Пусть
причем только для равностороннего треугольника. Согласно (1) имеем или Возведем в квадрат, имея в виду, что .
Получим:
Но = -, = -, = -. Следовательно,, откуда следует:
Свойства операций над векторами.
Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.
1. Пусть даны, а = (ах, аy, аz) и в = (вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т. е. с = а + в = (ах + вx; аy + ву; аz +вz).
Пример 1.
а = (3; 4; 6) и в = (-1; 4; -3), тогда с = (3 + (-1); 4 + 4; 6 + (-3)) = (2; 8; 3).
2. а = (ах, аy, аz) и в = (вx, ву, вz), тогда разность этих векторов есть вектор с, координаты которого равны разности одноименных координат данных векторов, т. е. с = а — в = (ах — вx; аy — ву; аz — вz).
Пример 2.
а = (-2; 8; -3) и в = (-4; -5; 0), тогда с = а — в = (-2 — (-4); 8- (-5); -3 -0) = (2; -13; -3).
3. При умножении вектора, а = (ах, аy, аz) на число м все его координаты умножаются на это число, т. е. ма = (мах, маy, маz).
Пример 3.
а = (-8; 4; 0) и м = 3, тогда 3а = (-8×3; 4×3; 0×3) = (-24; 12; 0).
Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.
Заключение
В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.
Список используемой литературы
З.А. Скопец Геометрические миниатюры. М.: «Просвещение», 1990 г.
В.А.Гусев. Ю. М. Колягин «Векторы в учебном курсе геометрии. М: «Наука», 1989 г.
