Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела

Актуальность темы

.

Диссертация посвящена вычислению глобальных топологических инвариантов слоений Лиувилля для известных случаев интегрируемости механики твердого тела. В работе находят активное практическое применение ранее предложенные методы вычисления инвариантов (метод круговых молекул [1, 2] и формула Топалова [3]), а также демонстрируются новые подходы и технические приемы.

Механика твердого тела ведет свою историю с 1765 года, когда Л. Эйлером [4] была поставлена и решена задача о движении тела, закрепленного в центре масс в поле тяжести. Выдающиеся математики разных эпох, в их числе Лагранж, Кирхгоф, С. В. Ковалевская, Н. Е. Жуковский, А. М. Ляпунов, С. А. Чаплыгин, Л. Н. Сретенский и другие, внесли в ее развитие свой вклад. По сегодняшний день механика твердого тела остается одной из динамически развивающихся классических областей физико-математической науки.

В наши дни в механике твердого тела можно выделить четыре основных направления исследований:

1. Поиск новых случаев интегрируемости, в том числе с привлечением компьютерных методов, получение полного списка интегрируемых систем (X. М. Яхья [5, 6], Соколов [7, 8], Т. Вольф, О. В. Ефимовская [9],.

A. В. Борисов, И. С. Мамаев [10] и др.).

2. Изучение интегрируемых систем с привлечением алгебраических методов, исследование свойств представлений в форме Лакса и спектральных кривых (М. Оден [11], Ю. А. Браилов [12], А. В. Борисов, И. С. Мамаев [10], В. В. Соколов, А. В. Цыганков [13] и др.).

3. Исследование топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификация особенностей, построение бифуркационных диаграмм и определение типов бифуркаций, вычисление локальных и глобальных инвариантов слоений Лиувилля, траекторных инвариантов (А. Т. Фоменко, X. Цишанг [14], А. В. Болсинов [15], А. А. Ошемков [16, 17],.

B. С. Матвеев [18], М. П. Харламов [19], П. Топалов [3], О. Е. Орел [20], П. Е. Рябов [21, 22, 23, 24] и др.).

4. Изучение и компьютерное моделирование систем близких к интегрируемым, КАМ-теория (В. В. Козлов [25, 26], А. В. Борисов, К. В. Емельянов [27], А. И. Кирьянов [28] и др.).

Данная диссертационная работа принадлежит к третьему направлению: она посвящена развитию техники вычисления глобальных инвариантов ли-увиллевых слоений — инвариантов Фоменко-Цишанга [1, 14] — и ее практическому применению для нахождения полного списка инвариантов ряда известных случаев интегрируемости. Инвариант Фоменко-Цишанга также называют меченой молекулой или тонким лиувиллевьтм инвариантом.

Вычисление инвариантов слоений в простейших случаях Эйлера и Лагран-жа проводится прямыми методами [1], однако для более сложных систем потребовалось создание специальной техники. В работе [2] А. Т. Фоменко, А. В. Болсинов, П. Рихтер предложили метод круговых молекул и успешно применили его для вычисления инвариантов волчка Ковалевской. Ранее.

П. Топалов [3] нашел формулу, устанавливающую связь между топологией несущего трехмерного многообразия и инвариантом Фоменко-Цишанга, что позволило ему полностью вычислить меченые молекулы для случая Жуковского.

В настоящей диссертации показано, как комбинация этих двух подходов, с привлечением некоторых дополнительных соображений и технических приемов, позволяет вычислить полный список инвариантов Фомепко-Цишанга в случаях интегрируемости Клебша [29], Стеклова [30], Соколова [7], а также Ковалевской-Яхьи [5, 6] при нулевом интеграле площадей.

Цель работы.

Вычисление полного списка инвариантов Фоменко-Цишанга и круговых молекул особенностей, классификация невырожденных положений равновесия для интегрируемых систем Клебша, Стеклова, Соколова и Ковалевской-Яхьи (при нулевом интеграле площадей). Практическое применение и обогащение техники вычисления глобальных лиувиллевых инвариантов.

Методы исследования.

В работе используются методы топологического анализа интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы. При проверке невырожденности положений равновесия используются методы линейной алгебры и классической дифференциальной геометрии с привлечением компьютерных пакетов символьных вычислений.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Вычислены все инварианты Фоменко-Цишанга случаев интегрируемости Клебша, Стеклова, Соколова, а также Ковалевской-Яхьи при нулевом интеграле площадей.

2. Вычислены все круговые молекулы вышеперечисленных интегрируемых систем.

3. Получено доказательство невырожденности и дана классификация точек положения равновесия систем.

4. Получено топологическое доказательство изоморфности слоений Ли-увилля систем Эйлера, Клебша и Стеклова для ряда значений параметров.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные результаты могут быть использованы для установления изоморфизмов лиувиллевых слоений различных интегрируемых систем, при изучении возмущений исследованных систем, в том числе неинтегрируемых. Полное описание круговых молекул может быть полезно при составлении списка наиболее типичных особенностей слоений в интегрируемых задачах механики и физики. Подробно описанная и продемонстрированная на конкретных примерах техника вычислений глобальных топологических инвариантов может быть применена при классификации слоений других случаев интегрируемости.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Киев, 2003), Международный семинар имени Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей» (Казань, 2002). Результаты также докладывались на конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006), на заседаниях Воронежской зимней математической школы им С. В. Крейна (Воронеж, 2002), на геометрическом семинаре проф. Книппера (Бохумский университет, Германия, 2003), на семинаре «Динамические системы» под руководством проф. А. М. Сте-пина (мех-мат МГУ, 2001), на семинаре «Некоммутативная геометрия и топология» под руководством проф. А. С. Мищенко (мех-мат МГУ, 2006), а также многократно на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мех-мат МГУ).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце введения.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложен на 146 страницах и дополняется 10 таблицами и 19 рисунками.

Список литературы

содержит 46 наименований.

1. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. — Изд-во УдГУ, 1999.

2. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской. — Матем. сборник, 2000, т. 191, N 2, с. 3−42.

3. Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела. — Матем. сборник, 1996, т. 187, N 3, с. 143−160.

4. Euler L. Du mouvement de rotation des corps solides autour d’un axe variable. — Memoires de l’academie des sciences de Berlin, 1765, v. 14, pp. 154−193.

5. Yehia H.M. New integrable cases in dynamics of rigid bodies. — Mech. Res. Com., 1986, Vol. 13(3), pp. 169−172.

6. Яхья X.M. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата. Вестник МГУ, сер. матем., механ., 1987, № 4, с. 88−90.

7. Соколов В. В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа. Теоретическая и математическая физика, 2001, т. 129, N 1, с. 31−37.

8. Соколов В. В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so (4) Доклады РАН, сер. матем., 2004, Том 394, N 5.

9. Wolf Т., Efimovskaya O.V. Classification of Integrable Quadratic Hamiltonians on e (3). — Regular and Chaotic Dynamics, 2003, v. 8, N 2, pp. 1−7.

10. Борисов A.B., Мамаев И. С. Обобщение случая Горячева-Чаплыгина. — Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v. 7, N 1, pp. 1−10И. M. Оден Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем. — Ижевск, Изд-во УдГУ, 1999.

11. Браилов Ю. А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли Матем. сборник, 2003, т. 194, N И, с. 3−16.

12. Соколов В. В., Цыганков А. В. Пары Лакса для деформированных волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. — Теоретическая и математическая физика, 2002, т. 131, N 1, с. 118−125.

13. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т. 54, с. 546−575.

14. Болсинов А. В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. — Матем. сборник, 1995, т. 186, N 1, с. 3−28.

15. Ошемков А. А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. — Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1988, вып. 23, с. 122−132.

16. Ошемков А. А. Вычисление инварианта Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. — Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1993, вып. 25, часть 2, с. 23−110.

17. Матвеев B.C. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа седло-седло и фокус-фокус — Матем. сборник, 1996, т. 187, N 4, с. 29−58.

18. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988.

19. Орел О. Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем Горячева-Чаплыгина. — Матем. сборник, 1995, т. 186, N 2, с. 105−128.

20. Харламов М. П., Рябов П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи. — Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т.2, № 2.

21. Orel О.Е., Ryabov Р.Е. Bifurcation Sets in a Problem on Motion of a Rigid Body in Fluid and in the Generalization of This Problem — Regular and Chaotic Dynamics, 1998, v. 3, N 1, pp. 82−91.

22. Ryabov P.E. Bifurcation Sets in an Integrable Problem on Motion of a Rigid Body in Fluid — Regular and Chaotic Dynamics, 1999, v. 4, N 4, pp. 59−76.

23. Рябов П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова. — Теоретическая и математическая физика, 2003, т. 134, N 2, с. 207−226.

24. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Наука, 1978.

25. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, изд-во УдГУ, 1995.

26. Борисов А. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. — Ижевск, Изд-во УдГУ, 1995.

27. Борисов А. В., Кирьянов А. И. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Математические методы в механике. М., МГУ, 1990, с.13−18.

28. Clebsch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Fliissigkeit. — Math. Ann., Leipzig, 1871, N3, S. 238−262.

29. Стеклов B.A. О движении твердого тела в жидкости. — Харьков, 1893.

30. Nguyen Tien Zung. A note on degenerate corank-one singularities of integrable Hamiltonian systems. — Commentarii Mathematici Helvetici, 2000, N 75 pp. 271−283.

31. Жуковский H.E. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью — В томе 1 «Собрания сочинений». Т. 1, 2. Москва, 1949.

32. Kowalevski S. Sur une propriete du syst&ne d’equations differentielles qui definit la rotation d’un corps solide d’un poimt fixe — Acta Math. 1889, v.14, p. 81−93.

33. Чаплыгин C.A. Новый случай вращения твердого тела, подпертого в одной точке. В томе 1 «Собрания сочинений1' (тома 1, 2). ОГИЗ, M.-JI., 1948.

34. Горячев Д. Н. О движении тела вокруг неподвижной точки в случае, А = В = АС — Матем. сборник, 1900, т. 21, N 3.

35. Сретенский JI.H. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом. — Вестник МГУ, 1963, N 3.

36. Морозов П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, 2002, т. 193, N 10, с. 113−138.

37. Морозов П. В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа — Матем. сборник, 2004, т. 195, N 3, с. 69−114.

38. Морозов П. В. Вычисление инвариантов Фоменко-Цишанга в случае Ковалевской-Яхьи. — Матем. сборник, в печати.

39. Морозов П. В. Тонкая лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи. — Вестник МГУ, сер. матем. и мех., в печати.

40. Погосян Т. И., Харламов М. П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении тела в линейном поле сил. — ПММ, 1979, т.43, N 3, с. 419−428.

41. Погосян Т. Н. Построение бифуркационных множеств в одной задачи динамики твердого тела. — Мех. тверд, тела, вып. 12, Киев: Наукова думка, с. 9−16.

42. Погосян Т. И. Области возможности движения в задаче Клебша. Критический случай. — Мех. тверд, тела, 1983, вып. 15, Киев: Наукова думка, с. 3−23.