Исследование геометрических свойств погружений многообразий

Актуальность темы

Классическая теория поверхностей содержит в себе многие геометрические идеи, получившие в дальнейшем глубокое развитие. Одна из них — идея о внутренней геометрии поверхности при многомерном обобщении привела к чрезвычайно стройной и глубокой теории римановой геометрии" Другим направлением обобщения теории поверхностей может рассматриваться, на наш взгляд, геометрия погруженных многообразий, касающаяся в основном свойств поведения погруженных многообразий в пространстве.

В последние годы интерес к геометрии погруженных многообразий значительно вырос. На эту тему появилось много работ, причем в них, наряду с локальными вопросами, начали исследоваться вопросы геометрии в целом, которые раньше ставились лишь для поверхностей в трехмерном пространстве.

Развитие геометрии погруженных многообразий стимулируется и тем важным обстоятельством, что некоторые задачи теоретической физики и механики формулируются на языке погруженных многообразий и для их решения используются многомерные пространства и многомерные погруженные многообразия.

Ранее были получены интересные результаты в теории погруженных многообразий в работах Жанэ, Э. Картана, Бурстина, Аллендорфера и других. Однако долгое время эта теория оставалась в тени. Интенсивное развитие геометрии происходило в области римановой геометрии и в теории двумерных поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве. Это развитие индуцировалось прикладными вопросами, сопровождалось построением многочисленных примеров поверхностей, выделением классов поверхностей и пространств. В геометрической теории погруженных многообразий интересные примеры, которые бы использовали специфику коразмерности большей единицы в общем, немногочисленны. Между тем построение примеров весьма важно для развития геометрических представлений. Многомерные геометрические конструкции, возникающие при погружении многообразий, являются полезным аппаратом в некоторых вопросах механики и теоретической физики.

Один из способов построения примеров дает теория! изометрических погружений. Этой важной и трудной теории было уделено много внимания. Еще в 1916 г. Г. Вейлем была поставлена и принципиально решена задача о реализации метрики положительной кривизны, заданной на двумерной сфере, в виде метрики на поверхности трехмерного эвклидова пространства. Для аналитических метрик полное решение этой проблемы было дано Г. Леви. Принципиально новое решение проблемы Г. Вейля для общих метрик было дано А. Д. Александровым, С1].

A.B. Погорелов рассмотрел проблему изометрического погружения двумерной метрики в трехмерное риманово пространство. Он доказал, что для данного риманова пространства R с регулярной метрикой.

LT* существует постоянная, зависящая только от кривизны пространства, такая что всякое двумерное замкнутое риманово многообразие М с регулярной метрикой и кривизной большей Кд допускает изометрическое погружение в R в виде регулярной замкнутой поверхности, СZ1 .

Важные результаты по теории изометрических погружений были в [3] получены и для поверхностей отрицательной кривизны. Н. В. Ефимовым было доказано, что не существует регулярное изометрическое погруг-3 жение в t полного многообразия с двумерной метрикой, кривизна которого меньше некоторой отрицательной постоянной. Это утверждение является обобщением теоремы Д. Гильберта о поверхностях отрицательной кривизны. С другой стороны Э. Г. Лозняком была доказана возможность изометрического погружения в трехмерное эвклидово.

Г2-* пространство любого геодезического круга с регулярной класса и метрикой строго отрицательной кривизны. Доказана также возможность реализации любого геодезического круга без сопряженных точек для аналитических метрик, вообще говоря, переменной кривизны, [Л-51.

Рассматривались также вопросы реализации римановых метрик в других римановых пространствах. Общая теорема о возможности изометрического погружения риманова многообразия произвольной размерности К1 в эвклидово пространство достаточно большой размерности А/(П) была доказана Дж. Нэшем^ С 61 .

Для двумерной метрики, заданной на плоскости, Э. Г. Позняк доказал возможность изометрического погружения любой ее компактной части в виде поверхности в 4-мерном эвклидовом пространстве. Однако еще остаются многие трудные вопросы, которые требуют развития геометрических представлений о свойствах погруженных многообразий .

Цель диссертации — Построение теории изометрических погружений областей П, -мерного пространства Лобачевского в (¿-К-4)-мерное эвклидово пространство и установление связи этой теории о задачами механики и теоретической физики.

Исследование явления неустойчивости минимальных погружений замкнутых поверхностей в римановом пространстве положительной кривизны.

Получение общих оценок внешнего диаметра погруженных многообразий.

Развитие новых геометрических представлений, связанных с грас-смановым образом многообразия погруженного в эвклидово пространство.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность" Все основные, полученные в диссертации результаты, являются новыми.

В диссертации получена основная система уравнений погружения VIмерного пространства Лобачевского в)-мерное эвклидово пространство, являющаяся естественным обобщением уравнения «синус Гордона», и установлены классы решений этой системы, найдены связи этой системы с системой уравнений Кирхгофа, известной в теории движения твердого тела в поле тяготения, получены принципиально новые теоремы о грасемановом образе. Многомерное и естественное обобщение уравнения нсинус Гордона" может быть полезно при построении моделей нелинейных физических полей высокой размерности. Некоторые полученные теоремы могут оказаться полезными при построении качественной теории движения твердого тела с закрепленной точкой. Доказан ряд общих и сильных теорем, являющихся принципиально новыми о неустойчивости минимальных погружений сферы в риманово пространство. Тем самым дано решение для двумерной сферы проблемы о неустойчивости, поставленной Саймонсом и Лавсоном, для минимальных потоков в полном односвязном пространстве с 5-защемленной кривизной, см. ?]. Найдены оценки снизу для важной геометрической характеристики произвольного погруженного многообразия — его внешнего диаметра и доказан ряд теорем о неограниченности многообразия в пространстве, связанных с проблемой С. С. Черна, см. С 81. Поставлена общая задача о восстановлении погруженного многообразия по его грассманову образу. Дано локальное решение этой задачи для двумерной поверхности в четырехмерном эвклидовом пространстве.

Полученные в диссертации результаты представляют теоретический интерес и могут быть полезны в дальнейших исследованиях по геометрии в пцелом", в теоретической физике и механике. Отдельные параграфы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов.

Апробация. Изложенные в диссертации результаты докладывались на харьковском общегородском семинаре по геометрии в ХГУ под руководством академика А"В. Погорелова, на семинаре по геометрии в ицелом" в МГУ под руководством члена-корр. АН СССР профессора Н. В. Ефимова и профессора Э. Г. Позняка, на семинаре по геометрии в МГУ под руководством профессора П. К. Рашевского, на семинаре по геометрии в ЛГУ под руководством профессора В. А. Залгаллера и доктора физ.-мат. наук Ю. Д. Бураго, на семинаре по геометрии в ЛГПИ им. А. И. Герцена под руководством профессора А. Л. Вернера, на семинаре по геометрии в Таганрогском педагогическом институте под руководством профессора В. Т. Фоменко, а также на общесоюзных и республиканских конференциях по геометрии в Вильнюсе в 1975 г., в Казани в 1976 г., в Симферополе в 1980 г., на советско-венгерском симпозиуме по дифференциальным уравнениям, геометрии и топологии в Новосибирске в 1981 г. и на симпозиуме по геометрии в целом и основаниям теории относительности в Новосибирске в 1982 г. По полученным автором результатам в 1979 г. им был прочитан цикл лекций в семестре по дифференциальной геометрии в международном математическом центре им. С. Банаха в Варшаве.

Публикации. Изложенные в диссертации результаты были получены в 10 работах автора. Часть полученных автором результатов вошла в монографическую литературу, в обзоры советских и зарубежных ученых, послужила отправным пунктом для дальнейших исследований в целом ряде работ других авторов.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Вопросу изометрического погружения VIмерного пространства Лобачевского I. в (?л-1)-мерное эвклидово пространство посвящена первая глава диссертации. Число есть наименьшая из размерностей эвклидова пространства, в которое возможно локаль.

I п ное погружение L — теорема Э. Картана. Заметим, что размерности ¿-К и ¿-я.-4 примечательны с точки зрения геометрии и с точки зрения топологии. Так, Уитни доказал, что любое лмерное r-Zn-i дифференцируемое многообразие можно гладко погрузить в С и fin.

Пример погружения области L в t в виде многомерного аналога псевдосферы был дан еще в 1866 г. Шуром. Однако теория изометрического погружения XIмерного пространства Лобачевско.

I п. r^Zn-l Pun го L в С не была построена. В работе Дж. Мура L У J до.

I п казана возможность введения координат на погруженной области L r-Zn-t в С с помощью асимптотических направлений. В этой же работе приведено доказательство Э. Картана существования в каждой точг-ке погруженной области П главных направлений. В нашей работе С 821 сформулирована и в.

US41 доказана нами следующая общая риг.

Лемма. Пусть я — подмногообразие отрицательной кривизны.

Ел/. «• Пусть в каждой точке существуют.

W главных направлений. Тогда они голономны.

Это означает, что для каждого главного направления в Я существует гиперповерхность в каждой своей точке ортогональная к этому главному направлению. Эти гиперповерхности можно взять в качестве координатных. Нами доказывается следующая.

Теорема 1.1. Пусть область пространства Лобачевского L изометрически погружена в С. Тогда в этой области можно ввести локальные координаты i/Ц, — такие, что координатные линии касаются главных направлений, а линейный элемент записывается в виде.

С помощью теоремы мы доказываем, что вопрос о погружении об.

I * г-2''1″ '1' ластей в С: сводится к рассмотрению следующей системы уравнений — многомерного аналога уравнения ««синус Гордона» :

ПО>, Я кjj I = О.

К41.

2 к^с = 1 где Я?/Ке — тензор Римана метрики (I). Система обладает многими интересными свойствами. В развернутом виде мы запишем ее ниже. Для удобства записи будем обозначать = .

Справедливо утверждение, обратное к теореме I: Если в области пространства Лобачевского введена Я — ортогональная система координат, в которой линейный элемент имеет вид (I), то существует г-Ип-1 погружение этой области в С, при котором координатные линии являются линиями кривизны.

Системы ортогональных координат в эвклидовом пространстве с линейным элементом удовлетворяющим условию, рассматривались первоначально Гишаром, затем Дарбу и Бианки, С 10−111 .

Можно указать способ построения произвольного локального ана.

I и с*'*-! литического погружения (в и. Для этого достаточно п указать способ построения в и системы ортогональных координат, коэффициенты линейного элемента которых Н^ удовлетворяют условию 21 — 1 .В свою очередь для этого необходимо и достаточно найти функции H? и, К «удовлетворяющие следующей вполне интегрируемой системе, которая является развернутой записью системы (2) (если условие 21 Н* = 1 заменить условием равенства нулю производных от этого выражения) где индексы С, j и К различные и принимают значения от i до п. Эта система специального вида — типа Бурлета (см. С «И]).

В некоторой окрестности точки Р существует и при этом только одно аналитическое решение, имеющее для Не заданные начальные значения Н^(Р) и для J$iK заданные аналитические функции одного аргумента ftin Ык) при с < К и jiCK^i) при? >/с, когда остальные аргументы фиксированы. Таким образом произвольно задаются n (n—i) аналитических функций одного аргумента и /I постоянных. Изменяя начальные функции J6uk и постоянные H неv ^ прерывным образом получим непрерывные изгибания области L в г-ап-1 с .

Далее к исследованию погружений мы привлекаем важный с нашей точки зрения геометрический объект, связанный с подмногообразием эвклидова пространства — его грассманов образ. В топологических исследованиях этот объект широко использовался. Например, в работах Л. С. Понтрягина с его помощью были введены характеристические классы. Однако исследование геометрических свойств грассманова образа по-существу не проводилось. На эту тему можно указать лишь несколько работ.

В известных работах Н. В. Ефимова по теории изометрических погружений, связанных с указанной выше теоремой о поверхностях отрицательной кривизны, важное место занимают исследования сферического образа двумерной поверхности в Е .

Являясь аналогом сферического образа поверхности в Е, грас-сманов образ несет в себе богатую информацию о поведении подмногообразия. Поэтому мы предприняли детальное исследование его геометрических свойств. Грассманов образ регулярно погруженной области I вс является регулярным К1 -мерным подмногообразием в грассмановом многообразии Си-. Обозначим через РП. Если снабдить многообразие О стандартной его.

1Ир1−1″)' .где Р¹″ -1 метрикой (л/>д *£.—ир), где г — плюккеровы координаты ()-мерной плоскости в С, с которой Ст пп является однородным пространством, то индуцированная метрика / имеет вид п с1лгп = 21 См^ ^ со сравните с метрикой (I)). Устанавливается.

Теорем, а 3. Для любого регулярного Кмерного подмно.

I п г-ги-1 гообразия в. области и погруженной в с к-мерный объем его образа в Сг при грассмановом отображении области I и не меньше объема праобраза на этом подмногообразии*.

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие: не существует регулярного изометрического.

I п o2n-i погружения полного пространства и в С, при котором грассманов образ Гп лежит на замкнутом пмерном подмногообразии и грассманово отображение является конечнократным отображе-I п нием и на его образ.

Заметим, что в примере Шура грассманов образ покрывает часть.

Пмерного тора. Отметим также, что согласно недавнему результап ту В. Хенке полное УХмерное пространство Лобачевского и изог-Чп-ъ метрически погружается в с # что является обобщением результата Э. Р. Розендорна прип*2Д1Ю. С помощью системы (3) и (4) можно найти вид тензора внутренней кривизны грассманова образа, из которого следует, что в общем случае внутренняя кривизна ГП по двумерным площадкам может быть любого знака. Но оказывается, что кривизна К многообразия 6 г для площадок, касательных к Г", не произвольна. Известно (см.С151), что множество чисел Ккривизн многообразия Оп, п + т со стандартной метрикой при гпдла (К1,т) >{ лежит в интервале Г 0,21.

Теорема 5″. 1. Кривизна К грассманова^многообразил О.

Г ?2, лежит в открытом интервале (0,1)".

Аналогичным свойством обладает грассманов образ любого Пмерного подмногообразия эвклидова пространства, имеющего П главных направлений. Для общего подмногообразия мы находим выражение /? через коэффициенты его вторых квадратичных форм.

Основная система погружения (3) обладает следующим законом сохранения где © над знаком суммы? означает пропуск Стого слагаемого. Применение этого закона сохранения в частных случаях погружений приводит к конкретным геометрическим выводам* Например, если поверхности и^-СонЬ являются вполне геодезическими поверхностями п /п в Ь, то их ортогональные траектории на являются кривыми постоянной кривизны в £2П и постоянной геодезической кривизны в Ь .

С помощью системы (3) мы находим, что каждая функция /" /- удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка.

2 й.

Из этого уравнения вытекает.

Предложение. Не существует погружения всего Ь в.

Е «при котором линии кривизны одного семейства являются гео.

Iп дезическими линиями на и .

Чтобы получить уравнение, напоминающее уравнение нсинус Гордона", уравнение (5) можно переписать для углов^. Например, при записав линейный элемент (а это возможно) в виде ипгсг (¿-и* +Сл<>га (Шгусил, 1 + Сс*гуо1и1) для функции С мы находим уравнение, близкое к уравнению синус Гордона.

6).

Заметим, что в явлении сверхпроводимости при описании эффекта Джозефсона выводится уравнение с тремя независимыми переменными.

Ло + Ли Ло в /. ^ Эх* щ ъ** **.

СМ. Иб] стр.

59 Уравнение (6) будет совпадать с этим уравнением, если правая часть (6) равна нулю.

Более детально мы рассматриваем случай к=3, т. е. погружения.

3 г* 5″ областей !> в Е .В этом случае основная система погружения, записанная для функций б и у, состоит из 6 нелинейных уравнений. Ввиду сложного вида мы не будем их приводить, отсылая к статье С8<�П. Три из них являются следствием уравнений Кодацци. В свою очередь условием совместности этих трех уравнений является одно комплексное уравнение третьего порядка. Если положить и, то это уравнение можно записать так.

Я^ц^ъ V ЩЪЦМг ^ дЩдЦ

Это уравнение известно в теории триортогональных систем в трехмерном эвклидовом пространстве СЮ].

Далее, при мы рассматриваем изометрические погружения, у которых линии кривизны одного семейства являются геодезическими линиями на I3 .В этом случае основную систему погружения: мы сводим фактически к одному уравнению — синус Гордона с постоянным множителем при Ьпи). Этот множитель может обращаться и в ноль.

Имеет место ^.

Теорема… Пусть область из Ь изометрически погружена в Е5 так, что линии кривизны семейства и, являются геодезическими линиями на I3. Тогда функция (?=) является обращением эллиптического интеграла о1<?

Щ =.

У^-59а функция пРичем Ы удовлетворяет уравнению.

М — М = С СО, где С + С.

I С^ с2 а У^ выражается через б: 2 ^ = 0/К>Со$ (ро^г^' +.

Наоборот, если найдены функции &, ^ и 6с), удовлетворяющие этим соотношениям, то по теореме Бонне определяется изометри.

I з ческое погружение Ь в С, при котором линии кривизны первого семейства являются геодезическими линиями на /-" .

Если известно решение С и^, то искомое трехмерное подмногообразие в Е* строится следующим образом. В Е находим двумерную поверхность, имеющую метрику Со^б^п^о^ +СоЪ2у (Ж1/0 заданные три вторые квадратичные формы и нулевые коэффициенты круг-1 чения. Затем из точки поверхности Г ортогонально к ней выпускаем линию Щ, кривизны которой определяются функцией 07^). Искомое трехмерное подмногообразие получается некоторым известным движением линии и1 вдоль всей поверхности Р* .

В последние годы уравнению синус Гордона, наряду с другиминелинейными уравнениями, было уделено много внимания в связи с тем, что оно встречается при описании некоторых физических явлений, например, в сверхпроводимости, и работе Л. Д. Фаддеева и Л.А. Тахтат-джяна построена существенно нелинейная интегрируемая модель поля, описываемая этим уравнением, найдены свойства частиц связанной с ним динамической системы. Найденные новые обширные классы решений этого уравнения можно использовать для построения изометрических погружений. В свою очередь использование многомерного обобщения уравнения «синус Гордона» и найденных решений этой системы может привести к построениям моделей физических полей более высокой размерности.

Нами рассмотрен другой, качественно отличный от предыдущего класс погружений, который определяется следующим образом. В общем случае единичный вектор {Н1}. ., Н^,} при изменении параметров.

Cn~i ., Un описывает С П-1)-мерную область на единичной сфере D. Но для некоторых случаев эта область может вырождаться, т. е. коэффициенты H-L могут зависеть от меньшего числа параметров t±,. m, ?s которые в свою очередь зависят от * rU > ' *.

Такие погружения будем называть функционально вырожденными. В механике решения такого вида называют автомодельными или простыми волнами. Мы находим функционально вырожденные решения основной системы погружения при п = 3 .В терминах функций & и ^ эти решения можно записать так с 6, rL = Ci где 2), С «- постоянные, причем ^ не все равны нулю.

Следующий способ построения решений системы (3) интересен тем, что с его помощью устанавливается связь теории изометрических погружений пространств постоянной кривизны с классической задачей механики о движении твердого тела. Мы показываем, что i I г- 5″ если погружение области L в t удовлетворяет некоторому геометрическому условию, то основная система погружения содержит в себе в качестве подсистемы уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой — центром масс в центральном ньютоновском поле тяготения. Эти же уравнения рассматривались в работах Кирхгофа, Клебша, Стеклова, Чаплыгина и других ученых в связи с изучением движения твердого тела по инерции в безграничной идеальной жидкости. Интенсивно исследуются, они и в настоящее время и в целом ряде работ, ввиду их большого значения для механикиГ1&.21,22,йИ.

Условие на погружение, которое приводит к уравнениям движения твердого тела формулируется с помощью грассманова образа" В общем случае грассманов образ с помощью плюккеровых координат нормального к подмногообразию пространства вкладывается в 10-мерное эвклидово пространство. При этом он находится в единичной 9-мер

Б9 с центром в начале координат. Мы потребуем от погру.

Г 3 жения, чтобы грассманов образ / лежал в единичной 8 мерной сфере 58 с тем же центром.

Г3.

Несколько более общий случай: / лежит в 9-мерной гиперплос-г-9 т кости с. Такое погружение будем называть погружением с гиперплоским грассмановым образом.

Погружение области Ь в Е с гиперплоским грассмановым образом обладает следующим замечательным свойством: подмногообразие допускает движение по себе вдоль некоторого семейства линий.

Имеет место следующий признак погружения с гиперплоским грассмановым образом теорема 8.1. Грассманов образ / гиперплоский тогда и только тогда, когда найдутся три постоянные С с, не все равные нулю и постоянная об, такие что для всех с, j, к имеет место ^ Нк, ¿-¿-¡-к, (7) где Sijк — символы Кронекера.

Выделяется общий (или не особый) случай, который определяется условием С^ ^ ПРИ и все «В этом случае функции /-/¿-иуЗсу постоянны по направлению {С^} в координатах Ыс .

— 20.

Теорема «И. Если область из L погружена в Е с гиперплоским грассмановым образом общего вида, то основная система погружения имеет семь первых интеграла: три линейных по А^ и Jbcj интеграла.

Ci/lj ~ =иНк ?iJ* и четыре квадратичных первых интеграла.

H' = Cond, (HB)* Conti ,.

I Не et, i*,**".

If.

Здесь Н-{Н[} и 6 имеет компоненты б- = (Cjj&ij~Cifyi)/CiCj. Из этой теоремы вытекает, что система погружения интегрируема в квадратурах.

Теорема ill. Каждое решение системы погружения L в С с гиперплоским грассмановым образом общего вида определено и ана-литично над всем пространством параметров, Ыг.

Однако при этом функции Н^ могут обращаться в ноль и даже менять знак.

Основную систему погружения можно преобразовать к системе с двумя независимыми переменными хг $ :

Щ = [ВНЗ, Ц4=-К+о1ГМН1 («).

U—CFH] |S-=-rBF] +Т +^ELH1 00) dXi J > оХх где F, К, L «М — трехмерные векторы, компоненты которых выражаются через H? и. Мы доказываем, что условие интегрируемости этой системы выполнено и её решение определяется, заданием постоянных.

При о, т. е. когда грассманов образ лежит в единичной сфере S с центром в начале координат, подсистема С10) преобразуется к виду.

5T=rFH7, ЛШ = (А FK —? //. Нк) Ц-к а).

3 3, j, К =1,2,3, где и Ь — постоянные числа. При? >0 с точностью до обозначений это есть система уравнений движений твердого тела вокруг его центра масс в центральном поле тяготения, Г «/81 стр. 278. Каждому движению твердого тела с неравными моментами инерции Jl? с неподвижной точкой — центром масс в центральном поле тяготения можно сопоставить некоторое изометрическое погруже-/3 с5* ние области L в с с гиперплоским грассмановым образом общего вида. Наоборот, если известно погружение области L3 в Е указанного вида и 8>0, то взятые вдоль некоторых прямых (в координатах U?) на погруженной области векторы Н и F являются соответственно единичным ортом в пространстве, в котором происхо-т дит движение тела, с координатами по отношению к связанной с телом подвижной системе координат, и вектором мгновенной угловой скорости тела. В качестве времени берется. Четыре первых квадратичных интеграла, о которых идет речь в теореме приО являются линейными комбинациями известных в механике четырех первых интегралов, см. Г 181. В частности интеграл (Н 6) e Con? t известен в механике как интеграл площадей. Но у нас эти интегралы относятся к более широкой системе.

Установленная связь теории изометрических погружений пространства постоянной кривизны с задачей механики с одной стороны показывает естественность основной системы погружения (3), с другой стороны открывает, на наш взгляд, некоторые новые возможности для качественного описания движения твердого тела, в частности для исследования инвариантных многообразий, определяемых первыми интегралами .

Эта связь позволяет применить развитые в механике методы для построения решений системы погружений. Например, мы используем построенные Стекловым решения системы уравнений движения твердого тела для нахождения решений системы погружений в Б .

Интересным является вопрос о существовании особых точек погружения полного пространства. Мы доказываем, что если Г3 лежит в единичной сфере 2 *, погружение относится к общему виду и первый интеграл площадей равен нулю, то погружение полного простран-|3 г 5 ства ь в? имеет особенности. Эта теорема означает, что на инвариантном многообразии с найдутся точки, в которых одно из Н^ обращается в ноль.

К особому типу погружений относятся погружения с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны. И в этом случае Г3.

Sз с центром в начале координат. Локальные погружения такого вида существуют с произволом в две функции одного аргумента и некоторого числа постоянных.

Т е о р е м, а 13,4. Не существует регулярного класса С изометрического погружения полного I3 в Е с семейством вполне геогг дезических поверхностей кривизны.

К г11г~1.

Множество известных погружений областей в С можно расширить с помощью многомерного аналога преобразования Бианки. Это преобразование определяется следующим образом. Пусть линейный элемент записан в виде и пусть X. — радиус-вектор погруженной области.

Тогда подмногообразию Ь с радиус-вектором х поставим в.

7-/1 — Л Эос соответствие подмногообразие и с радиус-вектором Х-Хгтг. оуь.

Имеет место.

Теорема 6.4. Преобразование Бианки переводит п, -мерное подмногообразие постоянной отрицательной кривизны в Е в подмногообразие той же постоянной отрицательной кривизны.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию явления неустойчивости минимальной поверхности в VIмерном римановом пространстве. Под минимальной поверхностью понимается регулярная поверхность с нулевым вектором средней кривизны: Н~0. Это условие является необходимым условием для того, чтобы любая область на поверхности давала минимум площади среди всех поверхностей с закрепленным граничным контуром. Однако, существуют минимальные поверхности, которые на самом деле не дают минимума площади среди близких к ним. Такие поверхности называют неустойчивыми. Для минимальных поверхностей в трехмерном эвклидовом пространстве явление неустойчивости рассматривал еще Г. А. Шварц в 19 веке, который определил условия устойчивости области на минимальной поверхности и построил ряд примеров. Г. А. Шварцем было показано, что если гауссово отображение минимальной поверхности Р** из Е^ на сферу взаимнооднозначно с образом и область й из Рг такая, что ее сферический образ содержится на полусфере, то область ?) — устойчива. Из недавних результатов отметим результат де Кармо и.

1.6мбо-ьа'- Г2 31.

Если площадь сферического образа области минимальной поверх-/¦— 3 ности в С строго меньше ?77, то область устойчива.

С другой стороны, де Кармо и С. К. Пенгом в Г^] было доказано, что полная устойчивая минимальная поверхность в Е является плоскостью. Эта теорема является одним из вариантов обобщения теоремы С. Н. Бернштейна о минимальной поверхности над всей плоскостью. В работе С251 А*В. Погорелов дал новые достаточные условия для того, чтобы односвязная минимальная поверхность была неустойчива. Из этих условий довольно просто в односвязном случае вытекает сформулированная выше теорема де Кармо и С. К. Пенга.

Рассматривались минимальные подмногообразия и в римановом пространстве. Саймонсом была доказана неустойчивость замкнутых минимальных гиперповерхностей в римановом пространстве положительной кривизны и неустойчивость замкнутых минимальных подмногообразий сферы Г26].

В работе мы высказывали предположение, что исследование замкнутых минимальных подмногообразий на устойчивость может оказаться полезным при изучении топологии многообразий. Эта точка зрения, стимулирующая наше изучение минимальных поверхностей, была подтверждена в работах других авторов. Нами установлена.

Теорема 1,2. Пусть — минимальная поверхность, го-меоморфная сфере в полном односвязном римановом пространстве, а, кривизна которого лежит в интервале (¿-р 11. Тогда Я** - неустойчивая минимальная поверхность.

Теорема остается справедливой, если условие полноты и односвязности пространства ЯП заменить условием тривиальности нормального го пучка г .

Заметим, что при доказательстве этой теоремы была преодолена принципиальная трудность, связанная с произвольностью коразмерности. Мы даем новый вид для суммы двух вторых вариаций площади поверхности, при доказательстве теоремы используем решения многомерной эллиптической системы Z.

При доказательстве теоремы использованы многие сильные геометрические результаты М. Берже, И. Н. Векуа, A.B. Погорелова, В.А.'То-поногова, В. Клингенберга, Смейла и Кервера> с 2, г?-331.

В случае и."2/ имеет место несколько более сильное утверждение.

Теорема 2.2. Пусть F* - минимальная поверхность, гомео-морфная сфере, в ориентируемом римановом пространстве R, кривизна которого лежит в интервале, 1″ ]. Тогда F* - неустойчивая поверхность.

Теоремы 1,2. и 2.2. точны, так как в комплексном проективном пространстве.

Р YO с метрикой Фубини, кривизна которого лежит в интервале Г" ^" 13 существует вполне геодезическая поверхность, гомеоморфная сфере и дающая минимум (не строгий) площади среди близких к ней замкнутых поверхностей.

Мы устанавливаем одну теорему об устойчивости минимальной поверхности в 4-мерном римановом пространстве. В точках поверхности определяется инвариант, который влияет на устойчивость поверхности. Величина является гауссовым кручением поверхности, а Тц — Rb4iZ — компонента тензора Римана пространства в ортонормированной системе координат, такой что первые две координатные линии касаются минимальной поверхности, а две другие ортогональны ей. Доказывается.

Теорема 5.2. Пусть F — минимальная поверхность, ориентируемая, быть может, с границей, расположенная в ориентируемом римановом пространстве R**. Если в точках поверхности выполнено неравенство ~ц>21Ке1 + %, где Ке — внешняя кривизна поверхности Р и К (г.ч) — кривизна Л для площадей ки, определяемой любым касательным к г вектором Т и любым нормальным вектором ^ «то ^ - устойчивая поверхность.

Мы приводим примеры минимальных поверхностей в многообразии рт снабженном деформированной метрикой Фубини, иллюстрирующие эту теорему.

В третьей главе диссертации получены различные оценки снизу для важной и геометрически наглядной характеристики подмногообразия — его внешнего диаметра. Любое достаточно регулярное риманово многообразие размерности П по теореме Дж. Нэша имеет регулярное изометрическое погружение в любой малый шар эвклидова пространства достаточно большой размерности, зависящей только от УХ. Поэтому невозможно получить оценку внешнего диаметра подмногообразия с большой коразмерностью, выраженную только через ее внутреннюю геометрию. Мы даем общую оценку внешнего диаметра подмногообразия в эвклидовом пространстве привлекая два объекта: внутренний — кривизну Риччи и внешний — вектор средней кривизны Н ¦ Имеет место «Рг.

Теорема! 9. Пусть полная поверхность Г <=¦?• с ограниченным по модулю вектором средней кривизны /Н / ^ /*/0 ¦ СоньЬ и с ограниченной снизу гауссовой кривизной содержится в шаре эвклидова пространства радиуса Я. Тогда я > Уи0 (13).

Заметим, что хотя в условие теоремы входит требование ограниченности снизу гауссовой крйвизны, в оценку (13) нижняя грань гауссовой кривизны не входит. В случае полученная нами оценка уже содержит нижнюю грань кривизны Риччи. п t.

Теорема ?.3. Пусть полное риманово многообразие F с Е размерности п ^ 3 с ограниченным по модулю вектором средней кривизны IИ I 4 И0 = Соил±и с кривизной Риччи не меньшей содержится в шаре радиуса R. Тогда.

R W/a + nH,) т.

В недавних работах Г 39-^0] неравенство (13) доказано и для К1-мерных подмногообразий. Это неравенство также обобщено на подмногообразия в римановом пространстве, см., LHZ1 .

Оценки (13) и (14) вытекают из более общей оценки для радиуса шара, содержащего область подмногообразия с внутренним радиусом X, которая имеет вид: R ^ fit, CLt Н0) где f — некоторая известная функция.

E/V некомпактно, многие известные полные минимальные поверхности в Е неограничены в пространстве. В обзорной статье Г 8] С. С. Черн поставил общий вопрос: будет ли неограничено в пространстве полное минимальное подмногообразие эвклидова пространства? Из доказательства теоремы 13. вытекает.

Следствие. Полная минимальная поверхность в Лмерном эвклидовом пространства с ограниченной снизу гауссовой кривизной неограничена в пространстве.

В этом следствии условие ограниченности гауссовой кривизны существенно. В работе L. УоЪье и F. XaA/i&i [43] построен с V пример полной минимальной поверхности в С, ограниченной в пространстве. Интересен также, пример полной минимальной поверхности гЪ в с «заключенной между двумя параллельными плоскостями, построенный этими же авторами в работе — ответ на вопрос Калаби.

Нами доказывается.

Теорема 9.3. Полная минимальная поверхность с ограниченной снизу интегральной гауссовой кривизной в А/ -мерном полном односвязном римановом пространстве неположительной кривизны неог-раничена в пространстве.

Далее мы рассматриваем вопрос получения оценок внешнего диаметра Амерного подмногообразия, выраженных только через объекты внутренней геометрии. Такая оценка возможна лишь при достаточно малой коразмерности подмногообразия. Для компактного подмногообразия оценка возможна, если коразмерность подмногообразия меньше размерности. Именно, Якубовичем в была доказана теорема: пусть Я компактное 1 -мерное риманово многообразие в (Zn-i)-мерном эвклидовом пространстве Е*'*1 Если кривизна Я* меньше или равна С, то радиус шара в с, содержащего д, больше или равен.

Ус .

Нами установлена оценка для подмногообразия с краем.

Теорема Ч. 3. Пусть подмногообразие Рп с^имеет секционную кривизну К, удовлетворяющую неравенствамо}^. Пусть геодезический шар на РП радиуса Ъ<~гг/в содержится в шаре пространства радиуса /?. Тогда о 1.

Для двумерной поверхности в трехмерном эвклидовом пространстве рЪ.

С получена оценка другого сорта.

Теорема 5.3. Пусть геодезический круг радиуса % на поверхности отрицательной кривизны содержится в шаре радиуса Л пространства Е3. Пусть К гауссова кривизна поверхности удовлетворяет неравенствамЛ Тогда.

Я > г/т/6 + $а.ггг' («у).

С3.

Изучение влияния внутренней геометрии поверхности в С на ее внешний диаметр ранее проводилось в работах Ю. Д. Бураго и А. Л. Вернера [491. Ю. Д. Бураго доказал следующее неравенство, связывающее площадь поверхности 3, длину граничного контура Ь, радиус шара, содержащего поверхность и интегральную кривизну 6с/ при.

СГОиЧгтт^Я^Я] при где^С — эйлерова характеристика СО4″ и СО" - положительная и отрицательная части 60 .

Развитый нами простой интегральный метод для замкнутой поверхности дает оценку площади более точную, чем установленная ранее Ю. Д. Бураго аналогичная оценка с неточной постоянной.

В работе С??3 нами был поставлен вопрос о том, будет ли неоггЗ раничена в пространстве С полная регулярная поверхность с неположительной гауссовой кривизной К ограниченной снизу. Дело в том, что в работе Э. Р. Розендорна Г5*01 был построен пример полной поверхности неположительной кривизны, лежащей в некотором шаре эвклидова пространства /г^. Правда, эта поверхность имеет счетное число точек нерегулярности, в которых поверхность лишь гладкая. Но мы обнаружили более важное, на наш взгляд, обстоятельство, имеющее место в этом примере: взятый по поверхности = = - оо .В связи с этим и тем, что в оценку (15″) входит нижняя грань гауссовой кривизны, и был поставлен вопрос, сформулирг рз рованный выше. Для полной поверхности «с? , кривизна которой вообще говоря, может менять знак, нами доказана.

Теорема 6.3. Если на полной поверхности класса С, неограниченной во внутреннем смысле, гауссова кривизна К стремится к нулю при уходе точки на бесконечность во внутреннем смысле, то поверхность неограничена в пространстве.

Ответ на поставленный выше вопрос был получен в недавней работе баскоиИб И Кои^одсогди,! С⁰¹ на основании одной работы Отри',[5*1]. Было доказано, что полная регулярная поверхность Р1 в Е3 с гауссовой кривизной, удовлетворяющей неравенствам СсилЬ? К? 0 неограничена в пространстве.

Развитый нами интегральный метод получения оценки внешнего диапЬ метра поверхности в С, основан на уравнении Дарбу.

V — V+' - Л" ъ?) где 0. р — квадрат длины радиус-вектора поверхности, ^ =.

—. — дифференциальный пар. ехр Б"й.

— оператор Лапласа-Бельтрами, Цц — оператор Монжа-Ампера /-2 на поверхности г. Мы применяем его и кмерным гиперповерхностям в с. Доказываем, что для У1 -мерной гиперповерхности функция р удовлетворяет уравнению где Т — скалярная кривизна Риччи. Имеет место.

Теорема Пусть кривизна Риччи замкнутой ориентируерп мои гиперповерхности г с р удовлетворяет неравенствам.

Ясс^, где, а и 6 постоянные. Тогда для радиуса шара Я в Е, содержащего, имеет место оценка.

О И/ ш-о к а1.

Далее мы рассматриваем гиперповерхность РП с границей. Мы получаем оценку снизу для радиуса шара, содержащего поверхность, выраженную через объекты внутренней геометрии гиперповерхности. Пусть — геодезические шары на г радиуса бис одним и тем же центром г. Пусть V/" - объем этого шара и 5IVплощадь граничной сферы, Т + - положительная часть скалярной кривизны и /ис (X) отрицательная часть кривизны Риччи гиперповерхности. Обозначим I.

Л Ш=[{'шх I Я7с (У)} Л V, Ж) =? (аш м о I.

Нами доказывается следующая.

Теорема $.3, Радиус наименьшего шара /? в В, содержащего геодезический шар радиусаI на гиперповерхности Я" * эвклидова пространства удовлетворяет неравенству о*, М.

Тот же метод приводит к оценке объема V геодезического шара.

Теорема 9.3. Если центр геодезического шара на гиперповерхности не является фокальной точкой, то его объем удовлетворяет неравенству.

П-й где Л — внутренняя величина.

В четвертой главе изучаются свойства грассманова образа двумерной поверхности в четырехмерном эвклидовом пространстве. Предполагается, что грассманово многообразие С^л снабжено стандартной метрикой с* где р — плюккеровы координаты двумерной плоскости в Г .

4ы находим выражение кривизны К многообразия для площадки, касательной к Р, через элементы эллипса нормальной кривизны поверхности. Обозначим через Л и ^ - полуоси эллипса нормальной кривизны в точке X поверхности Р, оС и уЗ — координаты центра этого эллипса в нормальном пространстве, при условии, что начало координат в Л* расположено в точке X и оси параллельны осям эллипса.

Теорема 1.4. Кривизна К многообразия для площадки, касательной к грассманову образу поверхности в четырехмерном эвклидовом пространстве есть.

7 К1 — НаЧг.

К -17Т.

К4.

Из этой формулы следует, что для поверхности с гауссовой кривизной П & и кривизна к лежит в интервале со,-п. Это же утверждение справедливо и для поверхностей с нулевым гауссовым кручением. Для минимальной поверхности кривизна 1, 2} .

Основное содержание главы посвящено следующей общей задаче: по заданному VIмерному регулярному подмногообразию ГП в грассмановом многообразии (тщ.и+т найти Имерное.

Бп+т —- * - ж > имеющее ГП своим грассмановым образом.

Эта задача не всегда имеет решение. В том случае когда размерность грассманова многообразия Суп, п+м больше размерности эвклидова пространства Ь, произвол в задании имерного подмногообразия в грассмановом многообразии больше, чем в эвклидовом пространстве. При т"^®-^ этот произвол один и тот же. Имеет место.

Теорема 2.*/" Пусть Р — регулярная класса С двумерная поверхность в грассмановом многообразии. Пусть кривизна К для площадки, касательной к Г*0 в точке Р, удовлетворяет неравенству К* 1. Тогда существует окрестность точки Р на Г2, являющаяся грассмановым образом регулярной класса С поверхности /" «* в четырехмерном эвклидовом пространстве.

Условие К * в этой теореме существенно. Мы указываем пример поверхности, в, которая даже локально не является грасс * смановым образом поверхности из С. Это обстоятельство можно объяснить так. Хотя множество двумерных поверхностей в Е**% определенных в некоторой окрестности точш (Ц, равномощно с множен ством двумерных поверхностей в «определенных в некоторой окрестности точки Р&С^, но при грассмановом отображении в одну и ту же поверхность /» 2 отображается не одна поверхность Е* с, а некоторое бесконечное множество их. Поэтому остаются некоторые поверхности в (¡-гцд, не имеющие праобраза.

Два последних параграфа посвящены вопросу изометрического по.

I п г- 2л гружения области из ?- в с с п полями: главных направлений, в частности погружениям области II в Е с нулевым гауссовым кручением. Подход, который мы используем, тесно связан с результатами первой главы, особенно с результатами § 3 и § 15.

Система погружения Iв Е с нулевым гауссовым кручением.

3 г 5* очень напоминает систему погружения и в С с семейством вполне геодезических поверхностей кривизны, но содержит на два уравнения меньше. Её можно представить, как систему двух дифференциальных уравнений второго порядка для двух функций 03 и 6 .

Мы находим классы решений этой системы.

С чувством глубокой благодарности я вспоминаю очень полезные советы и замечания по моим работам, поддержку в проведении геометрических исследований со стороны моего) учителя. Н. В. Ефимова.

Выражаю глубокую благодарность за очень полезные советы академику A.B. Погорелову, профессору Э. Г. Позняку, своим коллегам. и также участникам семинаров по геометрии «в целом» в ХГУ и МГУ.

1. Ал|ксанд|ов А^ Внутренняя геометриявыпуклых поверхноатей.

2. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М. Наука, 1969, 638 с.

3. Ефимов Н. В. Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны. Мат. сб. 1964 г., т. 64 № 2, 286−320.

4. Позняк 3.F. 0 регулярной реализации в целом двумерных метрик отрицательной кривизны. Укр. геом. сб., 1966, 3, 78−92.

5. Позняк Э. Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства. Успехи мат. наук, 1973, 28, № 47−76.

6. Розендорн Э. Р. Реализация метрики oUz = du* + j (u)dlfzв пятимерном эвклидовом пространстве. ДАН Арм. ССР, 30, № 4,.

7. HzuMjl W, I^Ofnii^U^cJu CmytWiMсмАл скл n-cUm.HцгшъМлъç-Aut Rccumu) HK ctvto Мсши-ЛС/U/rtcimath., M, mi, efS-t?S. ' 9.

8. U/o на Y.- С., $tcX?&Kcd шигсЛшал Gta/^yncui mcutijobk, Puoc.JJoCt.acoLd. Su. USAJO, Ml, 19C8, ?fJ9.

9. Кулик И. О., Янсон И. К., Эффект Джозефсона в полупроводящих туннельных структурах, М. Наука, 1970, 279 с.

10. Тахтатджян Л. А., Фадеев Л. Д. Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля. ТМФ, т. 21, № 2, 1974, 160−174.

11. Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. М., Наука, 1977, 328 с.

12. Буземан Г. Геометрия геодезических. Физматгиз, 1962, 504 с.

13. Милнор Дж. Теория Морса, М., Мир, 1965.

14. Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная, теория. Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ). I Функ. анализ и его прилож., т. 15, в. 3, 1981, 54−66.

15. Погорелов A.B. Об устойчивости минимальных поверхностей. ДАН СССР, 1961, т. 260, № 2, 293−295.

16. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. Москва, Физматгиз, 1959.

17. Топоногов В. А. Зависимость между кривизной и топологическим строением римановых пространств четной размерности. ДАН СССР, 133, № 5, 1960,1031−1033.

18. KUftmMfta W., Uivr die futida Мсшиа+сМСакаЯел nut 0pc-UyttAfe/t Кгижмлшд, Comm. froth. ffOA/., 19643f-Я.

19. Smalt J. (UawijLcai?(fYi tf шт/с&смл ?f tki Ън/о-ip/Uu, Пали. Moa. Matk icc. t 90, 1959, Z81-Z9Z.

20. Kmra? t?. JU.&, сUut Ujl fceu (unmcd d um Cm, ytWiait doAVb им елрсш eMJcJUcUat, Comm. math. Не1л/., 1959, ш-131.

21. Бляшка В. Дифференциальная геометрия, Москва, ОНТИ, 1935. Л, Мсим w. f клкъЛисА djUi %?fft№dud-QMn.

22. S) a?duA 4., Zua atomit'^t^tkut ia/tiatCcfm «асАшмго, JUaih. Z, 90, m°6, 119-?91 d.

23. Suaimdo M. t $кСо4кша К., 0к tk foiffmriUaMt Pin -<�№n.

24. Зоъдл ?., Хал/се/с Р., 0ц Ни е^С^ша сопгрШе ^нопсйе) тЫмаХ (^сш^.Мс^Ь.^О, л/г, 197−9.

25. У&Ш. Хал/?ел. Р., $ пигиупаХ Шс^асм ¿-'/г ' № -?и/о ромаШ /гСамяь, V. 1/г, лм. 1980. гоъ-гое.

26. УасобсмС^ Н., ^?отлЖ/ссс шМЖсЬСп^ о^ а <�яшоа/ЛРлетшьиСсш. ммиреСЖ Сп1о Еиейскаль.

27. Бураго Ю. Д. Неравенства изометрического типа в теории поверхностей ограниченной внешней кривизны. Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 10, 1968, 40−45.

28. Бураго Ю. Д. Оценка снизу пространственного диаметра поверхнос-ти^че^ез её внутренний радиус и кривизну. Мат. сб. т. 36, 1971,.

29. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Геометрические неравенства. Ленинград, Наука, 1980, 288 стр.

30. Вернер А. Л. Неограниченность гиперболического рога в евклидовом пространстве, Сиб.мат. журнал, т. II № I, 1970, 20−29.

31. Розендорн Э. Р. Построение ограниченной полной поверхности неположительной кривизны. Успехи мат. наук, 1961, 16, № 2, 149−156.

32. Отмс /-/., УммЛис? тпи^мстл ^ Ясежсисгиалг маш, оСсСь, ¿-(К. Мораль, 19, л/гг, {96″ ?.

33. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Труды матем. института им. В. А. Стеклова АН СССР1, X¿-У, 1955.

34. ЪакЛоилс? и/с 1а. t^ьtoг? сЛ&л Ш: f&Ш>, V. Ж, РаяД.

35. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М. ИЛ, 1948.

36. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Мир, 1970.

37. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М. ОНТИ, 1935.

38. СМллп Он Ни ши/а^м/са УпАе&са ¿-к, а Ясемал-уиам Мсии$оМ. й^МоАк.,, 154 $.

39. Милнор Дж. Дифференциальная топология, Усп. мат. наук, XX, вып. о, 1965, 41−54.

40. Оссерман Р. Минимальные поверхности. Успехи математич. наук, ХХП, вып. 4 (136), 1967, 55−136.

41. Бернштейн С. Н. Собр. соч., т. 3. Изд. АН СССР, 1960.

42. Ясси С-, ил/с-СмсЖа Г., Ли? кюо (м ск соиЬиЛ cÍ-LffwшаМоЬл {ш/с а#/&1ссаАСанл, 190 1, /.

43. Бурагб Ю. Д. Об одной теореме Ю. А. Аминова. В сб. Вопросы глобальной геометрии. Записки научных семинаров, ЛОМИ. т. %5. 1974, с. 28−34.

44. НиАис Оп ъиАка/шдилх! fшtotLcfn^i смоС (??{?мши^а/, уиотлкну СК На? ал. дя, Сшм.ММ. НЖ/., 19 $?, /з-?г.

45. Картан 3. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., Изд-во Моск. ун-та., 1960, 307 с.

46. Широков П. А. Тензорное исчисление. Казань, из-во КГУ, 1961.

47. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.-Мир, 1964 г.

48. Лаврентьев М. А. Основная, теорема, теории квазиконформных отображений плоских областей Изв. АН СССР-, сер. матем., 1948, т. 12, с. 513−554.

49. Положий Г. Н. Теорема о сохранении области для некоторых эллиптических дифференциальных уравнений и её применения.Мат. сб. 19(c) — т. 32 (74), с. 485−492.

50. Фоменко В. Т. Некоторые свойства двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в Е4.Мат. с3., т. 106, Ж 1978, 589−603.

51. Уш. ¿-иСтаЖе^ог На шшо^илл (А ЫигсйсС %иАмст1оМл уЛм? А. if.Mcttli.J02>, 1981, Ч, и-т-г*.

52. Вернер А. Л. Полугеодезическая координатная сеть на трубках неположительной юэивизны. Труды Мат. ин-та. АН СССР им. В.А.Стек-лова, 1965, т. 7b, с. 130−1Ж).

53. Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А., Классические задачи динамики твердого тела., Киев, «Наукова думка», 1978. РАБОТЫ АВТОРА ПО TEiME ДИССЕРТАЦИИ.

54. Оценки внешнего диаметра поверхности. 5-я Всесоюзная конференция. по геометрии, Самарканд, 1972, стр. 9.

55. К проблема устойчивости минимальной поверхности в римановом. пространстве положительной кривизны. ДАН СССР, 224, № 4, 1975, 745−747.

56. О неустойчивости минимальной поверхности в Ямерном римановом. пространстве положительной кривизны.Матем. сб. 100 (142), № 3 Ш, 1975, 400−419.

57. Внешний диаметр погруженного риманова многообразия. Матем. сб., 1973, 92, № 3, 455−460.

58. О внешнем диаметре поверхности отрицательной кривизны. Укр. геом. сб., 1973, в. 13, 3−9.

59. Об оценках диаметра и объема подмногообразия евклидова пространства. Укр. геом. сб., в. 18, 1975, 3−15.

60. Некоторые свойства минимальных поверхностей в римановом пространстве. 6-я Всесоюзная геометрическая конференция в Вильнюсе, 1975, 15−16.

61. О неограниченности минимальной поверхности в римановом пространстве неположительной кривизны. Укр. геом. сб., в. 19,.

62. Пространства Лобачевского, как подмногообразия пространства Эвклида. Всесоюзная конференция по неевклидовой геометрии. Казань, 1976 г, стр. 10.

63. О погружении областей Умерного пространства Лобачевского в (2 и i)-мерное евклидово пространство ДАН СССР, т. 236, в. 3, 1977.

64. Преобразование Бианки имерное области пространства. Лобачевского. Укр. геом. сб., 1978, в. 21, 3−5.

65. Изометрические погружения областей Vмерного пространства Лобачевского в (2 и i)-мерное евклидово пространство.Мат. сб., т. III, № 3, 1980; 402−433.

66. Многомерный аналог уравнения «синус Гордона» и движение твердого-. тела. ДАН СССР3, т. 264, Ш 5, 1982, III3-III6.

67. Многомерное обобщение «синус Гордона» и движение твердого тела. Труды симпозиума по геометрии в «целом,» и основаниям теории oraосительности. Новосибирск, 1982.

68. Кручение двумерных поверхностей в эвклидовых пространствах. Укр. геом. сб., 1975, в. 17, 3−14.

69. О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом, пространстве.Укр. геом. со., в. 23, 1980, 3−16.

70. Определение поверхности в. Е^ по заданному грассманову образу. Матем. сб., 117, № 2, 1982, I47-IE0.90. Минимальные поверхности. Харьковский университет, 1978, Ротапринт ХГУ.

71. Проблемы вложений: геометрические и топологические аспекты. Итогинаукии техники,. Проблемы геометрии, т. 13, М. 1982,.

72. Изометрические погружения областей 3-мерного пространства Лобачевского в 5-мерное евклидово пространство и движение твердого тела. Матем. сб. (в печати,).Jcl¿-f.