1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
Решение
;
=;
;
=
2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график
y=
Решение
Область определения данной функции D (y)= (??; +?). В точках x=1 и x=2 функция меняет свой способ задания. В этих точках возможен разрыв.
Исследуем на непрерывность функцию в точке x=1;
=1
;
.
Так как =1, заключаем что непрерывна в точке x=1.
Исследуем на непрерывность функцию в точке x=2;
;
=-2.
Так как, но оба предела конечны, заключаем что в точке x=2 терпит разрыв 1 рода.
y =;
Данная функция определена для всех значений x, для которых? 0, т. е. x?±½.
Во всех точках своей области определения функция непрерывна. Точки x=½ и x=-½ являются точками разрыва, так как в этих точках функция не определена.
Определим тип точки разрыва x=-½. Для этого находим односторонние пределы:
Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке x=-½ разрыв 2-го рода.
Определим тип точки разрыва x=½. Для этого находим односторонние пределы;
Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке x=½ разрыв 2-го рода.
Исследуем поведение функции на бесконечности Вычислим значения функции в некоторых точках:
|
x | — 1 | — 2 | — 3 | | | | | 0.25 | |
y | — 0.33 | — 0.066 | — 0.038 | | — 0.33 | — 0.066 | — 0.038 | 1.33 | |
|
3. Найдите производную функции
; ;
;; ;
Решение
=
=;
;
;
;
;
;
=;
;
y'=
=
==
=;
4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя
Решение
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке
[-3; 0];, [2; 8].
Решение
[-3; 0];
Найдем производную данной функции Решим уравнение
x=0?[-3; 0]=конец отрезка; x=-1?[-3; 0], x=1[-3; 0]
Вычислим значение функции в точке x=-1 и на конца отрезка. т. е. при x=-3, и x=0
Следовательно,.
[2; 8].
Найдем производную данной функции Решим уравнение
D=b2−4ac=
?5, ;
Вычислим значение функции в точке x=5 и на концах отрезка, т. е. при x=2, и x=8,
Следовательно, .
предел лопиталь функция производная
1. Самочернова Л. И. Высшая математика. Часть 2: учебное пособие / Л. И. Самочернова; Томский политехнический университет. — изд., испр. — Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2005. — 164 с.
2. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы / Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, — 416 с. — (Экзаменационные вопросы и ответы. Экзамен на 5).
3. 3000 конкурсных задач по математике. 2-е изд., испр. и доп. — М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. — 624 с.
