Характеристические классы в некоммутативной дифференциальной геометрии

Характеристические классы являются важным понятием в современной математике. Впервые это понятие было определено для векторных расслоений. Для комплексных расслоений — это характеристические классы Чженя [27], для вещественных расслоений — классы Понтрягина [15] и Штифеля-Уитни [37], [40]. Во всех определениях характеристические классы принадлежат когомологиям базы расслоения. В настоящее время имеется несколько способов определять характеристические классы (см., например,[8], [9], [12], [24]). Кроме того, существуют варианты характеристических классов со значениями в некоторых экстраординарных теориях когомологий, например, в кобордизмах [18].

Характеристические классы Чженя гладких комплексных векторных расслоений могут быть построены с помощью конструкции Чженя-Вейля, которая приводит к определению характеристических классов с дифференциально-геометрической точки зрения. При этом определение характеристических классов использует не само многообразие, а алгебру гладких функций на нем, не само расслоение, а только пространство его гладких сечений. Это наблюдение позволяет перенести определение характеристических классов на случай абстрактных алгебр, не являющихся алгебрами гладких функций на каком-либо многообразии и, вообще говоря, некоммутативных. В качестве аналога расслоений в этом случае используются конечнопорожденные проективные модули над кольцом. Основанием этому служит известная теорема Серра-Суона [40], которая утверждает эквивалентность категории конечномерных векторных расслоений над многообразием М и категории конечнопорожденных проективных модулей над алгеброй функций на М. Эквивалентность осуществляется сопоставлением с расслоением пространства его сечений.

Теория характеристических классов для некоммутативных алгебр была развита в работах А. Конна, М. Каруби, B. J1. Фейгина, Б.JI.Цыгана, Ю. Й. Жураева, Ю. П. Соловьева и А. С. Мищенко (см. [6−8], [16], [19], [21], [28−33], [34], [35]).

А.Конн в начале 1980;х ввел конструкции аналогов связности, кривизны и характеристических классов Чженя для проективных модулей над С*-алгеброй, тогда же им был предложен и термин «некоммутативная геометрия». Эти характеристические классы принимают значение в когомологи-ях некоторой конечномерной алгебры Ли. Конн показал нетривиальность характеристических классов Чженя для некоторых некоммутативных С*-алгебр. Однако, характеристические классы со значениями в когомологиях алгебры Ли дифференцирований в случае алгебры функций на многообразии, построенные согласно конструкции Конна, не совпадают с обычными классами Чженя векторных расслоений.

Вслед за Конном были предложены две конструкции характеристических классов проективных модулей над ассоциативной алгеброй, вообще говоря, некоммутативной. Одна из конструкций была предложена М. Каруби, вторая — А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьевым и Ю. Й. Жураевым. В этих конструкциях связность на проективном модуле определяется аналогично двум эквивалентным определениям связности на расслоении, однако, это приводит к двум разным конструкциям. Определение Каруби приводит к понятию квазирезольвенты алгебры. Характеристические классы принадлежат когомологиям комплекса, полученного из квазирезольвенты факторизацией по некоторым элементам. Второй подход требует определения аналога алгебры Ли векторных полей на многообразии. Конструкция Мищенко, Соловьева, Жураева использует для этой цели алгебру Ли дифференцирований исходной алгебры. Характеристические классы в этом случае принадлежат когомологиям алгебры дифференцирований. Следует отметить, что эти конструкции некоммутативной геометрии аналогичны теории характеристических классов Чженя комплексных векторных расслоений и в случае алгебры функций на многообразии приводят к обычным классам Чженя векторного расслоения.

На данном этапе развития теории характеристических классов в некоммутативной геометрии важной задачей является изучение методов и разработка техники вычисления характеристических классов проективных модулей ассоциативных алгебр. С этой целью в работе рассматриваются полупростые алгебры. Следуя конструкции Мищенко, Соловьева, Жураева, исследуются их характеристические классы, и доказывается их равенство нулю. Также приводится сравнение этих результатов с результатами, полученными из конструкции Каруби.

Еще одной задачей, которая исследуется в данной работе, является применение теории характеристических классов к теории конечных групп. Для этого аналог конструкции Мищенко, Соловьева, Жураева для алгебры над полем ненулевой характеристики применяется к групповой алгебре Fp [Zp]. Показывается, что характеристические классы этой алгебры равны нулю. Дальнейшее развитие этого направления может сыграть большую роль в теории конечных групп. С помощью характеристических классов можно получить новую информацию о конечных группах, что в свою очередь очень важно для их классификации.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава, в основном, посвящена изложению конструкций характеристических классов для ассоциативных алгебр и не содержит результатов, полученных автором. Для того, чтобы подчеркнуть аналогию конструкции характеристических классов Чженя комплексных векторных расслоений и конструкций в некоммутативной геометрии, в первом параграфе приводится схема построения характеристических классов для векторных расслоений.

Пусть М — гладкое компактное многообразие, А — кольцо С°°(М", С) гладких комплекснозначных функций на М, а 0*(М, С) — комплексифи-кация алгебры внешних дифференциальных форм многообразия М. Каждому комплексному векторному расслоению? над М, снабженному некоторой связностью V (см. определение 1.1.1) сопоставляются замкнутые дифференциальные формы tiRq? Q2q (M, С), где R — кривизна связности V (см. определение 1.1.2). Оказывается (теорема 1.1.1), что класс когомоло-гий формы trRq не зависит от выбора связности на векторном расслоении.

Таким образом, корректно определен класс когомологий де Рама который с точностью до множителя совпадает с однородной компонентой степени 2q характера Чженя расслоения.

Во втором параграфе приводится конструкция характеристических классов для ассоциативной алгебры, А с 1 над полем нулевой характеристики, предложенная М.Каруби. Для построения характеристических классов в рамках теории Чженя-Вейля необходимо определить связность. Как было отмечено выше, аналогом векторного расслоения является конечнопорож-денный проективный Л-модуль, поэтому по аналогии с определением 1.1.1 дается определение 1.2.2 связности V на конечнопорожденном проективном правом А-модуле Е. Показывается, что на любом конечнопорожденном проективном модуле существует связность, и, вообще говоря, не единственная. Определение связности приводит к понятию квазирезольвенты (дифференциального исчисления) алгебры — аналога комплекса де Рама (см. определение 1.2.1). Вообще говоря, квазирезольвента Q*(A) алгебры, А определена неединственным образом, важным примером квазирезольвенты является универсальная дифференциальная квазирезольвента Q,^niv (A) (см. пример 1.2.2). Далее для связности V на модуле Е определяется кривизна Л (определение 1.2.3). Кривизна является эндоморфизмом правого проективного 0*(А)-модуля Е <8>л и Для степеней эндоморфизма R можно определить следы trRq. Основными результатами параграфа являются теоремы 1.2.1 и 1.2.2, в которых утверждается, что t? Rq являются коциклами в комплексе, полученном из квазирезольвенты факторизацией по некоторым элементам, а их классы когомологий не зависят от выбора связности на проективном модуле.

Таким образом, корректно определены характеристические классы ко-нечнопорожденного проективного правого Л-модуля Е. Они определяются следующим образом: смя) = ^М'].

У •.

Из теорем 1.2.1 и 1.2.2 следует, что характеристические классы принимают значение в когомологиях факторизованной квазирезольвенты и не зависят от выбора связности. Оказывается (предложение 1.2.7), что если для универсальной дифференциальной квазирезольвенты алгебры, А характеристический класс Chq (E) конечнопорожденного проективного правого А-модуля Е равен нулю, то для любой другой дифференциальной квазирезольвенты алгебры, А С{Е) также равен нулю. Этот факт является важным для вычисления характеристических классов и поиска примеров с ненулевыми характеристическими классами (см. Главу 2, § 1).

В третьем параграфе описывается конструкция построения характеристических классов, которая была предложена А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьевым и Ю. Й. Жураевым. Рассматривается алгебра, А с 1 над полем нулевой характеристики. На конечнопорожденном проективном А-модуле Е вводится понятие связности (определение 1.3.1). В отличие от определения связности Каруби, это определение является аналогом не определения 1.1.1, а эквивалентного ему определения связности векторного расслоения. В качестве аналога алгебры Ли векторных полей на многообразии берется алгебра Ли дифференцирований алгебры А. Доказывается (предложение 1.3.2), что на любом конечнопорожденном проективном модуле можно ввести связность, и, вообще говоря, неединственным образом. Для связности определяется форма кривизны (определение 1.3.2) и приводятся некоторые ее свойства.

Далее строится аналог комплекса де Рама. Пусть Z — подалгебра, лежащая в центре алгебры, А D — некоторая подалгебра Ли алгебры Ли дифференцирований алгебры, А V — некоторый Z-модуль и .D-модульт: А V — отображение следа. Строится коцепной комплекс Q,*(D, V), с помощью которого определяются когомологии #?(?>, V) алгебры Ли D с коэффициентами в модуле V. В случае V — А изучается комплекс Q*(Z), А). Рассматриваются свойства индуцированного отображения тк: ГГ (Д А) х. х Q*(D, А) -> ?T{D, V).. к.

Далее показано, как отображение следа т: А V продолжается на кольцо Еп<1а.(Е). Наконец, определяются дифференциальные формы ак (У, Е) = т (в Л.&bdquoАв). к.

Эти формы являются коциклами в комплексе Q*(D, V) (теорема 1.3.1), и классы когомологий Chk{E), определяемые формами <7&(V, Е), не зависят от выбора связности на проективном модуле (следствие теоремы 1.3.2). Классы Chk (E) называются характеристическими классами модуля Е.

В заключение параграфа рассматривается алгебра, А = С°°(М, С) ком-плекснозначных гладких функций на гладком компактном многообразии М. Если? — гладкое векторное расслоение над М, то пространство гладких сечений Е расслоения? является конечнопорожденным проективным А-модулем (предложение 1.3.12). В качестве алгебры Ли D берется алгебра Ли гладких векторных полей на М) Z = С°°(М, R), V = А, т = id. Согласно конструкции Мищенко-Соловьева-Жураева каждому векторному расслоению? сопоставляются характеристические классы Chk (E) Е #§ fc (D, A). Поскольку группа Hlk (D, A) совпадает с группой Ят (М, С) (см. теорему 1.3.3), каждый характеристический класс Cht (E) выражается через классы Чженя.

Вторая глава посвящена изучению характеристических классов для конкретных алгебр. В первом параграфе приводятся результаты И. М. Никонова, в нем рассматривается алгебра Fn (F — поле) и к ней применяется конструкция Каруби. Вначале даются определения дифференциальной квазирезольвенты и универсальной дифференциальной квазирезольвенты (определения 2.1.1 и 2.1.2), эквивалентные соответствующим определениям Каруби. Это позволяет дать геометрическую интерпретацию квазирезольвент, а именно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством дифференциальных квазирезольвент на алгебре, А и множеством ориентированных графов с п вершинами без петель и кратных ребер.

В алгебре Fn выбирается канонический базис {e-}, i = 1 ,., n. Все неприводимые А-модули одномерны и проективны, любой неприводимый Амодуль Е имеет вид Е = span{ej для некоторого г. Графически получается формула грассмановой связности и формула кривизны. Также дается графическая интерпретация комплекса, полученного факторизацией квазирезольвенты.

Основным результатом параграфа является теорема 2.1.1, в которой приводится условие, достаточное для того, чтобы все характеристические классы Chq (E) были отличны от нуля. В заключение параграфа приводится пример групповой алгебры, А = C[Z3] с ненулевым характеристическим классом Chi (.??).

Во втором параграфе рассматриваются конечномерные комплексные полупростые алгебры и к ним применяется конструкция Мищенко-Соловьева-Жураева. Вначале приводятся некоторые определения и утверждения из теории полупростых алгебр. Самым важным из них является теорема 2.2.2.

Веддерберна-Артина)о том, что любая полупростая алгебра изоморфна прямому произведению матричных алгебр над телами, и, наоборот, прямое произведение матричных алгебр над телами — полупростая алгебра. Из этой теоремы следует, что любая конечномерная полупростая комплексная алгебра изоморфна прямому произведению.

МП1(С)х.хМЯв©.

Поэтому для начала рассматривается алгебра, А = Мп{С). Выбирается некоторый специальный базис алгебры А. Затем описывается базис алгебры Ли дифференцирований алгебры А: он образован присоединенным действием образующих sl (n, С). По нему определяется дуальный базис 1-форм. Так как центр алгебры, А состоит из скалярных матриц, то Z ~ С.

В конструкции имеет место произвол в выборе пространства следов V и, соответственно, отображения следа. В нашем случае однозначно определяется, что V = С, а отображение следа выбираем т (а) = Hr а.

Показано, что единственным с точностью до изоморфизма неприводимым конечнопорожденным проективным правым А-модулем является модуль Е = Сп. В явном виде вычисляется грассманова связность на модуле Е и форма кривизны грассмановой связности. Затем выписывается форма oi (V0, Е) и показывается, что она является кограницей, следовательно, характеристический класс Ch (E) равен нулю. Далее доказывается, что все характеристические классы Chk (E) также являются нулевыми.

Теперь переходим к алгебре.

Л ~ МП1© х. х МПг©.

Используя базис алгебры Мп©, выбираем базис алгебры А. Из леммы 2.2.8 получаем, что.

Der{A) = Der (Mni (C)) х. х Вег (МПг{С)).

Далее базис алгебры Ли дифференцирований, дуальный базис 1-форм, пространство следов, отображение следа и неприводимый конечнопорожден-ный проективный правый А-модуль определяются естественным образом, исходя из описанного выше для случая алгебры Мп ©. В результате доказывается основная теорема этого параграфа (теорема 2.2.1) о том, что характеристические классы конечнопорожденных проективных модулей над конечномерными комплексными полупростыми алгебрами равны нулю. В заключение этого параграфа этот результат сопоставляется с результатом первого параграфа данной главы.

Третья глава диссертации посвящена исследованию алгебр над полем ненулевой характеристики. Описанные выше конструкции характеристических классов были построены для алгебр над полем характеристики 0.

В этой главе строится аналог конструкции Мищенко-Соловьева-Жураева для групповой алгебры Fp [Zp] над полем характеристики р (р — простое число).

Первый параграф третьей главы начинается с объяснения того факта, что конструкции Мищенко-Соловьева-Жураева неприменима к алгебрам над полем ненулевой характеристики. Далее рассматривается групповая алгебра, А = Fp[Zp], и описываются дифференцирования этой алгебры (теорема 3.1.1).

Во втором параграфе обосновывается выбор конечнопорожденного проективного А-модуля. В связи с этим доказывается основная теорема этого параграфа (теорема 3.2.1) о том, что каждый проективный модуль над групповой алгеброй F[G], где F — поле характеристики р (р — простое число), a G — р-группа, является свободным модулем. Таким образом, в данном случае выбор конечнопорожденного проективного правого Л-модуля однозначен — это модуль Fp [Z^], т. е.

Е = {еаa eFp[Zp]}, где е — образующая модуля Е.

В третьем параграфе описываются остальные объекты, необходимые для конструкции, в том числе однозначно определяются отображение следа и пространство следов. На проективном А-шодуле Е определяется связность V. В данном случае характеристические классы модуля Е зависят от выбора связности на модуле, поэтому мы обозначаем их через Chk (E, V).

Далее показывается, что H^(D, A) = 0, а т.к. Chk (E, V) лежат в Hjf (D, А), то для всех к > 1 Chk (E, V) = 0. Таким образом, доказан главный результат третьей главы, который заключается в том, что характеристические классы конечнопорожденных проективных правых модулей над алгеброй Fp [Zp] равны нулю.

Автор приносит огромную благодарность своему научному руководителю профессору Ю. П. Соловьеву за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также выражает признательность всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений во главе с академиком А. Т. Фоменко за теплую и рабочую атмосферу, которая сложилась на кафедре.

1. Атья М. Лекции по Я" -теории. М.: Мир, 1967.

2. Браун К. С. Когомологии групп. М.: Наука, 1987, 384 с.

3. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. Киев, КГУ. 1980. 155 с.

4. Жураев Ю. Й. Характеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами. Диссертация на соискание ученой степени канд. физмат. наук. Мехмат МГУ. 1988. 87 с.

5. Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьев Ю. П. О характеристических классах в алгебраической К-те ории. Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: Штиинца, 1985, с. 91−92.

6. Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьев Ю. П. О характеристических классах в алгебраической К-теории. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. 1986. N 1. С. 75−76.

7. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.:ИЛ, 1960, 512 с.

8. Каруби М. Ктеория.

Введение

М.: Мир, 1981, 360 с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, тт. 1, 2. М.: Наука, 1981, 344 е., 416 с.

10. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969, 668 с.

11. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.

12. Мищенко А. С. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984, 208 с.

13. Никонов И. М. Пример нетривиального характеристического класса групповой алгебры CZs]. // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, Математика, механика, 2002, N 4, с. 59−61.

14. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир. 1986.

15. Понтрягин Л. С. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий, Матем. сборник, 1947, 21, с. 233−284.

16. Попеленский Ф. Ю., Соловьев Ю. П. О конструкциях характеристических классов в некоммутативной геометрии. В печати.

17. Свитцер P.M. Алгебраическая топология гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985, 608 с.

18. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1973.

19. Фейгин Б. Л., Цыган Б. Л. Аддитивная /Г-теория и кристальные кого-мологии Функц. анализ и его приложения, 1985, т. 19, N 2, с. 52−62.

20. Фейт ХТеория представлений конечных групп. М.:Наука, 1990, 464 с.

21. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука. 1989, 496 с.

22. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984, 272 с.

23. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964, 534 с.

24. Хъюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970, 444 с.

25. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11. М.: ВИНИТИ. 1986, 288 с.

26. Bott R., Chern S.S. Hermitian vector bundles and the equidistibutions of the zeroes of their holomorphic sections. Acta Math., 1965, v. 114, p. 71−112.

27. Chern S.S. On the multiplication in the characteristic ring of sphere bundle. Ann. Math., 1948, v.49, p. 362−372.

28. Connes A. C*-algebres et geometrie differentielle. C. r. Acad, sci., ser. A, 1980, t. 290, p. 599−604.

29. Connes A. Noncommutative differential geometry. Part 2. IHES, 1983, M / 83 / 19, p. 1 — 72.

30. Connes A. Noncommutative differential geometry. Publ. IHES, Paris, 1985, N. 62, p. 41−144.

31. Feigin B.L., Tsygan B.L. Additive K-theory. Lect. Notes in Math., N 1289, p. 67−209.

32. Karoubi M. Connexions, curbures et classes caracteristiques en X-theorie algebrique. Canad. Math. Soc. Confer. Proc. 1982, v.2, part 1, p.19−27.

33. Karoubi M. Homologie cyclique et iiT-theorie. Asterisque, Paris, 1983, n. 149.

34. Karoubi M. Homologie cyclique et if-theorie algebrique. 1. C.R. Acad. Sci. Paris. 1983, T. 297, Ser. 1, p. 447−450.

35. Karoubi M. Homologie cyclique et if-theorie algebrique. 2. C.R. Acad. Sci. Paris. 1983, T. 297, Ser. 1, p. 513−516.

36. Kerner R. Gauge theories based on a non-commutative geometry., Univ. Pierre et M. Curie, Paris, 28 p.

37. Stiefel E. Richtungsfelder und Fernparallelismus in Mannigfaltigkeiten. Comm. Math. Helv., 1936, v. 8, p. 3−51.

38. Swan R. Vector bundles and projective modules. Trans. AMS, 1962, n. 105, p. 264−277.

39. Thomas C.B. Characteristic classes and the cogomology of finite groups. Cambridge Univ. Pr., 1986, 129 p.

40. Whitney H. Sphere spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1935, n. 21, p. 462−468.

41. Woronowicz S.L. Differential calculus on compact matrix pseudogroups (quantum groups). // Communs. Math. Phys., 1989, 122, p. 125−170.

42. Белокурова E.B. Конструкция Чженя-Вейля для комплексных алгебр Клиффорда.//Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, Математика, механика, 2000, N 5, с. 22−27.

43. Белокурова Е. В. Характеристические классы проективных модулей над комплексными полупростыми алгебрами. // УМН, 2000, т.54, вып.4, с. 153−154.