Эллиптические солитоны интегрируемых нелинейных уравнений

В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] нашли метод интегрирования нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) с помощью обратной задачи теории рассеяния. В 1968 году Лаке [2] существенно обобщил их идеи, а в 1971 Захаров и Шабат [3] ирименили этот метод к другому важному для физических иршюжений уравнению — нелинейному уравнению Шредингера (НШ). Тогда же Захаров и Фаддеев [4] показали, что уравнение КдФ может быть интерпретировано как полностью интегрируемая гамильтонова система. После чего развитие метода обратной задачи теории рассеяния (МОЗР) и его приложений пошло с нарастающей скоростью и привело в настоящее время к созданию целой области математической физики.

С 1974 года работами Новикова, Дубровина, Марченко, .Лакса, Матвеева, Ит-са, Мак~Кина, ван Мёрбеке и Кричевера в рамках МОЗР начал развиваться ал-геброгеометрический подход к интегрируемым нелинейным эволюционным уравнениям (ИПУ), позволяющий строить их условно-периодические (конечнозонные) решения в терминах многомерных тэта-функций. Первые работы [5]-[15] были посвящены онисанию класса конечнозонных потенциалов одномерного оператора Шредингера и соответствующих решений уравнения КдФ. Однако впоследствии найденные в работах [11], [12], [15] формулы для конечнозонных решений общего нолол<�еиия уравнения КдФ бы. ли перенесены на другие интегрируемые нелинейные уравнения (с соответствующими, иногда довольно нетривиальньгми, модификациями) [16]-[39 .

Решенные методом конечнозонного интет’рирования нелинейные уравнегшя позволяют рассматривать в рамках этого метода те физические явления, которые описываются многофазными волновыми пакетами, представляющими собой абе-левы функции родов д I. В частности, рассмотрение задачи Пайерлса-Фрелиха 40[-[46 33], нестационарного эффекта Джозефсона [47 50 и некоторых других задач (см. например [51]-[53]) требуют в ряде случаев привлечения абелевых функций родов д л 2.

Полученные методом конечнозонного интегрирования многофазные решения нелинейных уравнений сравнительно просто выражаются через римановы тэта-функции. Однако при первой же попытке исследовать данные решения эта простота сразу же исчезает, поскольку римановы тэта-функции представляют собой многомерные ряды Фурье, коэффициенты которых зависят от периодов абелевых интегралов компактных римановых поверхностей. В связи с этим в случае рода д > I анализ решений оказывается существенно нетривиальным.

Данная проблема стимулировала целый ряд исследований сразу по нескольким направлениям, одним из которых являлась задача редукции многомерных тэта-функций к тэта-функциям меньшей размерности, в том числе и к эллиптическим 54]-[65]. Однако, при несоизмеримости периодов эллиптических тэта-функций так же, как и в обш-ем случае, конечнозонные решения остаются квазипериодическими.

Впрочем не только задача более простого описания конечнозонных решений ИНУ иривлекакла внимание к этой области математической физики.

Во-первых, эллиптические конечнозонные решения ИНУ представляют интерес сами по себе, как описывающие периодические (по времени и/или по координате) нелинейные процессы [16], [66]-[72.

Во-вторых, они могут быть использованы для изучения динамики интегрируемых систем частиц тина системы Калоджеро-Мозера [73]-[80 .

В-третьих, эллиптические по х конечнозонные решения ИНУ в любой момент времени Ь являются эллиптическими конечнозонными потенциалами некоторых линейных дифференциальных или разностных операторов, а так называемые функции Бейкера-Ахиезера — решениями линейных обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений с эллиптическими коэффициентами.

И в-четвертых, при подходящей замене переменной собственные функции линейных дифференциальных операторов с эллиптическими коэффициентами переходят в линейно независимые решения уравнения Фукса с четырьмя или более регулярными особыми точками. Например, как показал еще Дарбу [81], решения уравнения Гойна (четыре особых точки, [82 § 3 может быть получено довольно простой заменой из собственных функций оператора Шредингера с потенциалом Требиха-Вердье. А рассматривая собственные функции оператора Шредингера с эллит-ическими потенциалами второго типа, мы можем найти точные решения уравнения Фукса с большим числом особых точек. Правда, эти точки не могут быть расположены произвольным образом.

До 1988 года практически не было больших успехов в решении задачи выделения периодических решений ИНУ из общих конечнозонных. Это связано, в первую очередь, с тем, что условие периодщчности есть ни что иное как условие соизмеримости векторов 6-периодов нормированных абелевых дифференциалов, которое не может быть эффективно разрешено относительно точек ветвления из-за своей трансцендентности. В качестве примера известных к тому времени периодических решений ИНУ следует указать периодическую (по номеру п) цепочку То да [26], [16], эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашви.ли (КП) [75] и отдельные решения некоторых уравнений, связанные либо с узким классом начальных данных, либо со специальными симметричными римановыми поверхностями 54]~[65], 84. Появление раб°т Требиха и Вердье [85 далю новый импульс исследованиям в этой области, поскольку ощущалась настоятельная потребность именно в периодических многофазных решениях. В итоге к 1990 году было дано эффективное описание всех поверхностей, ассоциированных с эллиптическими (по х) решениями уравнения КдФ, и были также указаны новые конечнозонные эллиптические потенциалы оператора Шредингера, отличные от потенциалов Ламе (см. например [90]-[95.

На основании результатов, полученных при исследовании уравнения КдФ, можно предложить два подхода к решению проблемы построения двоякоперио-дических решений ИНУ.

В первом из них, реализованном для уравнений Кадомцева-Нетвиашвили [75], Кортевега-де Фриза [62], [65], [77]-[79], [91]-[94], нелинейного уравнения Шредин-гера [96] и уравнения Буссинеска [97], используется специальный анзац (анзац Кричевера-Эрмита) для Ф-фуякиии — собственной функции вспомогательного линейного оператора (оператора Шредингера для уравнения КдФ и оператора Дирака для НШ). Алгебраические кривые, ассоциированные с эллиптическими конеч-нозонными решениями, получаются как результат совместности некоторой переопределенной системы алгебраических уравнений от основного и дополнительных спектральных параметров и называются кривыми Кричевера.

Этот же метод был применен к ряду линейных дифференциальных операторов третьего порядка, не связанных ни с какими ИНУ [78], [93], [98], [99].

Второй метод, которому и посвяш, ена эта работа, основывается на выборе специальных анзацев для кривых Кричевера, не обращаясь непосредственно к. тинейной задаче. Он использует связь между задачей редукции многомерной тэта-функции римановой поверхности и активно развивавшейся в XIX веке теорией редукции абелевых интегралов к э.'ттинтическим.

Этот метод был успешно применен для нахождения эллиптических по х и по t решений уравнения КдФ [90], [95], [100]-[102], а также для описания новых довольно обширных классов эллиптических решений уравнений, связанных с уравнением sine-Gordon [100], [102]-[105], уравнения Буссинеска [106], нелинейного уравнения Шредингера, модифицированого уравнения КдФ и уравнения цепочки Тоды [102], [107]-[109].

В самое последнее время появился еще один метод, примененный для исследования стационарных (без рассмотрения изоспектральной деформации) эл. липти-ческих конечнозонных потенциалов операторов Шредингера [110]-[114] и Дирака 115].

Предлагаемая работа состоит из семи глав и ириложения.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из пяти разделов. В первых четырех разделах содержатся необходимые сведения из теории конеч-нозонных решений: а) уравнений Кадомцева-Нетвиашвили, Кортевега.-де Фриза и Буссинеска (первый раздел) — б) нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кор-тевега-де Фриза (второй раздел) — в) уравнений, связанным с уравнением sine-Gordon (третий раздел) — г) уравнений цепочки Тода (четвертый раздел).

В последнем разделе приводится зависимость конечнозонных решений исследуемых нелинейных уравнений от выбора локального параметра в окрестности существенной особенности функции Бейкера-Ахиезера (бесконечно удаленной точки •Рсо) — Обычно, рассматривая конечнозонные решения интегрируемых нелинейных уравнений, в роли данных для обратной задачи выступает «каноническая» форма спектргичьной поверхности Г с «каноническим» локальным параметром, А в окрестности «естественной» бесконечно удаленной точки РосС этой («спектральной») точки зрения различным бирационально эквивалентным каноническим представлениям одной и той л<�е спектральной поверхности Г соответствуют различные конечнозонные решения интегрируемых нелинейных уравнений.

Однако иногда бывает удобно воспользоваться другой («геометрической») точкой зрения, когда в роли данных для обратной задачи выступают: а) риманова поверхность Г в одном из своих бирационально эквивалентных представленийб) выде. пенная точка Тоо Е Г, не обязательно бесконечно удаленная в координатах текугцего иредставления Гв) .токатьный параметр, а в окрестности выделенной точки Тоо.

В данной работе мы будем придерживаться той и. гш иной точки зрения в зависимости от решаемой задачи.

Вторая глава состоит из двух разделов. В первом разделе приводится сформулированная и доказанная автором теорема о редукции многомерной тэта-функции Римана к э. плиптической тэта-функции п-ного порядка, а также некоторые следствия, вытекаюгцие из этой теоремы.

Основное утверждение этой теоремы состоит в том, что, если риманова поверхность Гх является п-листным накрытием над э. ллиптической поверхностью /о (5: А Лз) и если на Г[ и /о сугцествуют абелевы дифференциалы второго рода и (¿-А7°, нормированные в соответствующих базисах циклов, с векторами 6-нериодов 27г1[/" ' и 27г1[/°, и связанные соотношением с точностью до голоморфного дифференциала и дифференциала от мероморфной функции, то верно следуюгцее равенство:

3=1 где п — число листов накрытия, о, л Zj — некоторые постоянные.

Одним из следствий этой теоремы является то, что в условиях теоремы функция е{и'г + А1В1) e{mz + A2 Bi) является эллиптической функцией второго рода, имеющей по п нулей и полюсов на торе Го, а функция.

Hy (z) = -d^lne{Uh + ABi) является эллиптической мероморфной функцией, имеющей на торе Го п полюсов второго порядка: п.

Hi{z) = p{z — Zj) -Ь const.

7 = 1.

Во втором разделе второй главы рассматриваются двухзонные решения исследуемых нелинейных уравнений, построенные по римановым поверхностям i~i рода 2, накрывающим эллиптическую поверхность FQ. В частности, доказаны следующие утверждения:

1) по почти любой гиперэллиптической поверхности рода 2, накрываюш, ей эллрштическую, можно построить два эллиптических по t двухзонных решения уравнения Кортевех-а-де Фриза;

2) по почти любой римановой поверхности Г рода 2, накрывающей эллиптическую, можно построить два эллиптических по х двухзонных решения уравнения Буссинеска;

3) по любой римановой поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую, можно построить от восьми до двенадцати эллиптических по у двухзонных решений уравнения Буссинеска;

4) для любого п и для почти любой р-функции Вейерштрасса существует дифференциальный оператор третьего порядка с «двухзонным» п-эллип-тическим потенциалом;

5) для любого п и для почти любой р-функции Вейерштрасса существует дифференциальный оператор четвертого порядка с «двухзонным» п-эллип-тическим потенциалом;

6) по почти любой гиперэллиптической поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую можно построить два эллиптических по t решения нелинейного уравнения Шредингера;

7) по почти любой гинерэллиптической поверхности рода 2, накрывающей эллиптическую, можно (после бирационально эквивалентных преобразований, меняющих бесконечно удаленные точки) построить два эллиптических по X решения нелинейного уравнения Шредингера;

8) по почти любой накрывающей кривой рода 2 можно построить 60 различных эллиптических по х или по t решений уравнения sine-Gordon.

В последующих главах обсуждается пршюжение теории редукции к ряду интегрируемых нелинейных уравнений.

Третья глава посвящена эллиптическим региениям уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) и состоит из трех разделов. В первом разделе обсуждается предложенный автором метод построения спектра-пьных поверхностей, ассоциированных с эллиптическими конечнозонными потенциалами оператора Шредингера.

Фхх — 'и{х)ф = Еф и эл, линтическими по х конечнозонными решениями уравнения Кортевега-де Фриза.

Ащ — Uj-xx + = О, приводятся многочисленные примеры его применения, а также рассматривается динамика по. тюсов двз-хзонных эллиптических, но х решений уравнения КдФ. Этот метод основан: а) на доказанной во второй главе теореме о редукции многомерной тэта-функции Римана к эл. липтической тэта-фуикции п-ного порядка и б) на нспользовании кривых специа. ньного вида, называемых кривыми Кричевера.

Эти кривые впервые возникли в работе И. М. Кричевера [75], посвяп1, енной эллиптическим по X решениям уравнения Кадомцева-Петвиашвили (KIT). Поскольку уравртение КдФ, как и уравнение Буссинеска, есть частный случай уравнения КП, то кривые Кричевера для уравнения КдФ образуют подмножество в мнон<-естве кривых Кричевера для уравнения КП. Впоследствии автору удалось сформулировать условие, эффективно выделяющее подмножество кривых Кричевера для уравнения КдФ из мнолчества кривых Кричевера для уравнения КП.

В отличие от метода анзаца Кричевера-Эрмита этот метод не предполагает наличие информации о положении и кратности полюсов функции Бейкера-Ахиезера. Именно поэтому автором были найдены не только известные к тому времени потенциалы Ламе и Требиха-Вердье, но и новые, неизвестные ранее конечнозонные эллиптические потенциаты, не являющиеся изоспектральной деформацией известных.

Самым простым двухзонным эллиптическим потенциалом, не являющимся изоспектральной деформацией потенциалов Ламе и Требиха-Вердье и не приводимым к ним изменением решетки периодов, является потенциал и{х, 0) = 6р (а-) + 2р{х + 8) + 2р (х — 5) — 4p^), где р{5) есть корень уравнения.

1 бООрл! — Шд-2р' «10 885зр' + IQQIV' + 1 765 253Р + QAgl + gl = О, или р'{25) = -Зр'{6).

Инварианты д2 и дл накрываемой эллиптической поверхпости FQ связаны с p{o) стедуюищми соотношениями {р = p{o), q = p{2o)): д2 Л 20р' - 4pq — AqA.

Кра.я зон спектра оператора Шредиигера с данным пoтeнциaJЮM находятся в точках q ел л4,5 = 2p~2q± /{4лллр)а+2р).

Впоследствии существование конечнозонных эллиптических потенциалов второго тина было переоткрыто другими исследователями [116 .

Во втором разделе автор обобщает метод анзаца кривых Кричевера на случай эллиптических, но 1 решений уравнения КдФ. Как оказалось, существует два различных анзаца кривых Кричевера и, соответственно, два различных к. ласса эл, лиитических по 1 решений уравнения КдФ. Основным раз. тичием этих двух классов является наличие у кривых Кричевера из анзаца II и, соответственно, у эллиптических по 1 решений уравнения КдФ из анзаца II дополнительного свободного параметра.

Другое раз. чичие между двумя анзацами становится заметным при исследовании двухзонных решений уравнения КдФ. По кривым Кричевера из анзаца I можно построить одно эллиптическое и по х, и по t двухзонное репхение уравнения КдФ, а по кривым Кричевера из анзаца II — два различных эллиптических по и ни одного эллиптического по х. Иначе говоря, если алгебраическую кривую рода 2 можно представить в виде кривой Кричевера из анзаца I для эллиптических по t решений уравнения КдФ, то ее такл<�е мол<�но представить в виде кривой Кричевера для эллиптических по х решений этого же уравнения. А если кривую рода 2 можно представить в виде кривой Кричевера из анзаца II для эллиптических по 1 решений уравнения КдФ, то ее такл<-е мол<:но представить в виде другой кривой Кричевера из этого л<�е анзаца.

Здесь надо такл<�е отметить, что очень важным моментом в процессе построения эллиптического, но 1 решения уравнения КдФ является выбор локального параметра в окрестности бесконечно удаленной точки Рос, поскольку свойство периодичности по, А конечнозонного решения уравнения КдФ существенно зависит от этого выбора.

В третьем разделе рассматривается уравнение Гойна у / 7 6 е с1у а/Зг — д г- +~г—77 +~г~—~а) Т- + г{г7~—1—г —ЛаУ = О.

1 + а + / 3 — 7 — 5 —? = 0, которое является уравнением класса Фукса с четырьмя особыми точками О, 1, а,.

Это уравнение как показап Дарбу [Ш 134, с помощью эллиптической замены переменной может быть сведено к уравнению Шредингера с эллиптическим потенциалом. Нетрудно показать, что при.

1 N Л N 1.

7 = 5=—т2, л= Ту- «аз, то.

N = тЛа +1711+т2 + тз, этот э. плиптический потенциал будет потенциалом Требиха-Вердье 3 и{х) = то{т.о + 1) р (х) + а ?7гДтА + 1) р{х — сАД, т. е. конечнозонным эллиптическим потенциалом, хорошо известным в настоящее время. Интересно, что Вердье и Требих пришли к рассмотрению этого класса потенциалов, ничего не зная о работах Дарбу и исходя из совершенно иных идей.

Используя свойства собственных функций оператора Шредингера с потенциалом Требиха-Вердье, автор нашел к. ласс точных решений уравнения Гойна, названных им «конечнозонными». В работе рассмотрены некоторые свойства этих решений и приведены многочисленные примеры.

В этом же разделе приводится новое доказательство конечнозонности потенциалов Требиха-Вердье для любых целочисленных значений тЛ.

В четвертой главе рассматриваются конечнозонные эллиптические решения уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП) 4.

Пу.

1 3 Щ и Буссинеска.

Зпуу + [пххх — &ииА.)А = 0.

Первый раздел посвяхцен эллиптическим по х решениям этих уравнений. Как и уравнение КдФ, уравнение Буссинеска является частным случаем уравнения КП. Поэтому кривые Кричевера для уравнения Буссинеска также образуют некоторое подмпой-сество в множестве кривых Кричевера для уравнения КП. Однако найти условие, эффективно выделяюп1, ее это подмножество, удагюсь только для случая 52 = О, когда накрываемая эллиптическая кривая яв. тяется эквиаигармонической.

Что касается общего случая, то тут следует воспользоваться методом анза-ца Кричевера-Эрмита, т. е. начинать решение задачи не с анзаца спектральной кривой, а с анзаца собственной функции дифференциального оператора третьего порядка. При этом надо учитывать, что, как доказано автором, за исключением специальных случаев, не существует конечнозонных эллиптических решений уравнения Буссинеска с начальнылш данными, имеющими полюса только в полупериодах тора.

Во втором и в третьем разделах четвертой главы понятие кривой Кричевера обобщается на случай эллшптических по 1А и эллиптических по у конечнозонных решений уравнения КП. Как и в случае эллиптических по 1 решений уравнения КдФ, в каждом из разделов предлагается по два анзаца кривых Кричевера, один из ко']'орых служит для построения однопараметрического семейства эллиптических по I или по у конечнозонных решений.

Пятая глава также состоит из трех разделов. В первом разделе вводятся определения кривых Кричевера для конечнозонных эллиптических по х решений «расщепленного» нелинейного уравнения Шредингера (НШ).

•ЛР1+Рхх — 2ра^ = О, Щ — Чхх + 2рд2 = о и «расщепленного» модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (МКдФ).

Ру + Рххх — брдрх = О, -Ь Чххх — брЯЯх = 0.

Предчагаются два анзаца кривых Кричевера отличающихся распо. ложением на них существенных особенностей функции Бейкера-Ахиезера. Если кривая принадлежит анзацу I, то обе существенные особенности находятся «над» одной и той же точкой тора, а если анзацу П, то «над» двумя разными. Выде. иенные точки меняются местами при действии заданной на кривой Кричевера голоморфной ИНВО. Г1ЮЦИИ. Для каждого из анзацев приведены примеры кривых Кричевера, а также спектральных кривых эллиптических по х конечнозонных решений уравнений НШ и МКдФ.

Во втором разделе пятой главы исследуются свойства оператора Дирака с эллиптическим конечнозонным потенциалом. Хорошо известно, что интегрируемое не. чинейное дифференциальное уравнение является условием совместности двух.линейных. Для уравнений НШ и МКдФ одним из линейных уравнений является оператор Дирака, А матрица Паули, а (х, 1, у) — потенциал: где сгз = уО ¦гу / о р (х, 1, у).

ХХУ) = д{х, 1, у) О)'.

Поэтому, конечнозонность и эллиптичность решения р{х, 1, у) и д{х, 1, у) уравнения НШ означает конечнозонность и эллиптичность потенциала оператора Дирака а{х, 1, у).

Во втором разделе обобщается анзац Кричевера-Эрмита на случай эл. липтиче-ских потенциалюв оператора Дирака. С помощью теоремы о редукции многомерной тэта-функции к эллиптической доказывается, что: а) все потенциа, 11ы, полученные методом анзаца Кричевера-Эрмита, принадлежат только анзацу П, а функции р{х, 1, у) и д{х, 1, у) в этом случае являются эллиптическими функциями второго рода по переменной хб) для всех эллиптических потенциалов, принадлежащих анзацу I, функции р{х, 1, у) и д{х, 1, у) являются эл. пиптическими мероморфными функциями.

В заключение раздела рассмотрена динамика полюсов конечнозонных эллиптических регпений уравнения НШ. Оказывается, что и для анзаца I, и для анзаца П полюса Ху{Ь) конечнозонного эллиптического решения уравнения НШ удовлетворяют динамике интегрируемой системы частиц «Калоджеро-Мозера». Слова «Калоджеро-Мозера» взяты в кавычки, т.к. соответствующий гамильтониан, в отличие от случая уравнения КдФ, имеет вид.

1 «.

А = 2БААЧАА52А (АА" А1).

Т.е. для вещественных х и I полюса Х]{1) эллиптического решения уравнения НШ не отталкиваются друг от друга, а наоборот, притягиваются друг к другу. И следовательно, с физической точки зрения, динамика полюсов эллиптических решений уравнений КдФ (периодические колебания) и НШ (коллапс) совершенно различна, несмотря на схол<�есть формул для гами.тьтонианов.

В третьем разделе пятой главы понятие кривой Кричевера обобщается на случай э. тлиитических по, а решений уравнения НШ. Как показано автором, для уравнения НШ существует уже четыре различных анзаца кривых Кричевера, отличающиеся друг от друга следующими характеристиками:

I. существенные особенности функции Бейкера-Ахиезера находятся «над» разными точками накрываемого тора;

II. существенные особенности функции Бейкера-Ахиезера находятся «над» разными точками накрываемого тора и решение зависит от донолнит (ть-ного свободного параметра;

III. существенные особенности функции Бейкера-Ахиезера РА находятся «над» одной и той же точкой накрываемого тора;

IV. существенные особенности функции Бейкера-Ахиезера находятся «над» одной и той же точкой накрываемого тора и решение зависит от дополнительного свободного параметра.

В каждом из анзацев выделенные точки меняются местами при действии заданной на кривой Кричевера голоморфной инволюции.

Как и в случае двухзонных эллиптических по t решений уравнения КдФ, по кривым Кричевера рода 2, не имеющим свободного параметра, может быть построено э. ллиптическое и по х, и по Адвухзопное решение уравнения НШ. При этом анзацу I эллиптических по t решений уравнения НШ соответствует анзац II эл. типтических по х. а анзацу III эллиптических, но t — анзац I эллиптических по X. Н опять, как и для уравнения КдФ, необходимо правильно выбрать локальные параметры в окрестности бесконечно удаленных точек РА, т.к. от этого выбора зависит свойство периодичности по t конечнозонных решений уравнения НШ.

В шестой главе рассматриваются вещественные э. члиптические решения следующих уравнений;

1) sine-Gordon.

2) sinh-Gordon глхх — APtt = shv?;

3) si lie-La place rxx + лtt = svdip;

4) sinh-Laplace I.

Члхх + (/u = -shv';

5) sinh-Laplace II xx +iptt =.

В нервом разделе анзац кривых Кричевера обобщается на случай эллиптических решений уравнений sine-Gordon и sine-Laplace. Как и для уравнения НШ, рассматриваются два анзаца кривых, в зависимости от положения полюсов абе-левых дифференциалов второго рода. В анзаце I выделенные точки кривой Кричевера Р ж Q находятся «над» одной и той же точкой эллиптической кривой, а в анзаце II — «над» двумя разными, отличающимися на полупериод накрываемой эл-лиш'ической кривой. Обе выделенные точки неподвижны относительно заданных на накрывающей кривой голоморфной и ант иг о. г 1 оморфной инволюций. Показано, что анзац Лэмба и обобщенный анзац Лэмба являются частным случаем п = 2.

Во втором разделе анзацы кривых Кричевера для уравнений sine-Gordon и sine-Laplace модифицируются таким образом, чтобы, но ним можно было построить эллиптические решения уравнений sine-Laplace, sinh-Laplace I и sinh-Laplace П. Основное отличие от предыдущего случая заключается в том, что выделенные.

15 точки Р И Q неподвижны относительно голоморфной инволюции и меняются местами при антиголоморфной.

В каждом из разде. лов для каждого из анзацев приведены примеры кривых Кричевера и спектральных кривых.

Седьмая глава, посвященная периодическим конечнозонным решениям цепочки Тода, также как и первая, носит вспомогательный характер. В первом разделе рассматривается, с точки зрения теории накрытий, задача построения периодических по п конечнозонных решений цепочки Тода. Результаты, полученные этим методом, совпадают с уже известными.

Из аксиоматики конечнозонных решений уравнения цепочки Тода вытекает, что по кривым Кричевера, ассоциированным с эллиптическими по ж решениями уравнений НШ и МКдФ, можно строить эллиптические по t решения уравнения цепочки Тода. Поэтому второй раздел седьмой главы, посвященный эллиптическим по 1 решениям уравнения цепочки Тода, представляет собой ссылку на соответствующий раздел пятой г. павы.

В приложении, состоящем из трех разделов, перечислены все простейшие эллиптические конечнозонные потенциалы оператора Шредингера, их кривые Кричевера и их спектральные поверхности.

В нервом разделе приведены все, с точностью до сдвига х x+uJj, простейшие (О, А А 3) эллиптические конечнозонные потенциалы Ламе и Требиха-Вердье и их канонические спектральные поверхности. Несмотря на то, что автором вычислено более двухсот спектров потепциалов Ламе и Требиха-Вердье (О, а а 6), мы не вк лючили соответствующие результаты в текст работы, с тем чтобы ее объем не превышал разумных пределов.

Во втором разделе перечислены все, с точностью до изоспектральной деформации, п-эллиптические (2 а п, а 10) потенциалы Ламе и Требиха-Вердье и приведены значения постоянных для кривых Кричевера, ассоциированных с данными потенциалами. Также здесь находятся данные по двенадцатилистному накрытию, ассоциированному с «учетверенным» дв}'хзонным потенциалом Ламе. Более подробно кривые Кричевера для потенциалов Ламе и Требиха-Вердье с п, а 6 рассмотрены в п. 3.1.2.

В последнем разделе приложения перечислены, без подробностей и без учета изоспектральной деформации, все п-эллиптические (2 а п, а 10) потенциалы второго типа. Д. тя бо. пьшинства потенциалов приведены значения постоянных ЛА, позволяющие, в случае необходимости, построить кривые Кричевера и спектрАшь-ные кривые данных потенциалов. Подробнее нотенциалы второго типа с п, А 5 рассмотрены в п. 3.1.3.

Автор благодарит В. Б. Матвеева, А. Р. Итса и В. З. Эпольского за полезные обсуждения. Автор также благодарит А. Т1эебиха (Л.Тге1ЫсЬ) и Ф. Гештези (Р.Сез21е8у) за оттиски и препринты.

1. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R. M. Methodfor solving the Korteweg-deVries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V.19. P.1095−1097.

2. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure AppL Math. 1968. V.21. P.467−490.

3. Захаров B.E., Шабат A.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1971. Т.61, вып.1. C.118-I34.

4. Захаров В. В., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза ~ вполне интегрируемая гамилътонова система // Функцион. ансишз и его прил. 1971. Т.5, вып.4. С. 18−27.

5. Новиков СП. Периодическое уравнение Кортевега-де Фриза // Функцион. анализ и его прил. 1974. Т.8, вып.З. С.54−66.

6. Дубровин Б. А., Новиков СП. Периодический и условно-периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // ЖЭТФ. 1974. Т.67, вып.6. С.2131−2143.

7. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // ДАН СССР. 1974. Т.217, вып.2. С.276−279.

8. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Матем. сборник. 1974. Т.95, вып.З. С.331−356.

9. Lax P.D. Periodic solutions of KdV equation // Lect. in AppL Math. 1974. V.15. P.85−96.

10. Lax P.D. Periodic solutions of Korteweg-de Vries equation // Comm. im Pure and AppL Math. 1975. V.28. P.141−188.

11. Итс A.P., Матвеев В. Б. Оператор Хилла с конечным числом лакун и многосолитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ. 1975. Т.23, вып.1. С.51−64.

12. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Об операторах Хилла с конечным числом лакун // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т.9, вып.1. С'.60−70.

13. Дубровин Б. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т.9, вып.З. С.41−52.

14. МсКеап Н., van Moerbeke P. The spectrum of Hills’s equation // Invent, math. 1975. V.30, no.3. P.217−274.

15. LITC A.P., Матвеев В. Б. Об одном классе региений уравнения КдФ //В кн.: Проблемы математической физики. 8. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.

16. Захаров В. Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

17. Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков СП. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН. 1976. Т.31, вьш.1. С.55−136.

18. Кричевер И. М. Коммутирующие дифференциальные операторы и конечнозонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили // ДАН СССР. 1976. Т.227, вып.2. С.291−294.

19. Козел В. А., Котляров В. П. Почти-периодические решения уравнения «sine-Gordon» II ДАН УССР, сер.А. 1976, вып.10. С.878−881.

20. Итс А. Р. Обраш, ение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений II Вестник ЛГУ, сер. Мат.-мех.-астр. 1976. Т.7, вьш.2. С.39−46.

21. Итс А.P., Котляров В. П. Об одном классе решений нелинейного уравнения Шредингера II ДАН УССР, сер.А. 1976, вып.11. С.965−968.

22. УМН. 1977. Т.32, вып.6. С.183−208. 2.5. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии II Функцион. анал[из и его прил. 1977. Т.11, вып.1. С.15−31.

23. Кричевер И. М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения II УМН. 1978. Т. ЗЗ, ВЫП.4. С.215−216.

24. Matveev V.B., Yavor M.I. Solutions presque periodique et N-solitons de l’equation hydrodynamique non lineaire de Каир Ц Ann. Inst. H. Poincare, Sec.A. 1979. V.31, no.l. P.25−41.

25. Дубровин Б.A., Иатанзон СМ. Веш, ественные двухзонные решения уравнения sme-Gordon // Функцион. анализ и его прил. 1982. Т.16, вып.1. С.27−43.

26. Бобенко А. И., Матвеев В. Б., Салль М. А. Нелокальные уравнения Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Нет.виашвили // ДАН СССР. 1982. Т.265, вып.6. С.1357−1360.

27. Бикбаев Р. Ф., Бобенко А. И., Итс А. Р. О конечнозонном интегрировании уравнения Ландау-Лившица // ДАН СССР. 1983. Т.272, вып.6. С. 1293−1298.

28. Бобенко А. И. Вещественные алгебро-геометрические решения уравнения Ландау-Лившица в тэта-функциях Прима II Функцион. анализ и его прил. 1985. Т. 19, вып.1. С.6−19.

29. Липовский В. Д., Матвеев В. В., Смирнов А. О. О связи меэюду уравнения. ии Кадомцева-Петвиашвили и Джонсона jI Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1986. Т.150. С.70−75.

30. Кричевер И. М. Спектральная теория «конечнозонных» нестационарных операторов Шредингера. Нестационарная модель Пайерлса II Функцион. анализ и ei’o прил. 1986. Т.20, вып.З. С.42−54.

31. Короткий Д. А. Конечнозонные решения стационарного аксиально-сильметричного уравнения Эйнштейна в вакууме II ТМФ. 1988. Т.77, вып.1. С.25−41.

32. Короткий Д. А., Матвеев В. Б. Алгеброгеометринеские решения уравнений гравитации II Алгебра и анализ. 1989. Т.1, вып.2. С.77−102.

33. Кричевер И. М. Спектральная теория двумерных периодических операторов и ее приложения II УМН. 1989. Т.44, вып.2. С.121−184.

34. Короткий Д. А. Конечнозонные решения SU (IJ) и SU (2) уравнений дуальности и их аксиа. аъно-сим.метричные стационарные редукции 11 Матем. сборник. 1990. Т.181, вып.7. С. 923 -933.

35. Korotkin D.A. Self-dual Yang-Mills fields and deformation of algebraic curves II Comm. in Math. Phys. 1990. V.134. P.397−412.

36. Черданцев И. Ю., Шарипов P.A. Конечнозонные решения уравнения Бул.1о-Додда-Жибера-Шабата // ТМФ. 1990. Т.82, вып.1. С.155−159.

37. Белоколос Е. Д. Задача Пайерлса-Фрелиха и конечнозонные потенциалы. Ill ТМФ. 1980. Т.45, вып.2. С.268−275.

38. Белоколос Е. Д. Задача Пайер. чса-Фрелиха и конечнозонные потенциалы. П II ТМФ. 1981. Т.48, вып.1. С.60−69.

39. Кричевер И. М. Модель Пайер. юа // Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, вьга.4. С.10−26.

40. Бразовский CA., Дзялошинский И. Е., Кричевер И. М. Точно решаемые дискретные модели Пайерлса // ЖЭТФ. 1982. Т.83, вып.1. С.389−415.

41. Дзялошинский И. Е., Кричевер И. М. Эффекты соиз. иеримости в дискретной. модели Пайерлса // ЛОТФ. 1982. Т.83, вып.5. С.1576−1581.

42. Дзялошинский И. Е., Кричевер И. М. Звук и волна зарядовой плотности в дискретной модели Пайерлса // ЖЭТФ. 1983. Т.85, вып.11. CJ771−1789.

43. Белоколос Е. Д., Петрина Д. Я. О связи методов ттроксимирующего гамильтониана и конечнозонного интегрирования //ТМФ. 1984. Т.58, вып.1. С.61−71.

44. Co. stabile G., Parmentier К.ГЗ., Savo В., McLaughlin D.W., Scott A.С. Exact solutions of the sine-Gordon equation describing oscillations m a long (but finite) Josephson junction // AppL Phy.s. Lett. 1978. V.32. P.587−589.

45. Белоколос Е. Д., Энольский В. З. Классификация нелинейных волн в контакте До1Созефсона // Физика многочастичных систем. 1982. Т.2. С.3−25.

46. Fore. st G., McLaughlin D. Spectral theory for the periodic sine-Gordon equation: a concrete view point 11 J. Math. Phys. 1982. V.23, no.7. P.1248−1277.

47. Pelka J., Zagrodzinski J. Phenomenological electrodynamics of the Josephson junction // Physica B. 1989. V.154. P.125−139.

48. Бобенко A.И. Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения II УМН. 1991. Т.46, вып.4. С.3−42.

49. ВоЬепко A. L А\ constant mean curvature ton in «Ш?, S’A, H’A in terms of theta-function II Math. Ann. 1991. V.290. P.209−245.

50. Короткий Д.A., Резник В.A. Поверхности Бъянки в и деформации гиперэллиптических кривых II Мат. заметки. 1992. Т.52, вып.З. С.78−88.

51. Белоколос Е. Д., Энольский В. З. Обобщенный анзац Лэмба // ТМФ. 1982. Т.53, вып.2. С.271−282.

52. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Редукции многомерных тэта-ф)укнкций и симметрии алгебраических кривых / / ДАН СССР. 1983. Т.272, вып.1. С. 13−17.

53. Бобенко А. И. О периодических конечнозонных решениях уравнения sine-Gordon Il Функцией, анализ и его прнл. 1984. Т.18, вып.З. С.74−75.

54. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, в тэта-функциях Якоби и симльетрии алгебраических кривых II Известия АН СССР, сер.Математическая. 1985. Т.49, вып.З. С.511−529.

55. Смирнов А. О. Вешественные конечнозонные регулярные решения уравнения Каупа-Буссинеска Ц ТМФ. 1986. Т.66, вып.1. С.30−46.

56. Матвеев В. Б., Смирнов А. О. О простейших тригональных решениях уравнений Буссинеска и Кадомцева-Петвиашвили II ДАН СССР. 1987. Т.293, вып.1. С.78−82.

57. Matveev V.B., Smirnov А. О. On the Riemann Theta function of a trigonal curve and solutions of the Boussinesq and KP equations // Lett, in Math. Phys. 1987. V.14. P.25−31.

58. Матвеев В. Б., Смирнов А. О. Симметрийные редукции Q-функций и некоторые их прилолсения к нелинейному уравнению Шредингера и уравнению Буссинеска II В кн.- Распространение ватн. Теория рассеяния (Проблемы математической физики, вып. 12). 1987. С.225−236.

59. Белоколос Е. Д., Бобенко А. И., Матвеев В. Б., Энольский В. З. Алгеброгеометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений II УМН. 1986. Т.41, вып.2. С.3−42.

60. Смирнов А. О. Матричный аналог теоремы Аппеля и редукции многомерных тэта-функций Романа II Матем. сборник. 1987. Т.175, вып.7. С.382−391.

61. Смирнов А. О. Конечнозонные решения абелевой цепочки Тода рода 4 и 5 в эллиптических функциях // ТМФ. 1989. Т.78, вып.1. С.11−21.

62. Belokolos E.D., Bobenko A. L, Enol’skii V. Z., Its A.R., Matveev V.B. Algebro-geometrical approach to nonlinear evolution equations. Springer Ser. Nonlinear Dynamics. Springer. Berlin, Heidelberg, New York, 1994.

63. Калоджеро Ф., Дегасперис A. Спектральные преобразования и солитоны. M: Мир, 1985.

64. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

65. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи М.: Мир, 1987.

66. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

67. Ныоэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

68. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемы уравнения. М.: Наука, 1991.

69. Боголюбов Н. М., Изергин .4.Г., Корепин В. Е. Кореляциоиные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. М.- Наука, 1992.

70. Airault H., McKean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the KdV equation II Comm. Pure Appl. Math. 1977. V.30. P.95−148.

71. Choodnov, sky D.V. Meromorphic solutions of nonlinear partial differential equations and particle integrable systems // J. Math. Phys. 1979. V.20, no. l2. P.2416−2424.

72. Кричевер И.M. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиаихвили и интегрируемые системы частиц Ц Функцией, анализ и его прил. 1980. Т. 14, вып.4. С.45−54.

73. Olshanetsky M. А., Perelomov A.M. Classical integrable fimtedimensional systems related to Lie algebras Ц Phys. Reports 1981. V.71, no.5. P.313−400.

74. Итс A.P., Энольский B.3. 0 динамике системы Калоджеро-Мозера и редукции гиперэллиптических интегралов к эллиптическим интегралам II Функцион. анализ и его прил. 1986. Т.20, вып.1. С.73−74.

75. Eilbeck J.С., Enobskii V.Z. Elliptic Baker-Akhiezerfunctions and application to an integrable dynamical system Ц J. Math. Phys. 1994. V. 35, no.3. P. 1192−1201.

76. Eilbeck .EC, Enol’skii V.Z. On the two-gap locus for tne elliptic Calogero-Moser model 113. Phys. A. 1995. V.28. P.1069−1088.

77. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

78. Darboux G. Sur une equation lineaire // C R. 1882. T. XCIV, № 25. P.1645−1648.

79. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физмалтиз, 1961.

80. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1967.

81. Тайманов И. А. Об эллиптических решениях нелинейных уравнений II ТМФ. 1990. Т.84, вып.1. С.38−45.

82. Verdier J.-L. AAew elliptic solitons II Algebraic Analisys. V.2. 1988. Academic Press, Boston, MA. P.901−910.

83. Treibich A. Tangential polinomials and elliptic solitons 11 Duke Math. J. 1989. V.59, no.3. P.611−627.

84. Treibich .A., Verdier J.-L. Solitons elliptiques II Progr. Math. (The Grothendieck I’estschrift, vol. 3) 1990. V.88. Birkhauser-Boston, Boston, MA. P.437−480.

85. Treibich A., Verdier J.-L. Revetements tangentiels et sommes de nombres triangulaires Il С. R. Acad. Scr Paris. 1990. V.311, Ser. I. P.51-.54.

86. Treibich A. Revetements exceptionnels et sommes de Jf nombres triangulaires Ц Duke Math. J. 1992. V.68. P.217−236.

87. Смирнов A.O. Эллиптические решения уравнения Кортевега-де Фриза II Мат. заметки. 1989. Т.45, вып.б. С.66−73.

88. Белоколос Е. Д., Энольский В. З. Изоспектральные деформации эллиптических потенциалов Ц УМН. 1989. Т.44, вып.5. С.155−156.

89. Белоколос Е. Д., Энольский В. З. Эллиптические солитоны Вердье и теория редукции Вейерштрасса // Функцион. анализ и его прил. 1989. Т.23, вып. Е С.57−58.

90. Enol’skii V.Z., Kostov N.A. On the geometry of elliptic solitons II Acta Appl. Math. 1994. V.36. P.57−86.

91. Belokolos E.D., Enol’skii V.Z. Reduction of theta function and elliptic finite-gap potentials II Acta Appl. Math. 1994. V.36. P.87−117.

92. Smirnov .4.0. Finite-gap elliptic solutions of the KdV equation // Acta Appl. Math. 1994. V.36. P.12,5−166.

93. Смирнов A.O. Оператор Дирака с эллиптическим, потенциалом II Мат. сборник. 1995. Т.186, вып.8. С.134−141.

94. Смирнов A.C. Двухзонные эллиптические решения уравнения Буссинеска // Мат. сборник. 1999. Т.190, вып.5. С.139−157.

95. Gerdt V.P., Rostov N.A. Computer algebra гп the theory of ordinary differential equations of Halphen type // Computers and Mathematics. 1989. Springer. Berlin, Heidelberg. P.277−283.

96. Brezhnev Yu.V. Darboux transformation and some multi-phase solutions of the Dodd-Bullough-Tzitzeica equation: UAt = e-A" // Phys. Lett. A. 1996. V.211. P.94−100.

97. Смирнов A.O. Эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений // Мат. заметки. 1989. Т.46, вып.5. С.100−102.

98. Смирнов А. О. Эллиптические по t решения уравнения КдФ /'/ ТМФ. 1994. Т.100, вып.2. С.183−198.

99. Смирнов А. О. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений // Мат. заметки. 1995. Т.58, вьш.1. С.86−97.

100. Смирнов А. О. Вещественные эллиптические решения уравнения sine-Gordon // Матсм. сборник. 1990. Т.181, вып.6. С.804−812.

101. Смирнов А. О. Вещественные эллиптические решения уравнений, связанных с уравнением sine-Gordon // Алгебра и анаЛтиз. 1996. Т.8, вып.З. С. 196−211.

102. Смирнов А. О. 3-эллиптические решетм уравнения sine-Gordon // Мат. заметки. 1997. Т.62, вып.З.

103. Смирнов А. О. Об одном классе эллиптических решений уравнения Буссинеска // ТМФ. 1996. Т.109, вып.З. С.347−356.

104. Смирнов А. О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и людифицированного уравнения Кортевега-де Фриза /'/ Мат. сборник. 1994. Т. 185, вьш.8. С.103−114.

105. Смирнов А. О. Эллиптические по t решения нелинейного уравнения Шредингера //ТМФ. 1996. Т.107, вып.2. С.188−200.

106. СмирновА.О. Об одном класте эллиптических потенциалов оператора Дирака // Мат. сборник. 1997. Т.188, вьш.1. С.109−128.

107. Gesztesy F., Weikard R. Lame potentials and the stationary (m)KdV Hierarchy. // Math. Nachr. 1995. V.176. P.73−91.

108. Gesztesy F., Weikard R. Picard potentials and Hill’s equation on torus. // Acta Math. 1996. V.176. P.73−107.

109. Gesztesy F., Weikard R. On Picard potentials // Diff. Int. Eq. 1995. V.8, no.6. P.1453−1476.

110. Gesztesy F., Weikard R. Treibich-Verdier potentials and the stationary (m)KdV hierarchy II Math. Z. 1995. V.219, no.3. P.451−476.

111. Gesztesy F., Weikard R. A characterization of elliptic finite-gap potentials // C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. L Math. 1995. V.321, no.7. P.837−841.

112. Gesztesy F., Weikard R. A characterization of ail elliptic solutions of the AKNS hierarchy. Preprint, 1997, 44p.1116. Treil) ich Л. Beyond the exceptional covers and their canonical hyper-elHptic potentials. Preprint, 1999, 43p.

113. Krazer A. Lehrbuch der Thetafunktionen. Teubner, Leipzig. 1903.

114. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гелъдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. Т.26, вып.1. С.113−179.

115. Igusa J. Theta functions Ц Grund. Math. Wiss. Springer. 1972. V.194.

116. Fay J.D. Theta-functions on Riemann surfaces Ц Lect. Notes in Math. Springer. 1973. V.352.

117. Parkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Springer, New York. 1980.

118. Дубровин В. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения ff УМН. 1981. Т.36, вып.2. СЛ1−80.

119. Hurwitz А. Uber algebraische Gebilde mit eindeutige Transformationen in steh II Math. Ann. 1893. V.41. P.403−442.

120. Schmidt F.K. Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen П. Allgememen Theorie der Weierstrasspunkte 11 Math. Zeit. 1938. V.45. P.75−96.

121. Спрингер Дж.

Введение

в теорию римановых повехностей. М.: ИЛ, 1960.170.

122. Бабич М. В. Гладкость вешсственных конечнозонных решений уравнений, связанных с уравнением sine-Gordon // Алгебра и анализ. 1991. Т. З, вып.1. С.57−66.

123. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М.- Мир, 1988.

124. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

125. Курант А., Гурвиц Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

126. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. 1. Paris, Gauthier-Villars. 1914, P.536.

127. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. IL Paris, Gauthier-Villars. 1915, P.228.

128. Комаров И. В., Пономарев Л. П., Славянов СЮ. Сфероидальные и кулоновские сфероида-тьные функции. М.: Наука, 1976.

129. Chandrasekhar S. The mathematical theory of black holes. Oxford University Press, 1983.

130. Абрамов Д. П., Комаров LI.B. Интегральные уравнения и соотношения для кулоновских сфероидальных функций // ТМФ. 1976. Т.29. С.235−243.

131. Зеегер А., Лай В., Славянов СЮ. Вырождение фуксовых уравнений второго порядка II ТМФ. 1995. Т.104. C.95U-960.

132. Kazakov A.Ya., Slavyanov S.Yu. Integral equations for special functions of Heun class II Meth. and Appl. of Anal. 1996. V.3, no.4. P.447−456.

133. Lay W., Seeger A., Slavyanov S.Yu. A generalisation of the Riemann scheme for eqmitions of hypergeometric and Heun class fI Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1997. V.28, no.5. P.641−660.