Метод Монте-Карло. 
Моделирование дискретных и непрерывных величин

е.равномерна распределена в интервале) и с линейной плотностью. Линейная плотность более соответствует рекомендации о пропорциональности и. Поэтому следует ожидать, что второй способ вычисления даст лучший результат.

1)Пусть, формула для разыгрывания имеет вид. А формула (2.2) примет вид.Пусть. В качестве значений используем тройки чисел из табл. 1 (см. приложение), умноженные на 0.

001. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.

1. Результат расчёта Таблица 2.

1 123 456 789 100.

8650.

1590.

0790.

5660.

1550.

6640.

3450.

6550.

8120.

3321.

3590.

2500.

1240.

8890.

2431.

0430.

5421.

0291.

2750.

5210.

9780.

2470.

1240.

7760.

2410.

8640.

5160.

8570.

9570.4982)

пусть теперь. Для разыгрывания используем формулу, откуда получаем;

формула (2.2) имеет вид: Пусть. Числа выберем те же, что и в случае 1. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.

2. Результат расчёта Таблица 2.

2 123 456 789 100.

8650.

1590.

0790.

5660.

1550.

6640.

3450.

6550.

8120.

3321.

4610.

6260.

4421.

1820.

6181.

2800.

9231.

2711.

4150.

9050.

6800.

9360.

9680.

7830.

9370.

7480.

8630.

7510.

6980.868Как и ожидалось, второй способ вычислений дал более точный результат.

3) По значениям, приведённым в таблицах (2.1) и (2.2) можно приближенно сосчитать дисперсии для обоих методов расчёта: для 1:;для 2: Несмотря на то, что значение невелико и приближенная нормальность оценки (2.2) не гарантирована, вычислим для обоих методов величины. Получим значения 0.103 и 0.

027. Также фактические абсолютные погрешности при расчёте, равные 0.048 и 0.016, — величины того же порядка. Точные же значения в рассмотренном примере равны 0.233 и 0.

Таким образом, и при оценке дисперсий метод 2 оказался точнее метода 1.

2.2 Пример 2Требуется вычислить интеграл, где область G задаётся следующими неравенствами:.Область интегрирования принадлежит единичному квадрату. Для вычисления интеграла воспользуемся таблицей случайных чисел (см. приложение), при этом каждые два последовательных числа из этой таблицы примем за координаты случайной точки. Записываем координаты и случайных точек в табл. 3.1, округляя до 3 знаков после запятой, и выбираем те из них, которые принадлежат области интегрирования. Заполним табл. 3.1 по правилу:

1) Среди всех значений выделяем те, которые заключены между и .Для этих значений полагаем, для всех остальных;

2) Среди всех значений. Соответствующих выделенным, выбираем те, которые заключены между;

Для этих значений полагаем, для всех остальных. Таблица 3.

10.5770.

5001.

10.

71 600.

154 000.

7370.

5001.

10.

70 100.

474 000.

1700.

5001.

0.

53 300.

4320.

5001.

0.

26 300.

0590.

5001.

0.

66 300.

3550.

5001.

0.

9 400.

3030.

5001.

0.

55 200.

6400.

5001.

10.

20 500.

280 110.

4520.

0020.

5001.

0.

55 700.

8700.

5001.

10.

32 300.

740 110.

8550.

1160.

5001.

0.

93 000.

9300.

5001.

10.

42 800.

860 111.

0480.

5290.

5001.

10.

9 500.

58 000.

9960.

5001.

10.

70 000.

992 111.

4820.

3130.

5001.

0.

27 000.

6530.

5001.

10.

93 400.

306 000.

0580.

5001.

0.

300.

8820.

5001.

10.

98 600.

764 000.

5210.

5001.

10.

91 800.

42 000.

0710.

5001.

0.1390всего43.

8373) Вычисляем. Области тнтегрирования принадлежат только те точки, для которых. В примере 4) Вычисляем значения подынтегральной функции в полученных точках. После заполнения табл. 3.1 вычисляем площадь области интегрирования и по формуле (3.2) находим

Для сравнения приведём точное значение интеграла Результат имеет сравнительно небольшую точность потому, что число точек недостаточно велико.

2.3 Пример 3Рассмотрим пример: найдём приближенно объём, ограниченный поверхностями

Искомый объём численно равен величине интеграла (3.7)Так как в области V, вводим новую переменную, в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл (3.8)где область, ограниченная поверхностямит.

е. принадлежит единичному кубу. Берём теперь три равномерно распределенные на отрезке последовательности случайных чисел и записываем их в качестве координат случайных точек в табл. 3.

2. Затем проверяем, какие из этих точек принадлежат области. Таблица 3.

210.

5770.

1160.

0770.

3840.

14 710.

6 671 120.

7160.

9300.

2160.

4300.

2320.

9930.

1930.

231 030.

7370.

9300.

2370.

4300.

24 110.

2 421 140.

7010.

4280.

2010.

0720.

0450.

9400.

1400.

122 150.

1700.

5290.

3300.

0290.

11 010.

6 101 160.

5330.

0950.

0330.

4050.

16 510.

1 311 170.

4320.

9960.

0680.

4960.

25 100.

3 521 080.

2630.

6990.

2370.

1990.

9 610.

6 451 190.

0590.

3130.

4410.

1870.

22 910.

64 611 100.

6630.

2700.

1630.

2300.

8 010.

68 011 110.

3550.

6530.

1450.

1530.

4 610.

57 711 120.

0940.

9340.

4060.

4340.

35 300.

71 610 130.

3030.

0580.

1970.

4420.

23 410.

73 711 140.

5520.

0030.

0520.

4970.

25 010.

70 111 150.

6400.

8820.

1400.

3820.

16 510.

16 911 160.

2050.

9860.

2950.

4860.

32 300.

53 310 170.

0020.

5210.

4980.

0210.

24 810.

43 211 180.

5570.

9180.

0570.

4180.

17 810.

26 311 190.

8700.

0710.

3700.

4290.

31 800.

5 910 200.

3130.

1390.

1870.

3610.

18 510.66311=15Заполним табл. 3.2 по правилу:

выделяем точки, у которых, и полагаем для них среди выделенных точек области принадлежат те, для которых выполняется неравенство. Для этих точек, для остальных вычисляем. Области принадлежат те точки, для которых среди точек, у которых, области принадлежат те точки, координатыкоторых удовлетворяют неравенству

Для этих точек .В примере общее количество точек, а число точек, принадлежащих области, равно 15. По формуле (3.6) получаем, а точное значение объёма равно Погрешность формулы (3.6) обратно пропорциональна корню из числа испытаний, т. е.Это означает, что для обеспечения большой точности число точек должно быть очень велико. Но так как приближенные формулы (3.3), (3.6) не зависят от размерности интеграла, метод Монте-Карло оказывается выгодным при вычислении интегралов большой размерности. Заключение

Процесс выполнения данной работы представлял большой интерес и послужил хорошей возможностью дляприобретения новых знаний и навыков, а также закрепления уже полученных. Были рассмотрены основные свойства метода Монте-Карло ирассмотрены примеры вычисления данным методом. Методом

Монте-Карло можно решать разнообразные задачи, в том числе вычисление интегралов, не прибегая к сложным математическим вычислениям. Простота алгоритма метода Монте-Карло позволяет успешно реализовывать их на ЭВМ. Главный недостаток метода Монте-Карло заключается в том, что, являясь в основном численным методом, он не может заменить аналитические методы при расчете существенно новых явлений, где, прежде всего, нужно раскрытие качественных закономерностей. Преимущество метода Монте-Карло состоит в том, что он способен «сработать» там, где отказывают другие методы. Аналитические методы исследования позволяют существенно уменьшить погрешность метода Монте-Карло и могут поднять его до уровня получения качественных закономерностей. Синтез аналитических и статистических методов может свести D к очень малой величине, следовательно, уменьшить погрешность. Примеры задач, решаемых методом Монте-Карло:

расчет системы массового обслуживания;

расчет качества и надежности изделий;

теория передачи сообщений;

вычисление определенного интеграла;

задачи вычислительной математики;

задачи нейтронной физики и другие.

Список литературы

Бусленко Н. П. Метод статистического моделирования — М.: Статистика, 1970

Демидович Б.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.:Наука, 1966

Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы — М.:Наука, 1975

Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М.:Наука, 1972

Соболь И. М. Метод Монте-Карло — М.:Наука, 1985