Е-компактификации, Н-замкнутые расширения и обобщенные близости

Основную роль в настоящей работе играют понятия е-компактифика-ции и е-компактифицируемого пространства, введенные Хехлером в [21]. Приведем их определения (всюду далее рассматриваются только хаусдорфовы пространства). Пусть пространство У является расширением пространства X. Мы говорим, что У — е-компактификация X, если из любого открытого покрытия пространства У можно выделить конечное подсемейство, покрывающее X. Пространства, обладающие е-компактификациями, называются е-компактифицируемыми. Под другими названиями те же понятия были введены и рассмотрены в работах [3] А. В. Архангельского и Хамди М. М. Генеди и [5], [6] А. В. Иванова. Именно, пространство X называется компактным в У [3], если открытые покрытия пространства У обладают свойством, описанным выше. В [3] показано, что компактность X в У равносильна компактности X в замыкании Поэтому в [5] и [б] пространство X предполагается всюду плотным в У, и в этой ситуации У называется относительной компактификацией X, или О/Г-расширением X. Хехлер [21] показал, что расширение У пространства X в том и только в том случае является е-компактификацией X, если У. Незамкнуто и для любого у Е У подпространство {у} иХ пространства У регулярно. В частности, всякое е-компактифицируемое пространство регулярно. Таким образом, е-компактификации являются частным случаем^{У-замкнутых} расширений, и изучение их свойств вполне естественно проводить в рамках общей теории. Незамкнутых расширений. Первая задача, которая здесь возникает, заключается в следующем: выделить из всего множества //" -замкнутых расширений (обозначим его 1К (Х)) данного пространства X его е-компактификации (если они имеются). Для этого необходимо иметь удобное описание всех^{-замкнутых} расширений данного пространства. Краткая история возникающих при этом понятий такова.

Истоком теории //" -замкнутых пространств стал «Мемуар о компактных топологических пространствах» П. С. Александрова и П. С. Урысона, написанный в 1922;1923 гг. (см. [2]), в котором авторы определили. Незамкнутые пространства как пространства, замкнутые во всяком объемлющем их хаусдорфовом пространстве. В работе [13] А. Н. Тихонов доказал, что всякое хаусдорфово пространство содержится в качестве подпространства в. Незамкнутом пространстве, а М. Стоун [22] показал, что всякое хаусдорфово пространство имеет .//-замкнутое расширение. В дальнейшем количество публикаций, посвященных Н-замкнутым пространствам и. Незамкнутым расширениям хаусдорфо-вых пространств, неуклонно возрасталона этом пути естественным образом возникло общее понятие 'Р-замкнутого топологического пространства, то есть такого пространства, которое, обладая топологическим свойством «Р, замкнуто во всяком объемлющем его топологическом пространстве со свойством V. Итак, для всякого хаусдорфова пространства определено множество! К (Х). В данной работе мы ограничиваемся полурегулярными пространствами и полурегулярными Н-замкнутыми расширениями этих пространств (под %[Х) теперь будем понимать именно полурегулярные .Н-замкнутые расширения пространства X), так как этот случай имеет несколько удобных описаний, к которым мы и переходим. В главе 1 применяются три способа построения множества 'К (Х): первый — при помощи разбиений на замкнутые множества гиперабсолюта пространства Xвторой — при помощи^{-структур} на пространстве Xтретий — при помощи обобщенных близостей на нем. Каждый из этих способов обладает своими преимуществами.

Так, конструкции, в которых участвуют гиперабсолют ВХ (то есть множество всех ультрафильтров в топологии пространства X с естественным образом определяемой топологией) и абсолют аХ пространства X (см., например, обзор С. Илиадиса и С. В. Фомина [7]), в полной мере используют замечательные свойства ВХ: компактность, нульмерность, экстремальную несвязность и т. п. Уже здесь первостепенную роль играет топология малых образов открытых множеств, введенная В. В. Федорчуком в [15]. С помощью этих понятий множество 1К (Х) получает простое и прозрачное построение (предложения 1.1.1 и 1.1.2 настоящей работы и текст после них). Сюда же относятся несколько критериев (теорема 1.1.2) локальной Н-замкнутости пространства X (под локально^{-замкнутым} пространством понимается хаусдорфово пространство, каждая точка которого имеет окрестность, замыкание которой Н-замкнуто):

Теорема 1.1.2 Пусть X не Н-замкнутое полурегулярное пространство. Следующие условия равносильны:

I) пространство X является локально Н-замкнутым;

II) множество ВХ аХ замкнутош) ч. у. множество БХ обладает наименьшим элементомпг) пространство X обладает полурегулярным Н-замкнутым расширением с одноточечным наростому) найдется полурегулярное Н-замкнутое расширение У пространства X, нарост У X которого к,-компактен в Уу1) для любого полурегулярного Н-замкнутого расширения У пространства X нарост У X к-компактен в Ууи) абсолют аХ пространства X локально компактен.

При этом (определение 1.1.1) подмножество Р пространства X мы называем к-компактным в X, если из любой системы канонически открытых в X множеств, покрывающей .Р, можно выделить конечную подсистему такую, что .Р С {[УУ—^аг]х)х, и ЗХ — реализация множества 'К (Х) согласно первому способу, то есть множество некоторых разбиений гиперабсолюта ВХ. В этом же разделе доказан следующий критерий е-компактифицируемости:

Теорема 1.1.3 Полурегулярное пространство X е-компактифицируе-мо в том и только в том случае, если среди элементов ч. у. множества 5Х имеются е-разбиения, и в этом случае между полурегулярными е-компактификациями пространства X и е-разбиениями его гиперабсолюта ВХ существует взаимно однозначное соответствие.

В 1974 г. В. В. Федорчук [16] дал решение задачи А. Н. Тихонова (1956 г.): построить все. Незамкнутые расширения данного хаусдорфо-ва пространства аналогично тому, как Ю. М. Смирнов построил [12] все бикомпактные расширения вполне регулярных пространств с помощью пространств близости. В решении этой задачи используются понятия 0-близости, введенной и изученной В. В. Федорчуком в [14] и [15], и^{-структуры} — семейства^{-близостей,} удовлетворяющего некоторым аксиомам [16]. Там же [16] В. В. Федорчук обосновывает естественность ограничения классом полурегулярных пространств. В настоящей работе продолжено изучение понятия .Н" -структуры (предложения 1.3.1−1.3.9 и теоремы 1.3.1−1.3.3). На языке /^-структур критерий е-компактифицируемости выглядит следующим образом.

Теорема 1.3.1 Семейство г] является элементом ч. у. множества НХ, соответствующим полурегулярной е-компактификации пространства X, (и тем самым X е-компактифицируемо) в том и только в том случае, если г] удовлетворяет аксиомам 1е, Пн и Шн.

Здесь НХ — реализация Л (Х) на языке .^-структур, а 1е — новая аксиома, заменяющая (см. раздел 1.3).

Получает свою характеристику в терминах Д" -структур и понятие локально^{-замкнутого} пространства:

Теорема 1.3.3 Полурегулярное пространство X является локально Н-замкнутым в том и только в том случае, если семейство всех в-близостей на X является Н-структурой на X.

Из всех трех способов построения^{-замкнутых} расширений данного пространства способ, основанный на понятии Я-структуры, является наиболее естественной реализацией следующего очевидного соображения: хаусдорфовы расширения пространства X суть не что иное как системы фильтров в топологии пространства X (каждая точка расширения определяется следом на X системы своих окрестностей).

Используя идеи работы [6] А. В. Иванова, можно соединить в одном подходе два предыдущих, а именно, с помощью аксиом, что характерно для метода ^/" -структур, описывать разбиения гиперабсолюта (первый подход). При этом простота метода разбиений сообщается аксиомам: они становятся более короткими и не требующими привлечения понятия^{-близости.} В терминах обобщенных близостей сформулирован еще один критерий е-компактифицируемости:

Теорема 1.4.1 Пусть и Е ИХ. Пространство ВХ/Яи в том и только в том случае будет е-компактификацией пространства X (и тем самым X е-компактифицируемо), если и удовлетворяет следующей аксиоме:

Уе. =>• существуют II Е? и V Е С такие, что [11]х П [Ух = 0.

Здесь ЫХ — реализация 1ЩХ) на языке обобщенных близостей, а Уе — дополнительная аксиома (см. раздел 1.4).

В терминах обобщенных близостей на данном пространстве изложена также глава 2, посвященная продолжению непрерывных отображений хаусдорфовых пространств на их .Я-замкнутые расширения.

Таким образом, теоремы 1.1.3, 1.3.1 и 1.4.1 дают решение первой задачи.

Вторая задача, рассматриваемая в работе, в некоторой степени обратна первой, а именно: показать, что к е-компактификациям во вполне определенном смысле сводятся все. Незамкнутые расширения хаусдорфовых пространств. По крайней мере, при изучении наростов полурегулярных Л-замкнутых расширений можно ограничиться наростами полурегулярных е-компактификаций: к каждому наросту первого типа можно подобрать гомеоморфный ему нарост второго типа.

В [5] А. В. Иванов определил понятие в-полной регулярности пространства X в его расширении У: X называется «-вполне регулярным в У, если для любой точки у € У подпространство {у} и X пространства У вполне регулярно (если для любой точки у? У пространство {у} и X регулярно, то X называется сильно регулярным в У, что в рассматриваемом нами случае расширения У пространства X совпадает с понятием сильной регулярности I в У, введенном в [3]- таким образом, расширение У пространства X в том и только в том случае является е-компактификацией X, если У. Незамкнуто, и X сильно регулярно в У). Поскольку любое полурегулярноеНезамкнутое расширение экстремально несвязного регулярного пространства является его полурегулярной е-компактификацией, содержащей О 5-вполне регулярным образом, то следующая теорема 1.1.5 дает решение второй задачи.

Теорема 1.1.5 Пусть X — полурегулярное пространство и тг: аХ —> X — естественная проекция, ставящая в соответствие ультрафильтру его точку прикосновения, Ях = {х: х? X}. Между ч. у. множествами ЭХ и БаХ существует естественный изоморфизмпри этом если? 5Х и Й? БаХ — соответствующие друг другу при этом изоморфизме элементы, то определяется (ВаХ = ВХ) отображение П: ВХ/Й —> ВХ/Л, совпадающее на аХ с ж и гомеоморфно отображающее нарост (ВХ/Й) аХ на нарост (ВХ/К) X. Кроме того, определив разбиение г пространства ВХ/Й на компакты следующим образом: г = Ях и {{?/}: у? (ВХ/Й) аХ}, получим, что фактормножество (ВХ/Й)/г, снабженное топологией, базой которой является семейство малых образов канонически открытых множесте пространства ВХ/&-, совпадает с пространством ВХ/Я.

С 5-полной регулярностью связан также следующий результат.

Предложение 1.1.7 еХ = /ЗХ ^ X в-вполне регулярно в любой своей е-компактификации.

Здесь еХ — наибольшая полурегулярная е-компактификация пространства X (см. раздел 1.1). В работе [20] К. П. Харт и Дж. Верме-ер привели пример вполне регулярного пространства X, для которого еХ ф (ЗХ. Заметим, что доказательство, приведенное в [20], существенно упрощается с помощью приведенного предложения.

Вторая глава заключает в себе теорию продолжений непрерывных отображений хаусдорфовых пространств на их полурегулярные Н-замкнутые расширения. Уже в разделе 1.2, в котором показано, что полурегулярные^{-замкнутые} расширения хаусдорфова пространства можно упорядочить тем же способом, какой обычно применяется для компактификаций вполне регулярного пространства (см. [17]), вводится понятие непрерывности отображения /: X —> У относительно всюду плотного в X множества Z.

Определение 1.2.1 Пусть X и У — топологические пространства, 2 С X, = X, и X У — некоторое отображение. Назовем f непрерывным относительно Z, если для любой точки х? X и любой окрестности И^ точки у = /(ж) найдется такая окрестность II точки х, что f (Z П II) С УУ.

Непрерывные относительно всюду плотного множества отображения представляют собой частный случай^{-непрерывных} отображений, но более близкими к^{-непрерывным} отображениям оказываются так называемые слабо непрерывные относительно всюду плотного множества отображения.

Определение 2.1.1 Пусть Z С X, = X и /: X —"¦ У — некоторое отображение. Назовем / слабо непрерывным относительно Z, если для любой точки х Е X и любой окрестности точки у = /(х) Е У найдутся такие окрестность II точки х в пространстве X и открытое в Z множество V, что [II П Z]z = [У]г и f (V) С И7.

Взаимные связи между этими понятиями устанавливаются в разделе 2.1 и примере 3.1.3. В разделе 2.2 рассматриваются именно слабо непрерывные относительно X продолжения непрерывного отображения: X —"¦ У на ¿-¿-" -замкнутые расширения /?X и ЬУ пространств X и У соответственно. Критерии продолжимости содержатся в теоремах 2.2.1, 2.2.2 и предложениях 2.2.1, 2.2.3. Среди теорем, доказанных в главе 2, выделим также теорему 2.1.1, касающуюся е-компактифицируемых пространств — основного предмета работы.

Теорема 2.1.1 Пространство X в том и только в том случае е-ком-пактифицируемо, если найдется такой элемент Я? ЭХ, что проекция 7г: ВХ —"• ВХ/Я будет непрерывна относительно аХ. Более того, элементы множества ЗХ<(Яе), где Яе — разбиение, соответствующее еХ, и только они индуцируют непрерывные относительно аХ проекции ВХ на ВХ/Я.

Примеры, приводимые в настоящей работе, поделены на две группы. Первую группу составляют простые для описания примеры, включенные непосредственно в текст в соответствующих местах глав 1 и 2. Вторая группа примеров, которым посвящена глава 3, объединена общей идеей и представляет собой упрощение и развитие примеров 2.3.36 и 2.4.21 книги «Общая топология» Р. Энгелькинга [17]. Графическая наглядность построенного в главе 3 пространства X* позволяет легко получать более сложные пространства на его основе. В разделе 3.1 собраны примеры, поясняющие необходимость некоторых условий, появившихся в формулировках теорем из глав 1 и 2. В разделе 3.2 рассмотрены некоторые особенности вполне регулярных пространств, для которых выполнено равенство еХ = (ЗХ (как уже говорилось выше, не все вполне регулярные пространства таковы, и те, для которых равенство еХ = (ЗХ имеет место, образуют отдельный класс). Примеры 3.2.1−3.2.3 устанавливают, что такие пространства не обладают некоторыми обычными свойствами вполне регулярных пространств: являясь промежуточными между вполне регулярными и нормальными пространствами, они могут терять свое свойство (еХ = /ЗХ) при образовании сумм и произведений, при переходе к подпространству (даже канонически замкнутому или открытому всюду плотному). В этой же главе доказана и теорема 3.2.1, касающаяся пространства регулярных концов данного регулярного пространства (аХ в обозначениях П. С. Александрова [1] — в настоящей работе это пространство обозначается ЯХ).

Теорема 3.2.1 Если пространство ЯХ полурегулярно и Н-замкнуто, то пространство X е-компактифицируемо иЯХ = еХ — наибольшая полурегулярная е-компактификация пространства X.

В разделе 3.3 рассматриваются некоторые свойства операции взятия наибольшей полурегулярной е-компактификации еХ. В частности, доказана.

Теорема 3.3.1 Конечная сумма полурегулярных е-компактифицируемых пространств Х-, г = 1,., п е-компактифицируема, и справедливо равенство е (©?=1Хг-) = ©-?=1еХ*.

Выше мы видели, что любое е-компактифицируемое пространство регулярно, но обратное неверно: любое некомпактное 7^-замкнутое пространство (здесь 71 обозначает регулярность — см. выше определение «Р-замкнутых пространств) регулярно, но не е-компактифици-руемо. С другой стороны, К. П. Харт и Дж. Вермеер в [20] привели пример е-компактифицируемого, но не вполне регулярного пространства. Поэтому класс е-компактифицируемых пространств является промежуточным между классами регулярных и вполне регулярных пространств. Следовательно, для того чтобы лучше понять место е-компактифицируемых пространств среди регулярных пространств и найти удобную внутреннюю характеристику е-компактифицируемо-сти, имеет смысл рассматривать другие топологические свойства, промежуточные между регулярностью и полной регулярностью. В разделе 3.4 вводится сильная регулярность — топологическое свойство, которое строго сильнее регулярности и слабее (по крайней мере, нестрого) полной регулярности и которое сохраняется суммами, произведениями и переходом к подпространству (теорема 3.4.1) — е-компактифицируемость также сохраняется этими операциями. В разделе 3.4 приведен пример е-компактифицируемого, но не сильно регулярного пространства. Однако автору неизвестно, влечет ли сильная регулярность е-компактифицируемость, как в случае полной регулярности. Вообще, представляется, что на этом пути естественно искать более слабые достаточные условия е-компактифицируемости, чем полная регулярность или свойство быть совершенным прообразом вполне регулярного пространства (см. [20]).

1. Александров П. С. О понятии пространства в топологии. Успехи мат. наук. 1947. Т. 2(17). С. 5−57.

2. Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука, 1971.

3. Архангельский А. В., Хамди М. М. Генеди. Начала теории относительных топологических свойств. Общая топология. Пространства и отображения. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 3−48.

4. Величко Н. В. Н-замкнутые топологические пространства. Ма-тем. сб. 1966. Т. 70(1). С. 98−112.

5. Иванов А. В. Относительно компактные расширения вполне регулярных пространств. Труды ПГУ, Серия «Математика». 1996. Вып. 3. С. 79−87.

6. Иванов А. В. О К-расгиирения и обобщенные близости. Труды ПГУ, Серия «Математика». 1997. Вып. 4. С. 76−84.

7. Илиадис С., Фомин С. В. Метод центрированных систем в теории топологических пространств. Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. Вып. 4. С. 47−76.

8. Матюшичев К. В. Простейший пример вполне регулярного не нормального пространства. Труды ПетрГУ, Серия «Математика». 1997. Вып. 4. С. 97−98.

9. Матюшичев К. В. О вполне регулярных пространствах, для которых еХ = /ЗХ. Труды ПетрГУ, Серия «Математика». 1999. Вып. 6. С. 46−56.

10. Матюшичев К. В. О е-компактификациях и е-компактифицируемых пространствах. Сиб. Мат. Журнал. 2000. Т. 41. Вып. 4. С. 886−894.

11. Матюшичев К. В. Н-структуры и е-компактификации. Труды ПетрГУ, Серия «Математика». 2000. Вып. 7. С. 54−69.

12. Смирнов Ю. М. О пространствах близости. Матем. сб. 1952. Т. 31. С. 543−576.

13. Тихонов А. Н. Uber die topologische Erweiterung von Raumen. Math. Ann. 1929. T. 102. C. 544−561.

14. Федорчук В. В. Совершенные неприводимые отображения и обобщенные близости. Матем. сб. 1968. Т. 76(4). С. 513−538.

15. Федорчук В. В. Об Н-замкнутых расширениях пространств 6-близости. Матем. сб. 1972. Т. 89(3). С. 400−418.

16. Федорчук В. В. Задача А. Н. Тихонова о классификации Незамкнутых расширений. Fundam. Math. 1974. Т. 86. С. 69−90.

17. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

18. Brandenburg Н., Mysior A. Short proof of an internal characterization of complete regularity. Canad. Math. Bull. 1984. V. 27(4). PP. 461−462.

19. Chaber J. Remarks on open-closed mappings. Fundam. Math. 1972. V. 74. PP. 197−208.

20. Hart. K. P., Vermeer J. Non-Tychonoff e-compactifiable spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 89(4). PP. 725−729.

21. Hechler S. H. On a notion of weak compactness in non-regular spaces. Studies in Topology (N. M. Stavrakas and K. R. Allen, eds.), Academic Press, New York. 1975. PP. 215−237.

22. Stone M. H. Application of the theory of Boolean rings to general topology. Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. PP. 375−481.pOOf'T1' ' 'i Г’ч j'¦':!<�л ?30 ??> 9- РЛ.