Обобщенно-касательные структуры на многообразиях

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифференцируемых многообразий, снабженных различными геометрическими структурами, в частности, алгебраическими, т. е. изоморфно представляющими некоторую алгебру. К структурам такого типа относится обобщенно-касательная структура — самая общая нильпотентная аффинорная структура класса нильпотентности 2, порождающая на многообразии структуру представления алгебры дуальных чисел.

Изучению многообразий со структурами, определяемыми алгебрами, посвящено большое количество работ. Обзор полученных в этой области результатов дан в работах А. П. Широкова [б4−5б]. За последние годы геометрия алгебраических структур получила значительное развитие, в основном, благодаря работам П. А. Широкова [<47,48], А. П. Нордена [29,31,32], А. П. Широкова [51−53,57], В. В. Вишневского [2-I1], Г. И. Кручковича [21−2б], Б. А. Розенфельда [зб-зэ] и их учеников.

Наряду с этим появление работ японских математиков Сасаки, Яно, Ишихары, Кобаяси (см.|^79,80,8l]) положило начало изучению касательных расслоений дифференцируемых многообразий. В этих работах определяются отображения алгебры тензорных полей дифференцируемого многообразия в алгебру тензорных полей касательного расслоения этого многообразия. С помощью таких отображений строятся вертикальный, полный, горизонтальный лифты тензорных полей. В касательном расслоении определяется связность, являющаяся полным лифтом связности на базе [79]. Кроме этого было выяснено, что в касательных расслоениях возникают различные геометрические структуры. Некоторые из этих структур тесно связаны с алгебрами. В недавней обзорной статье А. П. Широкова [бв] подведены итоги работ, посвященных изучению дифференциально-геометрических структур, возникающих, в касательном расслоении многообразия. Примером такой структуры является достаточно хорошо изученная почти касательная структура ^ [бо], удовлетворяющая условию ft*0-О и имеющая вейерштрассову характеристику В настоящей работе изучается самая общая аффинорная структура, удовлетворяющая условию Jfk— 0, произвольной вейерштрассовой характеристики 2,., 2/)1 и названная, поэтому, обобщенно-касательной. Эта структура естественным образом возникает в расслоении X с X *Т 6, индуцированном расслоениями р • X —щ 6 и р^ТВ^В [43J, т. е. в расслоении р±-: (5″ «*'б база Ь заменяется на X, а слои остаются теми же (см. § 2.1).

Обобщенно-касательная структура, возникающая в расслоении.

X, позволяет ввести голоморфно-геодезические кривые, являющиеся обобщением геодезических кривых. Впервые такого рода кривые были определены на почти комплексных многообразиях (см. работы Т. Оцуки, Я. Таширо [бб], Я. Таширо [75], Ш. Ишихары [б4], К. Яно [78j). В связи с рассмотрением голоморфно-геодезических кривых появляется возможность построения теории голоморфно-проективных преобразований связности, обобщающих проективные преобразования связности. Такие преобразования применительно к многообразиям со структурой представления алгебры двойных чисел изучала М. Прванович [б7], общий случай бинарных алгебр рассматривался Г. Г. Марковым, А. П. Норденом ?27], а для многообразий с почти кватернионной структурой аналогичные исследования проводил Ш. Фуйимура [бГ-бЗ. Голоморфно-проективные преобразования связности на многообразии с интегрируемой регулярной алгебраической структурой изучал также Г. И. Кручкович [23J. Он доказал, что голоморфно-геодезические кривые принадлежат вполне геодезической поверхности, реализующей геодезическую линию из пространства над алгеброй. Аналогичные вопросы на многообразиях с 2-кратной регулярной структурой представления коммутативной алгебры исследовались В. С. Талапиным [41,42]. Вопросу о существовании тензора голоморфно-проективной кривизны, инвариантного относительно голоморфно-проективных преобразований связности, посвящена работа морфно-проективных преобразований связности и их инвариантов на многообразиях, снабженных обобщенно-касательной структурой.

Целью настоящей работы является систематическое изучение обобщенно-касательной структуры и, в частности, построение теории голоморфных продолжений (лифтов) дифференциально-геометрических объектов в их связи с теорией многообразий над алгебрами, а также приложение этой теории к голоморфно-проективным преобразованиям связности.

Актуальность темы

Почти касательная структура, естественным образом возникающая в касательном расслоении, в настоящее время достаточно хорошо изучена, хотя самая общая нильпотентная аффи-норная структура класса нильпотентности 2 произвольной вейерлась. Изучение обобщенно-касательной структуры дает возможность ее применения в геометрии дифференцируемых расслоений, структуры такого типа возникают в линейчатой геометрии изотропных прямых пространства Минковского и могут быть использованы в тех исследованиях, где появляются структуры, определяемые алгеброй дуальных чисел.

Методика исследования основана на применении тензорного аппарата в многообразиях над алгебрами и их вещественных реализациях. Используются методы построения инфинитезимальной связности на произвольных дифференцируемых расслоениях, основанные на теории отображений. Исследования носят локальный характер в.

В.В.Вишневского.

Интересным представляется изучение голоштрассовой характеристики до сих пор не изучаклассе достаточно гладких функций.

Научная новизна. Теория пространств над алгебрами достаточно хорошо изучена. В применении к расслоенным пространствам эта теория дает новые результаты. В частности, в настоящей работе с помощью голоморфных продолжений в алгебру дуальных чисел построены лифты тензорных полей и связностей в многообразие с обобщенно-касательной структурой. Решается задача о нахождении объектов, инвариантных относительно голоморфно-проективных преобразований связности. В общем случае плюральных и дуальных структур нахождение такого рода объектов сопряжено с большими трудностями.

Теоретическое значение. Результаты, полученные в работе, являются дальнейшим развитием методов построения теории лифтов дифференциально-геометрических объектов на многообразии с интегрируемой аффинорной структурой и пополняют общую теорию дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Кроме того, построенная теория находит приложения в линейчатой геометрии и может служить основой для построения ее обобщений на случай обобщенно-касательных структур высших порядков.

Основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.

1. Дана новая трактовка полукасательного расслоения 1-го порядка.

2. Выделены тензоры и связности (с кручением), допускающие голоморфное продолжение в полукасательное расслоение, и построены эти продолжения.

3. Построены горизонтальные лифты векторных полей и связностей в полукасательное расслоение.

4. Исследованы голоморфно-проективные преобразования связности полного лифта в полукасательном расслоении и найдены их инварианты .

5. Выделен класс голоморфно-проективно-плоских полукасательных расслоений.

Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. По материалам диссертации опубликованы четыре рабов равных условиях, в диссертацию включены только результаты, полученные автором.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, состоящих' из 12 параграфов и 25 пунктов, списка использованной литературы. Содержание работы изложено на 118 страницах машинописного текста, список литературы включает 81 название.

1. Беклемишев Д. В. Дифференциальная геометрия пространств с почти комплексной структурой. — Итоги науки. Геометрия. 1963/ ВИНИТИ АН СССР, М., 1965, с. 165−212.

2. Вишневский В. В., Терина Г. А. К теории пространств над тензорными произведениями алгебр. Уч. зап. Казан, ун-та, 1968, т. 128, № 3, с. 12−23.

3. Вишневский В. В. Аффинорные структуры пространств аффинной связности. Изв. вузов. Мат., 1970, № I, с. 12−23.

4. Вишневский В. В. Теория аффинорных модулей. Уч. зап. Казан, ун-та, 1970, т. 129, № 6, с. 33−53.

5. Вишневский В. В. Полиномиальные алгебры и аффинорные структуры. Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1971, вып. 6, с. 22−35.

6. Вишневский В. В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами. Дис.. д-ра физ.-мат. наук. — Казань, 1972. -345 с.

7. Вишневский В. В. Аффинорные структуры многообразий как структуры, определяемые алгебрами (обзорная статья). Tensor, 1972, v. 26, р. 363−372.

8. Вишневский В. В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами. Изв. вузов. Мат., 1974, № 5, с. 62−65.

9. Вишневский В. В. О геометрической модели полукасательных структур. Изв. вузов. Мат., 1983, № 3, с. 73−75.

10. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. — 760 с.

11. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. — 195 с.

12. Кирсанова Т. В. Лифты и связности на многообразии с полукасательной структурой. Казань, 1983. — 12 с. — Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1983,6625−83.

13. Кирсанова Т. В. Голоморфно проективные преобразования связности в полукасательном расслоении. УШ Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл., Одесса, 1984, с. 70.

14. Кирсанова Т. В. Полукасательные структуры 1-го порядка. -Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1984, вып. 16, с. 41−46.

15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. -М.: Наука, 1981, т. I. 344 с.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. -М.: Наука, 1981, т. П. 416 с.

17. Котельников А. П. Винтовое исчисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1895. — 215 с.

18. Котельников А. П. Проективная теория векторов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1899. — 230 с.

19. Кручкович Г. И. Условия интегрируемости регулярной гиперкомплексной структуры на многообразии. Укр. геом. сб./ Харьк. ун-т, 1970, вып. 9, с. 67−75.

20. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1972, вып. 16, с. 174−201.

21. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные геодезические и их вещественные реализации. Тр./Моск. ин-т радиотехн., электрон, и автомат., 1973, вып. 67, с. 3-II.

22. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. П. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1974, вып. 17, с. 218−227.

23. Кручкович Г. И. Нпространства Вейля. Тр. ХХУ научн.-техн. конф. Тезисы докл., Моск. ин-т радиотехн., электрон, и автомат., Москва, 1976, с. 2−8.

24. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях.-Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1978, вып. 18, с. 293−299.

25. Марков Г. Г., Норден А. П. О голоморфно-проективных преобразованиях. Изв. вузов. Мат., 1975, № 6, с. 82−87.

26. Норден А. П. Биаксиальная геометрия и ее обобщения. Тр. ТУ Всесоюз. мат. съезда/ Моск. ун-т, 1964, т. 2, с. 236−243.

27. Норден А. П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства. Изв. вузов. Мат., 1972, J& 12, с. I38-I4I.

28. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.-432 с.

29. Норден А. П. Композиции векторного расслоения. Изв. вузов. Мат., 1978, № 5,0138−141.

30. Норден А. П. Теория композиций. В сб.: Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1978, № 5, с. I38-I4I.

31. Павлов Е. В. Един клас пространства с дуална структура. -Научни трудове Пловдивски ун-т. Мат., 1973, т. II, кн. 3, с. 17−23.

32. Павлов Е. В. Някои свързности в многообразие, снабдено с нерегулярна дуална структура. Научни трудове Пловдивски ун-т. Мат., 1973, т. II, кн. 4, с. 145−155.

33. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. — 664с.

34. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: Гостехиздат, 1955. — 744 с.

35. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. — 548 с.

36. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. — 648 с.

37. Розенфельд Б. А. Метод подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами. УП Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл., Минск, 1979, с. 168.

38. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. — 256 с.

39. Талапин B.C. tiпланарное преобразование связности в вещественных реализациях многообразий над алгебрами. Изв. вузов. Мат., 1979, № 12, с. 72−76.

40. Талапин B.C. Голоморфно проективные преобразования связности на многообразиях со структурой представления коммутативных алгебр и некоторые их геометрические приложения. -Дис.. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1980. — 144 с.

41. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Наука, 1970. -442 с.

42. Чеботарев Н. Г.

Введение

в теорию алгебр. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. — 88 с.

43. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемом расслоении.Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1980, № 12, с. 97−110.

44. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. -Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1983, т. 15, с. 61−93.

45. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. Мат. сб., 1957, т. 41, № 3, с. 361−372.

46. Широков П. А. Об одном типе симметрических пространств. -Изв. Казан, физ.-мат. об-ва, 1925, сер. 2, т. 25, с. 48−55.

47. Широков П. А. Тензорное исчисление. Л.-М.: Гостехиздат, 1934. — 464 с.

48. Широков А. П. Геометрия обобщенных биаксиальных пространств.-Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, т. 114, № 2, с. 123−166.

49. Широков А. П. Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров. Докл. АН СССР, 1955, т. 102, с. 464−467.

50. Широков А. П. Об одном классе пространств над алгебрами. -Изв. вузов. Мат., 1961, № I, с. 87−97.

51. Широков А. П. К теории пространств, определяемых коммутативными алгебрами. Уч. зап. Казан, ун-та, 1965, т. 125, № I, с. 165−182.

52. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. -Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия./ ВИНИТИ АН СССР, 1969, с. 127−188.

53. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. -Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия./ ВИНИТИ АН СССР, 1974, т. II, с. 153−208.

54. Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры высших порядков. Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1979, т. 9, с. 189−233.

55. Широков А. П. О голоморфно-проективных преобразованиях в касательном расслоении. Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1979, № 11, с. Ill—114.

56. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1981, т. 12, с. 61−95.

57. Юрьев В. А. Структуры и связности многообразий гиперболических и изотропных прямых пространств постоянной кривизны. -Дис.. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1980. — 107 с.

58. Clark R.S., Bruckheimer М. Sur les structures preaque tangents. C.r. Acad, sci., 1960, 251, p. 627−629.

59. Fujimura S. Qconections and their changes on an almost quaternion manifolds. Hokkaido Math. J., 1976, v.5, 2, p. 239−248.

60. Fujimura S. On a certain change of affine connections on an almost quaternion manifold. Hokkaido Math. J., 1977, v. 6, 2, p. 249−254.

61. Fujimura S. Qprojective transformations of an almost quaternion manifolds. Hokkaido Math. J., 1979, v. 8, 1, p. 95−1o2.

62. Ishihara S. Holomorphically projective changes and their groups in an almost complex manifold. Tohoku Math. J., 1957, v. 9, 3, p. 279−297.

63. Morimoto A• Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. J. Different. Geom., 1976, v. 11, 4, p. 479−498.

64. Otsuki Т., Tashiro Y. On curves in Kahlerian spaces. -Math. J. Okayma Univ., 1954, v. 4, 1, p. 150−158.

65. Prvanovic M. Holomorphically projective transformations ina lokally product apace. Mathematica Balkana, 1971, v. 1, p. 195−213.

66. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of tangent Riemannian manifolds. Tohoku Math. J., 1958, 10, p. 338−354.

67. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohn-lich complexen Funktionen. Ber. Sachs. Ak. Wiss. Leipzig, 1893, 45, a. 823−848.

68. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohn-lich complexen Funktionen. Ber. Sachs. Ak. Wiss. Leipzig, 1894, 46, s. 120−134.

69. Schouten J.A., van Danzig D. Uber unitare Geometrie. -Math. Ann., 1930, 103, s. 319−346.

70. Studi E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1902. — 230 s.

71. Tachibana S., Ishihara S. On infinitesimal holomorphically projective transformations in Kahlerian manifolds. -Tohoku Math. J., 1960, v. 12, 1, p. 77−1o1.

72. Tachibana S., Koto S. On almost-analytic functions tensors and invariant sulspaces. Tohoku Math. J., 1962, 14, p. 177−186.

73. Tashiro Y. On holomorphically projective correspondences in an almost complex space. Math. J. Okayama Univ., 1957, v. 6, 2, p. 147−152.

74. Tong Van Due. Structure presque-transverse. J. Differential Geometry, 1979, 14, p. 215−219.14, p. 9−19.

75. Yano K. Differential geometry on complex and almost com.

76. Yano K. On a structure type (1,1) satisfyingplex apaces. Pergamon Pres., New-York, 1965.

77. Yano К., Kobajashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. General theory. J. Math. Soc. Japan, 1966, v. 18, 2, p. 194−210.

78. Yano K., Ishihara S. Horizontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles. J. Math, and Mech., 1967, 16, p. 1015−1029.

79. Yano K., Ishihara S. Almost complex structures induced in tangent bundles. Kodai Math. Sem. Reports, 1967, 19, p. 1−27,.