О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В работе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с разрывной правой частью.

Методы исследования. Работа опирается на исследования в теории задачи Коши и топологического строения пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также в теории гомологий. Для исследования геометрии пространств решений дифференциальных уравнений и включений в работе используются методы топологии и функционального анализа.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

Сформулирован принцип продолжения по параметру для нового варианта метода сдвига вдоль траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий доказывать существование решений краевых задач для уравнений и включений с разрывной правой частью.

Доказаны теоремы о существовании решения задачи Дирихле, периодического решения и решений некоторого класса задач с нелинейными краевыми условиями для дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью. Доказанные теоремы обобщают известные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носят характер законченных результатов.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации доказаны результаты, распространяющие известные теоремы существования решений краевых задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений на дифференциальные уравнения и включения с разрывной правой частью. Проделанная работа представляет собой определенный шаг в построении достаточно полной теории уравнений с разрывной правой частью.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре им. П. С. Александрова (научно-исследовательском семинаре по общей топологии) механико-математического факультета МГУ (неоднократно).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 70 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 41 наименование.

1. Зуев А. В. О задаче Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной правой частью. Диф. уравнения, 2006, Т. 42, № 3, С. 320−326.

2. Зуев А. В. О периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Мат. заметки, 2006, Т. 79, В. 4, С. 560−570.

3. Зуев А. В. О краевой задаче с нелинейными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Вестник МГУ, сер. 1, Мат., мех., 2006, № 2, С. 23−29.

4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М. Л.: ГОНТИ, 1938.

5. Зуев А. В., Филиппов В. В. О задаче Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Диф. уравнения, 2005, Т. 41, № 6, С. 755−760.

6. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

7. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

8. Теория систем с переменной структурой / под ред. Емельянова С. В. М.: Наука, 1970.

9. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

10. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд. МГУ, 1988.

11. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, Т. 151, № 1, С. 65−68.

12. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях. Диф. уравнения, 1979, Т. 15, № 10, С. 1814−1823.

13. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Мат. сборник, 1960, Т. 51, № 1, С. 99−128.

14. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

15. Филиппов А. Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями. Мат. заметки, 1980, Т. 27, В. 2, С. 255−256.

16. Филиппов А. Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями. Диф. уравнения, 1979, Т. 15, № 6, С. 1018−1027.

17. Филиппов В. В. Замечание о непрерывности зависимоти решений дифференциального включения у' G F{t, у) от правой части. Вестник МГУ, сер. 1, Мат., мех., 1995, № 3, С. 16−21.

18. Филиппов В. В. Об ацикличности мноэюеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Доклады РАН, 1997, Т. 352, № 1, С. 28−32.

19. Филиппов В. В. О гомологических свойствах множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Мат. сборник, 1997, Т. 188, № 6, С. 139−160.

20. Филиппов В. В. О дифференциальных включениях второго порядка. Фундаментальная и прикладная математика, 1994, Т. 3, № 2, С. 587−623.

21. Филиппов В. В. О задаче Дирихле для векторного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, № 8, С. 1057−1068.

22. Филиппов В. В. О существовании периодических решений. Мат. заметки, 1997, Т. 61, В. 5, С. 769−784.

23. Филиппов В. В. О теореме Ароншайна. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, № 1, С. 75−79.

24. Филиппов В. В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывами по пространственным переменным. Диф. уравнения, 1997, Т. 33, № 7, С. 885−891.

25. Филиппов В. В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Мат. сборник, 1994, Т. 185, № 11, С. 95−118.

26. Филиппов В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд. МГУ, 1993.

27. Филиппов В. В. Смесь методов Лерэ Шаудера и Пуанкаре — Андронова в задаче о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. Диф. уравнения, 1999, Т. 35, № 12, С. 1709−1711.

28. Филиппов В. В. Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 1993, Т. 48, № 1, С. 103−154.

29. Филиппов В. В. Что лучше в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, метод Лерэ Шаудера или сдвиг вдоль траекторий? Jиф. уравнения, 2001, Т. 37, № 8, С. 1049−1061.

30. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

31. С. Caratheodory. Vorlesungen uber reelle Funktionen. 2-ie Aufl., Leipzig, 1927.

32. J.L. Davy. Properties of the solution set of a generalized differential equation. Bull. Austral. Math. Soc., 1972, v. 6, № 3, pp. 379−398.

33. C. Fabry. Nagumo conditions for systems of second-order differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1985, v. 106, № 1, pp. 132−143.

34. V.V. Filippov. Basic topological structures of ordinary differential equations Dordrecht Boston — London: Kluwer Academic Publishers, 1998.

35. R.E. Gaines, J. Mawhin. Ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions. Journal of Differential Equations, 1977, v. 26, № 2, pp. 200−222.

36. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. On the theorem of S. Bernstein. Pacific Journal of Mathematics, 1978, v. 74, № 2, pp. 67−82.

37. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. Some general existence principles in the Caratheodory theory of nonlinear differential systems. Journal de Math? matiques pures et appliquees, 1991, t.70, f. 2, p. 153 a 196.

38. A. Granas, R.B. Guenther, J.W. Lee. Topological transversality II. Application to the Neumann problem for y" = f (t, y, y'). Pacific Journal of Mathematics, 1983, v. 104, № 1, pp. 95−109.

39. J. Mawhin. Boundary value problems for nonlinear second-order vector differential equations. Journal of Differential Equations, 1974, v. 16, № 2, pp. 257−269.

40. M. Nagumo. Uber das System der gewdhnlicher Differentialgleichungen. Japanese Journal of Mathematics, 1927, v. 4, № 4, pp. 215−230.

41. S.K. Zaremba. Sur certaines families de courbes en relation avec la theorie des equations differentielles. Ann. Soc. Polon. Math., 1937, 15, pp. 83−100.