (n-с)), L_об=с, L_оч=сⁿ⁺¹/ (n*n! (1-с/n) ²) *с₀, L_сист=L_оч+с, Т_сист=1/л*L_сист, Т_оч=1/л*L_оч.

с₀=3,2⁵/ (8* (4−3,2)) *0,012=0,63

L_об=3,2, L_оч=3,2⁵/ (4*8* (1−3,2/4) ²) *0,012=3

L_сист=3+3,2?6 заявок Т_сист=½*6=3

Т_оч=½*3=1,5

Задачи 3. Модели управления запасами

3.1 Бездефицитная простейшая модель

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

Найти: оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между поставками, число поставок, годовые затраты, связанные с работой складской системы.

Годовая потребность комбината в пиломатериалах составляет v мі, затраты на хранение 1 м в год — s ден. ед. Затраты подготовительно-заключительных операции, не зависящие от величины поставляемой партии, связанные с каждой поставкой, равны К ден. ед.

Решение:

Определим оптимальный размер партии поставки (g^*)

g^*=²v (2Кv) /S=²v (2*90*3000) /3=424 М³

Определим оптимальный интервал между поставками (ф^*)

ф^*= g^*/V=²v (2К) / (Sv) = ²v2*90/3*3000=0,14 (года) Определим число поставок (n^*) в год

n^*= [v*Т/ g^*] = [3000*1/424] = [7,075] =7

Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом, доставкой и хранение продукта (L^*)

L^*= (²v2КSv) *Т=^*= (²v2*90*3*3000) *1=1273 ден. ед.

Вывод: Оптимальный размер партии поставки составит 424 м³, в год необходимо осуществлять 7 поставок. При этом среднегодовые расходы составят 1273 ден. ед.

3.2 Статические детерминированные модели с дефицитом

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

Найти: оптимальную партию поставки, максимальную величину задолженности спроса, интервал возобновления поставки, годовые издержки функционирования системы.

Спрос на продукцию инструментального цеха составляет v единиц в год. Стоимость хранения составляет s ден. ед. за единицу в год. Издержки размещения заказа равны К ден. ед.

Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют d ден. ед. за нехватку единицы продукции в течении года.

Решение:

Определим оптимальный размер партии поставки (g^*)

g^*=²v (2Кv) /S*²v (1+s/d) =²v (2*4512*4200) /512*²v (1+4512/3400) =272*1,5=408

Максимальная величина задолженности спроса:

г^*=s/d*²v (2Кv) /S*²v (1+s/d) =512/3400* (²v (2*4512*4200) /512) *1/ (²v1+512/3400) =40,7

Определим оптимальный интервал между поставками (ф^*)

ф^*= g^*/V=²v (2К) /Sv*²v (1+s/d) = ²v (2*4512/512*4200) * (²v1+512/3400) =0,068 (года) =18 дней Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом, доставкой и хранение продукта (L^*).

L^*=²v (2КvS) *²v (1+s/d) = ²v (2*4512*512*4200) *1/ (²v1+512/3400) =359 028 ден. ед.

Вывод: Оптимальны размер партии поставки составит 408 ед., поставку необходимо осуществлять каждые 18 дней. При этом среднегодовые расходы составят 359 028 ден. ед.

Задание 4. Корреляционно-регрессионный анализ

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

По выборочным данным исследовать зависимость между показателями X, Y и построить парную линейную регрессионную модель, для чего:

установить наличие связи между исследуемыми показателями графическим методом (построить корреляционное поле);

для измерения интенсивности связи между показателями вычислить коэффициент корреляции, коэффициент детерминации;

вычислить ошибки коэффициента корреляции и параметров модели с заданной доверительной вероятностью;

оценить значимость коэффициента регрессии модели по критерию Стьюдента;

оценить адекватность модели по критерию F - отношения;

осуществить прогноз по полученной регрессионной модели.

Провести анализ данных с помощью пакета Excel, проанализировать полученные результаты.

Решение:

Для определения вида зависимости построим корреляционное поле по имеющимся данным.

Расположение точек на корреляционном поле позволяет предположить линейную связь между величиной располагаемого дохода и объёмом частного потребления. Поэтому имеет смысл искать зависимость в виде линейной функции: y=в₀+в₁х.

При использовании МНК минимизируется следующая функция _i-в₀+в₁х₁), т. е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_i от расчётных значений должно быть минимальным.

Рис. 1. Корреляционное поле.

Согласно МНК для нашего примера воспользуемся следующими формулами расчёта:

в₀= () / (11

в₁=11 () /11 (

Для нахождения оценок параметров в₀ и в₁ составим рабочую таблицу, которая содержит исходные данные и промежуточные результаты.

Согласно формулам имеем:

в₀= () / (11 = (530*579,2−71*4101,7) / (11*579,2−71*71) =11,844

в₁=11 () /11 ((11*4101,7−71*530) / (11*579,2−71*71) =5,630

Таким образом, регрессионная модель имеет вид: у=11,844+5,630х. По регрессионному уравнению определим расчётные значения у_i=11,844+5,630х_i, а также остатки е_i = у_{i -} у_i.

Значение запишем в рабочую таблицу:

Для анализа силы линейной зависимости прибыли от объема производства найдем коэффициент корреляции по формуле:

R_xy==

= 0,9861

Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать выводы о сильной линейной зависимости между величиной располагаемого дохода и объемом частного потребления.

Коэффициент детерминации в нашем случае рассчитывается по формуле:

R²=1-=0,97

Проверим гипотезу о статистической значимости коэффициента корреляции на основе критерия Стьюдента.

Т_набл = =0,9861*v (11−2) /v (1−0,9861) =25,07

Определим критическое значение t_кр при числе степеней свободы n-2=9 и уровень значимости б=0,05, t_кр=t_б,n-2=t_{0,05, 9}=2,26

Так как Т=25,07>t_кр=2,26, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента детерминации должна быть отвергнута.

Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера.

F=

Определим критическое значение F_КР при числе степеней свободы n-2=9 и уровень значимости б=0,05. F_КР= F_{б, n-2}= F_{0,05, 9}=5,12. Так как F=312,3> F_КР=5,12, то модель адекватна.

Стандартная ошибка регрессии характеризует уровень необъяснённой дисперсии для однофакторной линейной регрессии (m=1) рассчитывается по формуле:

S=3,480

Стандартная ошибка параметра _в1 уравнения регрессии находится по формуле:

S_в1=====0,3164

Стандартная ошибка параметра в₀ определяется:

S_в0=====2,2957

На основе стандартных ошибок параметров регрессии проверим значимость каждого коэффициента регрессии путем расчета t-статистик и их сравнении с критическим значением при уровне значимости б=0.05 и числом степеней свободы (11-m-1) =9, t_кр=t_{б/2, 10−1-1}=t_{0,025, 9}=2,31

t_в1= ==17,79

t_в0===5,2

Поскольку | t_в1|=17,79>2,31, подтверждается статистическая значимость коэффициента регрессии в₁.

Поскольку | t_в0|=5,2>2,31, подтверждается статистическая значимость коэффициента регрессии в₀.

Так как все характеристики модели удовлетворительные, то для прогноза может быть использовано следующее уравнение:

у=11,844+5,630х

Например, если х=17

у=11,844+5,630*17=107,554