Бесконечно малые изгибания склеенных поверхностей

Одной из интересных и трудных задач геометрии «в целом» является исследование бесконечно малых изгибаний поверхности, склеенной из гладких кусков. Первый результат в этом направлении был получен Б. В. Боярским и И. Н. Векуа [3] в 1958 г. Ими была доказана жесткость овалоида, склеенного из конечного числа регулярных кусков класса С3. В 1959 г. Б. В. Боярским [2] результат статьи [3] был распространен на случай замкнутой поверхности, внутренне склеенной из регулярных кусков выпуклых поверхностей класса С3 при условии, что она является звездной относительно некоторой внутренней точки. Такая поверхность может быть получена отсечением от овалоида «шапочек», заклеиванием образовавшихся «дыр» плоскостями и «вдавливанием» плоских частей внутрь овалоида. В теореме Б. В. Боярского, наряду с требованием-звездности поверхности, присутствует одно условие на линиях склеивания, резко ограничивающее класс допустимых поверхностей. Геометрический смысл этого условия заключается в достаточной малости описанных вдавливаний. В этой же работе Б. В. Боярским высказана гипотеза о несущественности требования «малости вдавливаний». В связи с этим, представляется актуальной задача исследования бесконечно малых изгибаний поверхностей с большими «вдавливаниями» .

В последние годы все больше внимания геометров уделяется бесконечно малым изгибаниям многомерных поверхностей. Эта теория представляет интерес как для «чистой» математики, так и для механики. Например, теория бесконечно малых деформаций связей механической системы из конечного числа материальных точек с сохранением ее формы кинетической энергии сводится к теории бесконечно малых изгибаний многомерных поверхностей. Бесконечно малые изгибания n-мерных поверхностей в m-мерном евклидовом пространстве рассматривались в работах Н. Н. Яненко [28] -[30], П. Е. Маркова.

8] - [16], Р. Голдстейна и П. Райна [34], М. Дайцера и JL Родриге-са [32], К. Тененблат [37]. В перечисленных работах рассматривались регулярные многомерные поверхности достаточно высокой гладкости. Представляется актуальной задача исследования бесконечно малых изгибаний склеенных многомерных поверхностей.

Целью данной работы является исследование бесконечно малых изгибаний склеенных поверхностей трехмерного евклидова пространства, а также некоторых классов многомерных склеенных поверхностей.

Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка литературы. Первая глава, носящая предварительный характер, состоит из трех параграфов. В § 1 излагаются необходимые для дальнейшего факты из векторной алгебры многомерного евклидова пространства. Основное внимание уделяется бивекторам. В частности, вводятся понятия скалярного произведения бивекторов, внутреннего произведения бивектора на вектор, бивекторного произведения двух бивекторов и устанавливаются основные свойства этих операций. В § 2 приводятся (в основном, без доказательств) сведения из дифференциальной геометрии многомерных поверхностей. Рассматриваются как регулярные поверхности, так и поверхности с особыми точками. В частности, дается определение многомерной склеенной поверхности. При этом склеиваемые куски могут иметь различные размерности.

Обозначим через Х+, Х~ гладкие ориентируемые хаусдорфовы С°°-многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, размерностей п+ и п~ с краями дХ+ и дХ~ (возможно пустыми), через Г+, Г~ — fc-мерные, 1 ^ к < п±-, С°°-подмногообразия многообразий Х+ и Х~ соответственно, такие, что существует С°°-диффеоморфизм (р: Г+ —Г- (не исключается случай Г" 1″ ПдХ±ф 0). Диффеоморфизм <�р будем называть склеивающим диффеоморфизмом. Пусть S+, S~ — поверхности в m-мерном евклидовом пространстве Ет, определяемые С2-отображениями r+: Х+ —Ет, г~: Х~ —> Ет, удовлетворяющими условию г+(ж) = г" (у>(®)) для всякой точки х G Г+. Множество S = S+ U S~ будем называть поверхностью, склеенной из поверхностей S+ и S~ вдоль поверхности 7 = г+(Г+). Поверхность у будем называть поверхностью склеивания.

Как частный случай, в этом параграфе рассматриваются двумерные поверхности трехмерного евклидова пространства.

В § 3 приводятся основные определения и факты из теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Здесь, в частности, дается определение бесконечно малого изгибания многомерной поверхности 5, склеенной из поверхностей S+ и S~ размерностей ть+ и п~, задаваемых С2-погружениями г+: Х+ Ет и г-: Х~ ->• Ет соответственно, вдоль^{-мерной} поверхности 7 = г+(Г+).

Пусть £г+ и 5г~ — изгибающие поля поверхностей S+ и S~ соответственно, удовлетворяющие условию.

Sr~(ip (x)) = Sr+(x) для каждой точки х G Г+.

Пара = (?r+, dr~) называется изгибающим полем склеенной поверхности S. Изгибающее поле 5 г называется тривиальным, если для него r+ = Q • r+ + ш, <5г~ = О • r~ + и, где Q — произвольный постоянный бивектор из внешнего квадрата Д2 Ет пространства Ет, ш — произвольный постоянный вектор из Ет, точкой обозначено внутреннее произведение бивектора на вектор. Склеенная поверхность S называется жесткой, если всякое ее изгибающее поле тривиально.

Как частный случай, рассматриваются бесконечно малые изгибания двумерной склеенной поверхности трехмерного евклидова пространства. Приводятся основные свойства поля вращений на «ребрах и в конических точках.

Вторая глава посвящена бесконечно малым изгибаниям замкнутых двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Цель этой главы — получить новые признаки жесткости замкнутой внутренне склеенной кусочно выпуклой поверхности. Основной результат получен для поверхности 5, удовлетворяющей следующим условиям.

1. Поверхность S состоит из конечного числа кусков выпуклых поверхностей класса С2, каждый из которых может содержать лишь конечное число особых точек. Эти куски мы будем называть гранями, а особые точки — коническими точками.

2. Каждая грань ограничена конечным числом регулярных дуг класса С2. Эти дуги мы называем ребрами. Точки пересечения ребер мы называем вершинами. Будем говорить, что ребро 7 образовано гранями и 5″, если оно лежит как на так и на 5″. Ребра поверхности S будем классифицировать следующим образом. Ребро 7, образованное гранями S+ и S~, будем называть ребром выпуклого склеивания, если поверхность S+ U S~ выпукла, и ребром невыпуклого склеивания в противном случае. Ребро невыпуклого склеивания будем называть ребром внутреннего склеивания, если в каждой его точке существует опорная плоскость к поверхности S+ U S~.

3. Каждое ребро поверхности S является либо ребром выпуклого склеивания либо ребром внутреннего склеивания. Если кривизна ребра отлична от нуля, то оно не является асимптотической одновременно на обеих из образующих его граней.

4. В каждой вершине многогранный угол, образованный полукасательными к выходящим из нее ребер, является выпуклым.

5. Конические точки не лежат на ребрах.

6. В каждой конической точке касательный конус к содержащей эту точку грани является поверхностью класса С3.

7. Граница каждой плоской связной компоненты на поверхности S является жордановой кривой, состоящей из конечного числа регулярных дуг класса С2.

В § 1 вводится понятие А-звездности поверхности, обобщающее классическое понятие звездности, а также а-звездности из [27].

Допустим, что в пространстве введена прямоугольная декартова система координат Ох1×2×3, и каждый вектор г — (ж1, ж2, ж3) рассматривается как матрица-строка. Зафиксируем 3×3-матрицу, А и функцию <�р: (0, оо) —> Е класса С1 с производной <�р' > 0. Каждую кривую с векторно-параметрическим уравнением р = с • где р — радиусвектор текущей точки, с = (с15с2,сз) — вектор параметров, точкой обозначено произведение матриц, будем называть А-лучом. Поверхность S назовем А-зеездной, если всякий А-луч пересекает ее не более чем в одной точке. Если в качестве, А взять единичную матрицу и положить.

можно получить условие а-звездности. В то же время, класс А-звездных поверхностей содержит и поверхности, не являющиеся а-звездными.

Основные результаты второй главы приводятся в § 3 и формулируются следующим образом. Вдоль каждого ребра 7 на поверхности 5, образованного кусками S+ и обозначим h = + к~ п+, где • кп — нормальная кривизна поверхности вдоль 7, п — внешняя нормаль поверхности, индексами «+» и «отмечены предельные значения величин на 7. Через р' обозначим касательный вектор к А-лучу.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Если поверхность S является А-звезднощ и вдоль каждого ее ребра внутреннего склеивания выполняется неравенство р', Ь) < 0, (2.3.1) то она обладает жесткостью вне плоских областей относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с изгибающим полями, непрерывными на S, принадлежащими классу С2 на каждой ее грани.

В теореме Б. В. Боярского [2] условие (2.3.1) принимает вид (г, h) ^ 0 и выполняется в случае, когда поверхность S имеет очень незначительные «вдавливания». В связи с этим, это условие называется условием малости прогибов. Ослаблению этого условия посвящены работы [22, 26, 27, 7, 18]. Теорема 2.3.1 включает результаты этих работ, а также дает новые классы жестких внутренне склеенных поверхностей.

Теорема 2.3.1 не содержит утверждений о жесткости в целом поверхностей, содержащих плоские области, например, многогранников. Следующая теорема ликвидирует этот пробел.

ТЕОРЕМА 2.3.2. Если поверхность S является А-звездной, вдоль каждого ее ребра внутренего склеивания выполняется неравенство (2.3.1), то она обладает жесткостью относительно бесконечно малых изгибаний первого порядка с изгибающими полями, непрерывными на S, принадлежащими классу С2 на каждой грани и тривиальными на каждой плоской области.

Следуя схеме статьи И. Н. Векуа и Б. В. Боярского [3], доказательство проводится методом интегральных формул. § 2 второй главы посвящен выводу интегральной формулы, обобщающей формулы В. Бляшке [1], а также интегральных формул, использованных в работах [3, 2, 26, 27, 18].

В третьей главе рассматриваются бесконечно малые изгибания многомерных склеенных поверхностей в m-мерном евклидовом пространстве Ет. В § 1 этой главы приводятся определения точки уплощения и типового числа многомерной поверхности, заимствованные из работ [20, 6, 31], и доказывается жесткость поверхности S, склеенной из поверхностей S+ и S~ класса С2 размерностей п+ и п~ соответственно, вдоль^{-мерной} поверхности 7 класса С2, к ^ ri*1 < т. Точный результат формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Если поверхности S+ и S~ обладают жесткостью в пространстве Ет, а поверхность склеивания 7 не содержит точек уплощения, то склеенная поверхность S = S+ U S~ обладает жесткостью в Ет.

В § 2 третьей главы выводятся условия сопряжения на поверхности склеивания многомерной склеенной поверхности, обобщающие классические условия сопряжения на двумерной склеенной поверхности, полученные И. Н. Векуа и Б. В. Боярским в работах [3, 4]. Эти условия используются для доказательства теоремы о жесткости рима-нова произведения склеенных поверхностей.

В работе [8] доказано, что если поверхности S С Emi и S2 С Ет2 принадлежат классу С3 и регулярны, то из их жесткости в пространствах Emi и Ет соответственно, следует жесткость поверхности S = Si х S2 в пространстве Emi+m2. В работе [16], гладкость снижена до класса С2. Естественно, возникает вопрос о справедливости этого результата в случае, когда поверхности Si и S2 не являются регулярными. В данном параграфе аналогичная теорема о жесткости поверхности S доказывается в случае, когда одна из поверхностей Si, S2 является склеенной из регулярных кусков.

Допустим, что поверхность 5i С Emi склеена из регулярных щ-мерных поверхностей и класса С2 вдольмерной поверхности склеивания 7! класса С2. Тогда риманово произведение S = Si х S2 представляет собою (ni +п2)-мерную поверхность в Emi+m2, склеенную из регулярных (щ + п2)-мерных поверхностей S+ = S^ х S2 и S~ — Si х S2 вдоль (kx + n2)-мерной поверхности 7 = 71 x S2.

ТЕОРЕМА 3.2.1 Если поверхности Si = U, S2 и 71 не содержат точек уплощения, поверхности Si и S2 обладают жесткостью в пространствах Emi и Ет2 соответственно, и типовые числа t (S?) ^ 2, t (Si) ^ 2, t (S2) ^ 2, то склеенная поверхность S — Si х S2 является жесткой в пространстве Ет1+т2.

В диссертации используются методы многомерной римановой геометрии, теории внешних дифференциальных форм, анализа на многообразиях, тензорного анализа, функционального анализа, теории уравнений с частными производными.

Научная новизна и практическая значимость работы определяется следующими полученными в ней результатами: введены новые операции над бивекторами в многомерном евклидовом пространстве и исследованы свойства этих операцийвведено понятие А-звездности двумерной поверхности трехмерного евклидова пространства, обобщающее известное понятие звезд-ности поверхностиполучена новая интегральная формула теории бесконечно малых изгибаний двумерных поверхностей трехмерного евклидова пространства и, с ее использованием, доказана теорема о жесткости склеенной двумерной поверхности трехмерного евклидова пространства, обобщающая ряд результатов И. Н Векуа, Б. В. Боярского, В. Т. Фоменко и П. Е. Марковавведены понятия бесконечно малого изгибания многомерной склеенной поверхности и ее жесткостидоказана теорема о жесткости многомерной поверхности, склеенной из жестких многомерных поверхностейдоказана жесткость риманова произведения двух многомерных поверхностей, одна из которых является склеенной поверхностью.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании бесконечно малых изгибаний склеенных поверхностей, при решении различных задач римановой геометрии, при разработке спецкурсов по теории изгибаний и по многомерной дифференциальной геометрии.

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998 г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000 г.), на семинаре по геометрии «в целом» Московского государственного университета (1998, 2001 г. г., рук., проф. И. X. Сабитов, проф. Е. В. Шикин), на научном семинаре кафедры геометрии Казанского госуниверситета (2001 г., рук. проф. Б. Н. Шапуков), на семинаре по геометрии Ростовского госуниверситета (1998 — 2001 г. г., рук. проф. С. Б. Климентов), на Ростовском межвузовском геометрическом семинаре (1998 -2001 г. г., рук. проф. П. Е. Марков), на семинаре по геометрии Таганрогского госпединститута (1999 г., рук. проф. В. Т. Фоменко), а также опубликованы в работах [17, 23, 36]. Работы [17, 36], выполнены совместно с П. Е. Марковым. Доля участия авторов в выполнении этих работ равнозначная. П. Е. Маркову принадлежат постановка задач и общее руководство. Детальные исследования проводились автором диссертации.

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору С. Б. Климентову за внимание и за огромную поддержку при выполнении данной работы, а также профессору П. Е. Маркову за постановку задач и активное участие.

1. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М. 1935. 332 с.

2. Боярский Б. В. О жесткости некоторых составных поверхностей // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, № 3. С. 141 146.

3. Боярский Б. В., Веку, а И. Н. Доказательство жесткости кусочно-регулярных замкнутых выпуклых поверхностей неотрицательной кривизны // Известия АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22, № 2. С. 165 176.

4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М. 1988. 510 с.

5. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М. 1936. 244 с.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т 2. М. 1981. 416 с.

7. Марков П. Е. О жесткости звездных внутренне склеенных поверхностей // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 3. С. 321 333.

8. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания некоторых многомерных поверхностей // Матем. заметки. 1980. Т. 27, № 3. С. 469 -479.

9. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей // Укр. геом. сборник. 1982. № 25. С. 87 -94.

10. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания одного класса многомерных поверхностей с краем // Матем. сборник. 1983. Т. 121, № 1. С. 48 59.

11. Марков П. Е. Об одном классе бесконечно малых изгибаний поверхностей // Изв. СКНЦ ВШ 1985. № 4. С. 22 25.

12. Марков П. Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны / / Матем. сборник. 1987. Т. 133, № 1. С. 64 85.

13. Марков П. Е. О погружении метрик, близких к погружаемым // Укр. геом. сборник. 1992. № 35. С. 49 67.

14. Марков П. Е. Общие аналитические и бесконечно малые деформации погружений 1 // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 9. С. 21 -34.

15. Марков П. Е. Общие аналитические и бесконечно малые деформации погружений 2 // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 11. С. 41 51.

16. Марков П. Е. Типовое число и жесткость расслоенных поверхностей // Матем. сборник. 2001. Т. 192, № 1. С. 67 88.

17. Марков П. Е., Трехос О. Снижение требований гладкости в некоторых теоремах о жесткости склеенных поверхностей // Тезисы докл. на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 1998. С. 52 — 53.

18. Марков П. Е., Шкрылъ Е. В. О жесткости кусочно выпуклых поверхностей типа тора // Матем. сборник. 2000. Т. 191, № 4. С. 107 141.

19. Мур Дж. Д. Изометрические погружения римановых произведений // Сб. Исследования по метрической теории поверхностей. Сер. Математика. Новое в зарубежной науке. М. Мир. 1980. С. 264 276.

20. Перепелкин Д. Я. Кривизна и нормальные пространства многообразия Vm в Rn Ц Матем. сборник. 1935. Т. 42, №№ 1 3. С. 100 -120.

21. Сабитов И. X. О жесткости некоторых поверхностей вращения // Матем. сборник.1963. Т. 60, № 4. С. 506 519.

22. Сабитов И. X. Об одном условии жесткости составных поверхностей // Матем. заметки. 1967. Т. 2, № 1. С. 105 113.

23. Трехос О. О жесткости внутренне склеенной кусочно выпуклой поверхности // Тезисы докл. на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 2000. С. 70 — 72.

24. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л. 1948. 432 с.

25. Фоменко JI. П. О жесткости склеенных поверхностей, имеющих конические точки J j Сб. научных работ «Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями». Таганрог. 1995. С. 57 62.

26. Фоменко В. Т., Марков П. Е. О жесткости зеркально выпученных поверхностей // Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 3. С. 469 479.

27. Фоменко В. Т., Марков П. Е. О жесткости одного класса внутренне склеенных поверхностей // Укр. геом. сборник. 1977. № 20. С. 141 146.

28. Яненко Н. Я. Бесконечно малые изгибания поверхностей многомерного евклидова пространства и проективно-инвариантные характеристики изгибаемых поверхностей // Успехи матем. наук. 1952. Т. 7, № (50). С. 138 139.

29. Яненко Н. Н. Некоторые вопросы вложения римановых метрик в евклидовы пространства // Успехи матем. наук. 1953. Т. 8, № 1г С. 21−100.

30. Яненко Н. Н. К теории вложения поверхностей в многомерном евклидовом пространстве // Тр. Моск. матем. об-ва. 1954. вып. 3. С. 89 180.

31. Chern S.-S., Ossermari R. Remarks on the Riemannian of a minimal, submanifolds // Lectur Notes in Math. 894. Geom Symp. 1980. C. 49 90.

32. Dajczer M. f Rodriguez L. Infinitisimal rigidity of Euclidean submanifolds // Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 1990. v. 40, № 4. C. 939 949.

33. Goldstein R., Ryan P. Rigidity and energy // Global analysis and its applications. 1974. v. 2, С 233 243.

34. Goldstein R., Ryan P. Infinitesimal rigidity theorem for of submanifolds // J. Differential Geometry. 1975. v. 10, № 1,2. С 46 -60.

35. Jacobowitz H. Implicit theorems and isometric embeddings // Annals of Math. 1972. V. 95, № 2. C. 191 225.

36. Markov P. E., Trejos О. Deformaciones isometricas infinitesimales de superficies multidimensionales ensambladas // Revista de Matematica: Teoria у Aplicaciones. 2001. V. 8, № 1. R 27 32.

37. Tenenblat K. On infinitesimal isometric deformations // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. v. 75, № 2. С 269 275.