Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения

Во многих областях науки возникает ситуация, когда развивающаяся система изменяет свой закон движения или способ эволюции под влиянием случайных воздействий окружающей среды. Например развитие популяций бактерий в некоторой среде, которая подвержена случайным колебаниямраспространение радиосигнала через турбулентную среду, в которой коэффициент отражения изменяется случайнозапасание вещества (энергии) со случайным его пополнениемдвижение частицы на прямой с постоянной скоростью до случайного столкновения, вследствие которого меняется скорость и частица движется дальше уже с новой постоянной скоростьюСтеория трафика) и т. д".

Математическая теория таких задач была названа теорией «случайных эволюций» С 66] «В работах СбЗ, 64] рассматривалось семейство произвольных замкнутых операторов {V© ) 6 = порождающих полугруппы сжатия {VLU) — ^ = Цп- > ^ 7/0}. Случайная эволюция, построенная по семейству {Vi (ij) = t ^ 7,0) и цепи Маркова * Щ, определялась следующим образом СбЗ]: где свремя Iго скачка х&-), — число скачков до моментаi. Аналогичные объекты рассматривались в C68J в предположении коммутируемости операторов {ГС<) — с =?7^}) это ограничение на семейство {TccJ i ?=?,/1} было снято в работе [67] «.

Распространение понятия случайной эволюции на случай однородного марковского процесса и произвольного семейства замкнутых плотно определенных операторов (Гсх) — хе ОС } (X — фазовое пространство) на некотором банаховом пространствеfi было сделано в [67] .

Изучались также СЭ, построенные по процессу марковского восстановления (ПМВ) с временами восстановления и состояниями, представляющими собой независимые одинаково распределенные случайные величины [81] «В работе [91] были введены и исследовались случайные эволюции, которые конструировались по скачкообразным марковским процессам, которыми аппроксимировались диффузионные процессы^ по ним, в свою очередь, строились СЭ на диффузионных процессах, СЭ, построенные по марковскому процессу и семейству (Рсх) — хе x}t получили название марковских СЭ [63,64,66,75,76]. Понятие G3 было (Обобщено на случай произвольного полумарковского процесса (1ЖП) и СЭ, построенные по НМЛ и семейству {Гек) — хе X} f называются полумарковскими случайными эволюциями (ПМСЭ) [18,19,72] ¦ Марковские и полумарковские СЭ являются операторнозначными аналогами переключаемых процессов [1,2, 40 — 43]-представляющих собой процессы с дискретным вмешательством случая [10,11] .Наиболее общее определение переключаемых процессов рассматривалось в работах [1,2] • Процессы с полумарковскими переключениями изучались в [40 — 43] .

Исследованию процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями посвящены работы [29−30] .

Переключаемые процессы можно представлять себе и как схемы суммирования случайных величин, определенных на цепях Маркова и.

ПМП, которые рассматривались в работах [3,8,32,33,44,51], Одним из возможных способов задания переключаемых процессов является мартингальный [13,17] .Здесь интересно отметить связь СЭ, которые являются мультипликативными операторными функционалами [87 — 89], с теорией мартингалов [89] .

СЭ имеют непосредственную связь также с гиперболическими уравнениями, что установлено в работе [70]fгде решение телеграфного уравнения было получено в терминах пуассоновского процесса. Движение частицы на прямой [70] было обобщено на случай движения на^прямых в [89] .

Важным аспектом изучения G3 является доказательство предельных теорем для СЭ, связанных с малыми стохастическими воздействиями (возмущениями) и большими временами «Если операторы {Гсх}- xeXj коммутируют друг с другом, то СЭ V%/ можно записать в предположениях, существует два важных типа предельных теорем: закон больших чисел и центральная предельная теорема, Поиску таких предельных теорем для СЭ было посвящено большое число работ — [59, 66−68,72,76,77,81,82,84,90,92,93]. Эти работы (за исключением [72]) содержат предельные теоремы для марковских СЭ, В [72] изучались предельные теоремы для дискретных ПМСЭ».

Марковская СЭ применяется во многих областях науки: теории Орнстайна-Уленбека движения частицы в случайной среде [80,85] - теории обучения [86] - колебание гармонического осциллятора виде: f Гсш) ds является суммой операторнозначных случайных ZEZ ra (Sjl) /SS-. Для таких сумм, при некоторых.

85] - теории распространения луча в сильно сфокусированной среде [83] и т, д#.

Полумарковская СЭ находит свое применение в теории запасов [34,52,56,57,78,79], теории трафика [59,703, дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями [84,85] •.

Теория запасов возникла из статистического подхода к задачам, связанным с регулированием запасов воды в водохранилище, Самая первая работа [65J была посвящена изучению периода повторения паводковых потоковизучались также оптимальные емкости водохранилища [69], В 1954 г, Моран [78] впервые дал вероятностную трактовку модели регулирования воды в водохранилище"Модель теории запасов Морана кратко можно описать так: количество воды, которое поступает в водохранилище, меняется со временем и имеет вероятностное распределениеесли не считать возможного перенаполнения (в случае ограниченного объема водохранилища), эта вода запасается и выпускается в соответствии с некоторым правилом, Запасенная вода используется для получения гидро-электрической энергии, а выпускаемая — для ирригационных цепей и т. д.Центральной характеристикой описанной модели является процесс накопления, который характеризует количество воды, запасенной в различные моменты времени, Модель Морана была построена для дискретного времени, В работах ?61,73] была предпринята попытка систематически построить модель регулирования запасов для непрерывного времени.

Задачи регулирования запасов встречаются и в экономике, при административном управлении торгово-промышленными предприятиями. Запас представляет собой некоторое количество вещества, предназначенного для последующего сбыта или производства, Эти вопросы изучались в работе [53], 0бз: ор ряда результатов в этом направлении содержится в [61]. Рассматривались проблемы оптимизации [54,55, .67], а также изучались различные случайные процессы, возникающие в теории запасов [5,35,36] ,.

Дискретная модель Морана [78] описывается следующим уравнением:

Zrt + Хи,] - тСп {пг, * X, xjгде k — объем водохранилищат — количество выпускаемой воды (о< пг * 6.) — Хгъ — количество поступающей воды на п «м шаге ({ /и. — /г о J «независимые одинаково распределенные случайные величины) — - количество воды в водохранилище на /г-м шаге.

Модель накопления L.

Zl = z + - lf (Zs)cCs о изучалась в [57] .Здесь Х±- - процесс Леви [35] - Г&-) ' R,+ —? ft+ - некоторая неубывающая функция, Г Со) — о. Количество поступающей вода или вещества может описываться.

ПМП, построенным по ПМВ [56] .В работе [72J процесс Х±представлялся в виде.

Xh — —-J & * j, где IXnyfo} - ПМВ, — некоторая функция, Л.

В этом случае модель теории запасов описывается уравнением где Ш)=тах{к.-. Z^ 4? f, Х^/ - ПМП, Г (г, Х/ - некоторая неубывающая по 2 функция.

Состояние теории запасов до 1959 г. рассматривалось в монографии Морана [79] * Итогом исследования теории запасов с марковским входом явилась работа [52] .В монографии [35] рассмотрена связь теории запасов с системами массового обслуживания".

Исследования предельных теорем для различных сложных систем," описываемых эволюционными уравнениями, встречают значительные трудности, связанные с проблемой сложности фазового пространства [26] «Чтобы избежать их используется метод асимптотического фазового укрупнения [26] указывающийся эффективным при решении многих задач, относящихся к сложным системам.

Асимптотическое укрупнение цепей и процессов Маркова рассматривалось в [3,21,47]. Анализу полумарковских процессов в схеме асимптотического фазового укрупнения посвящены работы [22,26,18]. Применение предельных теорем для полумарковских процессов в схеме фазового укрупнения к задачам надежности систем изучалось в [27], Метод фазового укрупнения применяется и в стохастических системах с полумарковскими переключениями [I, 2,29j, например, при изучении процессов с независимыми приращениями с прлумарковскими переключениями [29]. Одним из основных математических аппаратов теории фазового укрупнения является теория линейных операторов, возмущенных на спектре [9,21,24,26,46] .Теория асимптотического фазового укрупнения, развитая в работах В. С. Королюка и А. Ф. Турбина [2023,25,27,28,47,48,74 J, позволяет рассматривать марковские и полумарковские СЭ в схеме серий, допускающую фазовое укрупнение. Предельные теоремы для марковских СЭ в схеме асимптотического фазового укрупнения впервые изучались в работах [1−3,75,76] .

Настоящая диссертация посвящена доказательству предельных теорем для ПМСЭ в схеме фазового укрупнения и применению метода фазового укрупнения к некоторым прикладным задачам.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы"Общий объем работы составляет {{в страниц машино.

1. В и ш и к М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженныхи несамосопряженных дифференциальных уравнений. Усп.матем.наук, I960, т.15, в. З, с.3−80.

2. Гихман И, И, Скороход А, В.

Введение

в теорию случайных процессов. М.:Наука, 1965, — 654 с.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов, М: Наука, 1973, т.2. — 639 с.

4. Г н е д е н к о Б, В. Курс теории вероятностей.-М.:Физматгиз, изд.3,1961. 387 с.

5. Григелионис Б. Характеризация случайных процессов с условно независимыми приращениями. Лит.матем.сб., 1975, т.15, № 4, с.53−60.

6. Данфорд Н", Шварц Дж, Линейные операторы. Общая теория. М.:ИЛ, 1962. — 895 с.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1967,-624 с.

8. К, а т о Т. Теория возмущений линейных операторов.-М.:Мир, 1972. 740 с.

9. Кабанов В .М. , Липцер Р. Ш. .Ширяев, А. Н. Мартингальные методы в теории точечных процессов. В сб.:Труды школы-семинара по теории случайных процессов, Друскининкай, 1974, ч.2, Вильнюс, 1975, с.269−354.

10. Королюк B.C., Свищук А. В. Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения. Препринт Ин-та математики АН УССР, 84.16, Киев, 1984, с.3−15.

11. Королюк B.C., С в и ns у к А. В. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюций. Труды Международной конференции «Стохастическая оптимизация» .Тезисы докладов. Часть I.(Киев, 1984). — Киев, 1984, с.127−129.

12. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Анализ асимптотических укрупняемых сложных систем. В кн. '.Математизация знаний и НТП. — Киев, 1975, с.45−65*.

13. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Возмущение операторов на спектре и асимптотическое укрупнение цепей Маркова. ДАН УССР, 1975, № 5,с.402−405.

14. Королюк B.C., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наук. думка, 1976. -184 с.

15. Королюк B.C. Укрупнение сложных систем. (Meтодологические аспекты). Кибернетика, 1977, № I, с.129−132,.

16. Королюк В. С., Турбин А. Ф, Возмущение операторов на спектре и некоторые применения. В кн.:Про-блемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев, 1977, C. IG7 — 114.

17. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Фазовое укрупнение сложных систем. Киев: Вища школа, 1978. — 109 с.

18. Королюк В, G., Турбин А. Ф, Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Наук, думка, 1978. — 218 с.

19. Королюк B.C., Турбин А. Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. -Киев:Наук, думка, 1982. 235 с,.

20. Королюк В, G., Турбин А. Ф. Алгоритм укрупнения с помощью разрежения. В кн. Аналитические методы в теории вероятностей. Сб.научн.тр., Киев: Наук"думка, 1979, с.62−69.

21. Королюк В. В. Стохастические системы с полумарковскими переключениями, Препринт 83,85, ИК АН УССР, Киев, 1983, — 38 с.

22. Свищук А. В. Фазовое укрупнение в моделях теории запасов" Препринт Ин-та математики АН УССР, 84.60, Киев, 1984, с.3−13.

23. Сильвестров Д. С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.:Сов.радио, 1980. — 272 с.

24. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. Киев: Вища школа, 1974. — 318 с.

25. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для полумарковских схем суммирования.I. Теор.вер. и матем.стат., 4, 197I, с.153−170.

26. Сильвестров Д. С. Процессы с дискретной компонентой полумарковского типа, Киев: КРУ, 1977.

27. Статулявичюс В. А. Предельные т еоремы для сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова. Лит. матем" сб., 1969, № 2,3,т.9, с.345−361, с.635−672.

28. Степанов А, А. Курс дифференциальных уравнений. М.:Гостехиздат, 1955. — 465 с.

29. All Khan. Dams with Markovian Inputs.-Ph. D. Thesis, Univ. Sheffield, 1970.53. Arrow K.J., Karlin S., S k a r f H. Studies in the Math. Theory of Inventory and Production.- Stenford Univ-Press., 1958.

30. Bather J.A. Optimal regulation policies for finite dams.- J. Soc.Indust. Appl. Math., 1962, v.10, p. 395 423.

31. Bather J.A. The optimal regulation of dams in continuous time.- J. Soc.Indust. Appl. Math., 1963, v. 11, p. 33−63.

32. Cinlar E. On Dams with Continuous Semi-Markov inputs. J. Math.Anal. Appl., 1971, v.35, N 2, p. 434 — 448.

33. Cinlar E., Pinsky M .A Stohastic integral in Storage theory. Z. Wahrsh., verw.Geb., 1971, v. 17, p. 227 240.

34. Cogburn R., Herh R. Two limit theorems for random differentional equations.- Ind.Univ. Hath. J., 1973, v.22, p.1067 1089.

35. Ellis R.S. Limit theorems for random evolutions with explicit error estimates.- Z. Wahrsh. verw. Geb., 1974, v. 28, p.249 256.

36. Gani, Prabhu N. A stochastic model with continuous infinitely divisible inputs.- Proc.Camb.Phil. Soc., 1963, v. 59, p. 417 429.

37. G a n i. Problems in the probability theory of storage systems.- J.R.Stat.Soc., 1957, v.19, p.181 206.

38. G r i e g о R.J. Limit theorems for aclaes of multiplicative operator functionals of Brownian motion.-The Rocky Moun. J. of Math., 1974, v.4, К 3, p.435 442.

39. Griegor, Hersh R. Random evolutions, Markov chains, and systems of partial diff.equations.-Proc. Nat. Acad. Scien., 1969, v.62, p. 305 308.

40. Griegor, Hersh R. Theory of random evolutions with applications to partial diff. equations. -TAMS, 1971, v.156, p. 405 418 .

41. Gumbel E.J. The return period of flood flows. Amer. Math. Stat., 1941, v. 12, p. 163 — 190.

42. Hersh R. Random evolutions: a survey of results and problems. Rocky Moun. J.Math., 1974, v.14, p. 443 — 496.

43. Hersh R., Papanicolaou G. Non-commuting random evolutions and an operator-valued Peynman-Kac formula. Comm. Pure and Appl.Math., 1972, v.30, p.337 367.

44. Hurst H.E. Methods of using long term storage in reservoirs. -Trans.Amer.Soc.Civ. Eng., 1951, v. 116.

45. Hersh R., Pinsky M. Random evolutions are asymptotically Gaussian. Comm. Pure and Appl. Math., 1972, v.25, p. 33 — 44 .

46. К, а с M. A stochastic model related to the telegraherfs equation. The Rocky Moun.J. of Math., 1974, v.4, N 3, p. 497 — 510.

47. К a t о Т. Linear evolution equations og hyperbolic type. J. Fac.Scien., Univ. of Tokyo, v.17, 1970, p.241 275.

48. Kertz R. Random evolutions with underlying semi-Markov processes. Publ. Res, insr.Math.Scien., 1978, v.14, N 3, p. 589 — 614.

49. Koroljuk V. S. , Turbin А.P., Svishchuk, А. V. Markov Random evolutions.

50. USSR-Japan Symposium on prob. theory and math.stat., Tbilisi, 1982, Abstracts of Communications, v.2, p.39 40.

51. Koroljuk V • S •, Turbin A.P. Limit theorems for Markov random evolutions in the scheme of asymptotic state lumping. Lectures notes in Math., 1983, 1021, p. 327 — 332.

52. Kurtz M. A limit theorem for perturbed operator semigroups with applications to random evolutions.-J. Punc.Anal., 1973, v. 12, p.55 67.

53. Moran P. A probability theory of dams and storage systems.- Aust.J.Appl.Scien., 1954, v.5,p.116 -124.

54. Moran P. The theory of Storage. -London, 1959.

55. Papanicolaou G. Motion of a particle in a random field. J.Math. Phis., 1971, v.12, p.1494−1496.

56. Papanicolaou G ., Hersh R. Some limit theorems for stochastic' equations and applications.-Ind.Univ.Math., J., 1972, v.21, p.815 -840.

57. Papanicolaou G ., Keller J. Stochastic differential equations with applications to random garmonic oscillators and ware propagation in random medie. SIAM J. Appl.Math., 1971, v.21, p.287 — 305.

58. Papanicolaou G., McLanghlin 0., Burridge R. A stochastic Gaussian beam.J. Math.Phys., 1973″ v.14, p. 84 89.

59. Papanicolaou G., Varadhan S. A limit theorem with stroug mixing in Banach space and two applications to stochastic differential equations. Comm. Pure and Appl.Math., 1973, v.26, p.497 — 524.

60. Papanicolaou G. Kinetic theory for power transfer in stochastic systems.-J.of Math.Phys., 1972, v. 13, N 12, p.1912 1919.

61. Papanicolaou G. Asymptotic analysis of transport processes.-Bull.Amer.Math.Soc., 1975, v.81,p.330−392.

62. Pinsky M. Multiplicative operator functional of a Markov processes. Bull.Amer.Math.Soc., 1972, v.77, p#377 — 380.

63. Pinsky M. Stochastic integral represented of multiplicative operator functionals of a Wiener process" 0? AMS, 1972, v. l67, p.89- Ю4.

64. Pinsky M. Random evolution.- Lecture Notes in mathematics, 1975, v.451,p.89 100.

65. Pinsky M. Differential equations with a small parameter and the central limit theorem for functions defined on a finite Markov chaine. Z.Warch.verw.Geb., 1968, v.9, p.101−111.

66. Quiring D. Random evolutions on diffusion processes. Z. Warch.verw.Geb., 1972, v.23, p.230 — 244.

67. Schoeue A. Semi-groups and a class of singular pertiirbated peoblems. -Ind.Univ.Math.J., 1970, v.20, p.247 263.

68. Watkins J. A central Limit Theorem in Random evolutions. Ann. of Prob., 1984, v. 12, IT 2, p.480 514.