Основы теории вероятности

1. Задание 1

Сколькими способами можно выбрать по 6 карт из колоды, содержащей 36 карт?

Решение

Воспользуемся основными формулами комбинаторики, точнее Сочетаниями Выбрать 6 карт из 36 можно способами.

Ответ: 1 947 792 способами можно выбрать по 6 карт из колоды, содержащей 36 карт.

2. Задание 2

На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.

Решение

Будем отталкиваться от теоремы противоположных событии:

P(A)+P(В)=1

Пусть событие А- «выбрано нестандартное изделие», тогда Событие — «выбрано стандартное изделие»

Р (А)=0,05

Р (В)=1−0,05=0,95 — вероятность того, что выбрано стандартное изделие

Ответ: 95% вероятность того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.

3. Задание 3

Через остановку пролегают автобусные и троллейбусные маршруты. Троллейбусы подходят с интервалом в 15 минут, а автобусы с интервалом в 25 минут. К остановке подходит пассажир, какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на автобусе или троллейбусе?

Решение

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества? точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества ?:

P(A) = µ(A)/µ(?),

Геометрическая вероятность

Вероятность того, что пассажир дождется троллейбуса или автобуса в течение ближайших 10 минут равна отношению площадей прямоугольников

=

Ответ: 27% вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на автобусе или троллейбусе.

4. Задание 4

Пусть на трех предприятиях изготавливают одну и ту же продукцию. При этом в торговую сеть поступает: 50% продукции с предприятия 1, среди которой 10% брака; 30% с предприятия 2, среди которой 2% брака; 20% продукции с предприятия 3 среди которой 15% брака. Вычислить вероятность приобретения покупателем продукции без брака (событие F).

Решение

Пусть событие В₁-продукция изг. на 1 ом предприятии В₂-продукция изг. на 2 ом предп-тии В₃ — Продукция изг. на 3 ем предпр.

Р (В₁)=0,5, Р (В₂)=0,3, Р (В₃)=0,2

Событие F — «приобретенная продукция без брака»

Р_В1(F)=0,9 Р_В2 (F)=0,98 Р_В3 (F)=0,85 тогда Р (F)=Р (В₁₎• Р_В1 (F) + Р (В₂)•Р_В2(F) + Р (В₃)•Р_В3(F) =

0,5•0,9 +0,3•0,98 +0,2•0,85=0,914

Ответ: 91,4% вероятность приобретения покупателем продукции без брака (событие F).

5. Задание 5

Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

Решение

Частота 25-вершина распределения Одновершинное распределение

; =

— выборочная средняя

=11,1;

D=² E_x =

D=

=0,005 A_s=

== =

=0,049

E_x = ₌

6. Задание 6

Найти условные математического ожидания двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

Решение

Найдем условное распределение случ. величины X при условии, что случ. величина Y приняла значения y_j (j=1; 2) и условное распределение сл. вел. Y при условии, что случ величина X принимает значения x_i (i=1; 2; 3).

Составим таблицы распределения величин X и Y

0,25=0,2+0,05; 0,25=0,1+0,15; 0,5=0,3+0,2; 0,6=0,2+0,1+0,3; 0,4=0,05+0,15+0,2

Условные вероятности

?_ij=P

?₁₁ = P

?₂₁= P

?₁₂ = P

?₂₂==0,15: 0,25 = 0,6

?₁₃ =Р

?₂₃= P

Для условного закона распределения случайной величины X при условии У получаем.

Условные математические ожидания М (Х/-1)=-1

М (Х/0)=-1

М (Х/1)=-1

Найдем условные вероятности

=P

=

=P:0,6=0,5

=P:0,4=0,0,125

=P:0,4=0,375

=

Cоставим таблицу для условного закона распр-я случ величины У при условии Х.

Условные математические ожидания М (У/-1)=-1•0,33+0•0,17+1•0,5=0,17

М (У/1)=-1•0,125+0•0,375+1•0,5=0,375.

карта вероятность пассажир способ