Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий

Известно, что с каждой эрмитовой формой над комплексным векторным пространством можно связать число, которое равняется разности размерностей положительного и отрицательного подпространств формы в каком-то разложении исходного пространства. Это число называется сигнатурой формы и не зависит от способа приведения формы к диагональному виду.

В топологии квадратичные формы естественно возникают при изучении групп когомологий многообразия. Взяв два элемента когомоло-гий средней размерности ориентированного, замкнутого многообразия, мы можем рассмотреть их произведение и проинтегрировать его по фундаментальному циклу. В случае, если размерность многообразия делится на 4, полученная квадратичная форма будет обладать свойством эрмитовой симметрии, и для нее возможно определить сигнатуру.

Такая сигнатура естественно ведет себя по отношению несвязной суммы многообразий (сигнатура суммы равна сумме сигнатур) и по отношению к декартовому произведению (сигнатура произведения равна произведению сигнатур). Кроме того, сигнатура является инвариантом ориентированных бордизмов, то есть сигнатура многообразия, являющегося краем, равна нулю. Подобного рода свойства делают сигнатуру незаменимой при изучении многообразий и для их классификации.

Формула Хирцебруха [3] дает способ для вычисления сигнатуры многообразия А" в терминах L— рода Хирцебруха: sign (X) =< L (A"), [Ar] > .

Фундаментальным по важности является результат Тома, использующий формулу Хирцебруха. Результат гласит, что рациональные классы Понтрягина и L— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных подмногообразий (то есть 4п-мерных подмногообразий с тривиальным ненормальным расслоением). Такого рода взаимосвязь позволила С. П. Новикову [9] решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, сведя задачу к анализу сигнатур специальных подмногообразий. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Предполагается, что для любого класса, а когомологий классифицирующего пространства В&bdquoфундаментальной группы ж выражение.

Ь (Х)ф*а,[Х]> является гомотопическим инвариантом, здесь ф: X —> Вп является классифицирующим отображением многообразия.

Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор. Вернемся к ней позже, а сейчас о возможных обобщениях сигнатурных инвариантов многообразий.

Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы. Если мы возьмем в качестве кольца коэффициентов комплексные числа и рассмотрим какое-то представление фундаментальной группы в комплексных числах, то по-прежнему на когомологиях средней размерности будет существовать невырожденная эрмитова форма. Однако, мы не получим никакой дополнительной информации о многообразии, так как сигнатура полученной формы будет совпадать с сигнатурой исходного многообразия.

Для получения новых инвариантов необходимо использовать системы коэффициентов, порожденные представлением фундаментальной группы многообразия в каком-то инволютивном кольце с единицей. В качестве инварианта должен служить свободный (или всего лишь проективный) модуль с заданной на нем эрмитовой формой (или, иначе, биективное линейное отображение из исходного модуля в модуль антилинейных функционалов на нем). Разумно рассматривать такие модули с точностью до прибавления гиперболического прямого слагаемого, то есть как элементы эрмитовой К— теории.

На пути построения сигнатурного инварианта в эрмитовой К— теории встает существенное препятствие: группы когомологий для произвольного кольца коэффициентов и произвольного представления фундаментальной группы не обязаны быть проективными модулями. Эта сложность была преодолена А. С. Мищенко в серии работ [4],[5]. А. С. Мищенко рассматривал комбинаторное многообразие. Группы симпли-циальных цепей и коцепей многообразия свободны и конечнопорожде-ны, двойственность Пуанкаре, которая реализуется оператором пересечения коцепей с фундаментальным циклом многообразия, действует из градуированного модуля симплициальных коцепей в симплициаль-ные цепи, индуцируя изоморфизм в гомологиях. Полученный комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре, его квадраты коммутируют с точностью до знака, а при надлежащем выборе фундаментального цикла комплекс является самосопряженным. С помощью алгебраической хирургии — последовательных перестроек комплекса, Мищенко удалось получить комплекс длины единица, то есть модуль с заданной на нем невырожденной эрмитовой формой.

Построенный Мищенко инвариант оказался полезным в изучении высших сигнатур. Мищенко определил [6],[7] сигнатуру sign (X) многообразия X для фредгольмова, не обязательно конечномерного представления р фундаментальной группы ж многообразия. Им была доказана обобщенная формула Хирцебруха sign{X) =< L{X)6*ch[X] >, р где — некоторое расслоение над классифицирующим пространством. Эта формула описывает все гомотопически инвариантые высшие сигнатуры. Мищенко удалось для некоторых групп реализовать все классы когомологий классифицирующего пространства как ch? p. Таким образом Мищенко доказал таким образом гипотезу Новикова в важных частных случаях. Фредгольмовы операторы, используемые Мищенко, представляет собой хороший пример «бесконечномерного» объекта с «конечномерным» инвариантом — индексом, принадлежащим К— теории.

В настоящей работе рассмотрен другой пример бесконечномерной ситуации, в которой определена корректная конечномерная сигнатура [8],[10].

Обычным является рассмотрение модулей над алгеброй, которые являются аналогом гильбертова пространства над комплексными числами. То есть модулей с внутренним А— значным скалярным произведением, удовлетворяющим обычным условиям линейности, эрмитовой симметрии и неотрицательной определенности. Однако же, исследуемые в данной работе модули не несут никакой гильбертовой структуры. Рассмотрим прямой предел h последовательности конечномерных свободных А— модулей растущей размерности и отображений, которые порождаются отображением базиса в базис.

Иными словами, h — это свободный модуль над алгеброй со счетным числом образующих. Снабдим этот модуль топологией прямого предела и рассмотрим модуль Я линейных непрерывных функционалов на нем. Модуль Я несет естественную структуру обратного предела свободных модулей и естественную топологию обратного предела. Доказано, что модули h и Я являются взаимно дуальными.

Сигнатура определяется для самосопряженного непрерывного линейного биективного отображения, а: Я е j (Я е зУ = h е J, где модуль Я изоморфен J, a h изоморфен j. Однако, изоморфизм не фиксирован, и для обозначения изоморфных модулей выбраны разные символы.

Для отображения, а оказывается возможно корректно определить сигнатуру как элемент эрмитовой К— теории. Ключевым соображением, которое позволяет определить такую сигнатуру, является тот факт, что любое непрерывное линейное отображение из модуля Я в модуль h является отображением в конечномерную часть. Это соображение позволяет построить такое разложение пространства Н ® j в прямую сумму, что матрица оператора, а имеет почти гиперболический вид.

0 0/3' О а' *, Р* * * где оператор а' действует из конечнопорожденного проективного модуля в дуальный. Определим сигнатуру исходного оператора как сигнатуру а'. Доказано, что произвол в конструкции не влияет на класс элемента в эрмитовой К— теории.

Если многообразие триангулировано, то конструкция Мищенко позволяет построить сигнатуру многообразия. Однако, для топологического многообразия возможность триангуляции неизвестна. Все известные конструкции: гомологии Чеха, сингулярные гомологии, точечные гомологии Александера-Спеньера, применимые в топологическом случае, приводят к появлению бесконечнопорожденных групп цепей и коцепей. Здесь для прямого определения сигнатуры топологического многообразия в терминах исходных групп цепей и коцепей мы вынуждены работать с бесконечномерными модулями. Результат существования сигнатурного инварианта в бесконечномерном случае дает надежду на возможность построения сигнатуры топологического многообразия с системой коэффициентов, порожденной представлением фундаментальной группы.

Как известно, группы гомологий ориентированного, замкнутого топологического многообразия с тривиальной системой коэффициентов в комплексных числах являются конечнопорожденными (см. [1]). В топологическом случае, как и в триангулируемом, возможно рассмотреть билинейную форму на когомологиях средней размерности и определить целое число, ее сигнатуру.

Однако, для нетривиальной системы коэффициентов в топологическом случае существование сигнатуры было неизвестным по уже указанной причине — группы гомологий и когомологий не являются, вообще говоря, проективными модулями. Определение сигнатуры в этом случае весьма желательно, так как оно позволяет написать обощенную формулу Хирцебруха в топологическом случае.

В работе такая сигнатура построена. Для ее построения пришлось, во-первых, модифицировать конструкции Спеньера [] для сингулярных гомологий. Рассматривается комплекс сингулярных цепей и коцепей с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре.

Доказано, что двойственность Пуанкаре, реализованная оператором пересечения со специально выбранным представителем фундаментального класса, индуцирует изоморфизм когомологий и гомологий. Кроме того, сингулярный алгебраический комплекс Пуанкаре обладает обычными свойствами самосопряженности и (анти)коммутативности квадратов.

Полученный комплекс бесконечен вправо и влево, группы сингулярных цепей свободны, но имеют континуальную размерность. Размерность дуальных групп коцепей превосходит континуум. Однако известно, что образ гомоморфизма двойственности Пуанкаре является конечномерным. Это позволяет, используя хирургию, аналогичную хирургии Митденко в конечномерном случае, редуцировать комплекс до комплекса с единственным нетривиальным отображением двойственности. Для такого комплекса определяется сигнатура как элемент эрмитовой К— теории групповой С*— алгебры.

Работа состоит из трех частей. В первой, вводной главе, дан обзор С*— алгебр, гильбертовых модулей над ними, эрмитовой К— теории (теории квадратичных форм) и обычной К— теории (теории проективных модулей). Кратко описана связь этих двух теорий.

Во второй части определяется сигнатура абстрактных самосопряженных отображений в специальной бесконечномерной категории, которая была кратко описана выше.

В третьей, заключительной части, определяются сингулярные цепи и коцепи с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре. Исследуются свойства гомоморфизма двойственности Пуанкаре, определяются сингулярные алгебраические комплексы Пуанкаре. Для таких комплексов построена сигнатура.

Автор выражает благодарность проф. А. С. Мищенко за постановку задачи и ценные обсуждения и проф. Е. В. Троицкому.

1. Edwin Н. Spanier, Algebraic Topology New York, (1966).

2. M. Gromov, Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures, Functional Anal, on the Eve of the 21st Century, v. II. Progress in Math., Basel-Boston: Birkhauser, Vol. 132, (1995).

3. F. Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry Springer-Verlag, Berlin (1966).

4. A.C. Мищенко, Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий 1. Рациональные инварианты Известия АН СССР, Сер. матем т. 34, N. 3 1970, с. 501−514.

5. А. С. Мищенко, Перестройки комплексов Пуанкаре Матем. сб. т. 85, N. 3 1971, сс. 366−372.

6. А. С. Мищенко, Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры Изв. АН СССР, сер. матем. т. 38, N. 1 1974.

7. А. С. Мищенко, Формула Хирцебруха: 45 лет истории и современное состояние Алгебра и анализ т. 12, N. 4 (2000), сс. 16−35.

8. A.S. Mishchenko, P. S. Popov, On Construction of Signature of Quadratic Forms on Infinite-Dimensional Abstract Spaces Georgian Math. J 9 Vol. 9, No. 4 (2002), pp. 775−785.

9. С. П. Новиков, Гомотопическая инвариантность рациональных классов Понтрягина, Докл. Акад. Наук СССР т. 163, N. 2 (1965), сс. 298−300.

10. П. С. Попов, Сигнатура бесконечномерных отображений, Труды 25 конференции молодых ученых МГУ (2003), сс 52−54.

11. П. С. Попов, Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий, Тезисы международной конференции «Топология, анализ и приложения в математической физике», посвященной памяти профессора Ю. П. Соловьева. (2005), сс 15−16.