Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах

Актуальность темы

Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение, в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.

Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки.

Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех дви’жений (изомет.рий) С пространства М действует транзитивно на М.

Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу = {дг € СУ|дх = х} группы движений С. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе С с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Я вида группы С связано некоторое однородное пространство с группой изометрий С? — множество.

М = С/Я левых классов смежности группы С по подгруппе Я, на котором С действует по формуле д (аН) = (да)Нд, а? С.

Это однородное пространство называется фактор-пространством группы С по подгруппе Я, а подгруппа Я становится стабилизатором точки еН = Я этого пространства, где е — единица группы С.

Любое однородное пространство М с группой изометрий С можно отождествить с фактор-пространством группы С по подгруппе Я = С^., являющейся стабилизатором фиксированной точки х е М.

Вариационные задачи имеют обширную предысторию, потому здесь ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так в работах [7, б] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные пространства М с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства С/Я связных групп Ли (7 по их компактным подгруппам Я, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы G на G/Я метрикой Карно-Каратеодори-Финслера. Всякая такая метрика dc задается вполне неголономным G-инвариантным распределением Д на пространстве M = G/H и G-инвариантной (финслеровой) нормой на линейном подпространстве Д (р) касательного к Л/ в точке р пространства Мр.

Условие вполне неголономности распределения Л вследствие теоремы Рашевского-Чжоу можно выразить требованием, того чтобы любые две точки из М можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся распределения Л, также такой путь называется горизонтальным.

В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Л векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру Ь = Х°°{М) бесконечно дифференцируемых касательных к М векторных полей, а их линейная оболочка И ф Ь, т. е. Д ф Т (М), тривиальному касательному распределению над М. На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С°°(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х°°(М), при том, что Д ф Т (М).

Метрика Лс определяется формулой где Срдмножество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в М = С?/Я, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки р, д из М. Финслеровы метрики йс характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных СЯ-путей в С/Я относительно метрики (1С. Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то (С?/Я, с? с) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой.

Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см. [10], [19], [13].

F = F (p,-)-, peG/H 5.

Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В. Н. Берестовского [5], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой. Как следствие упомянутых результатов, левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоиивариаитиыми метриками.

Карно-Каратсодори-Финслера.

Возможно, всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших — однородное финслерово многообразие. Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств.

В недавних работах [35, 24] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа. В частности в [24] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах. В работе [25] исследовалась задача нахождения минимума функционала f* F (x, y, yx)dx в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям.

Группы Ли с левоиивариаитной иеголономной метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении рассматривались в работах P.C. Стричардса [38], А. М. Вершика и В. Я. Гершковича [13, 39], В. Н. Берестовского [9].

В работах [8], [9] В. Н. Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Гейзенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2. Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала: на плоскости Е2, где к-геодсзическая кривизна кусочно регулярной кривой х (з), параметризованной длиной дуги, с помощью построения левоиивариаитной пеголоиомной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения её геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями. Также высказано было мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского. е.

В свое время А. М. Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой.

Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия. Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики.

Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина.

Цель работы.

1. Ставится вопрос о связях геодезических группы Гейзенберга с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства. Плоскость Грушина, двумерное пространство с метрическим элементом хг.

2. Также исследуются две инвариантные вариационные задачина расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостями Лобачевского и Евклида, связанные с поисками экстремальных кривых х (э) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов § у/1+ кЦ{})с1з и /(1+ «*(*))&.

3. Проводится проверка уравнением Эйлера-Пуассона решения инвариантной вариационной задачи для функционала / у/1+ «2(5)6^ на кривых плоскости Евклида.

Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии, принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем: 7.

1. Найдены в явном виде уравнения Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала на расслоении над плоскостью Лобачевского.

2. Проведено исследование свойств решений, часть их найдена в явном виде.

3. Проведено методом принципа максимума Понтрягина исследование вариациоиной задачи для функционала jyi + «2(s)ds.

4. Найдены геодезические плоскости Грушина,.

5. Показана субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ds2 = dr2 4- Adz21 г2, сохранение проекцией длин спрямляемых кривых.

6. Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом на оси z отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина.

7. Сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики ds2 = dr2 + Adz2/г2 Грушина с центром в нуле плоскости.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы для исследований вариационных задач на пространствах с определенными свойствами.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5-и печатных работах [31], [29], [33], [32],[34]. Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [30].

Апробация работы проведена на следующих конференциях: 37-й региональной молодёжной конференции (ЗО-янв.-З февр. 2006, Урал), XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (НГУ, 2005), Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (30 авг. — 3 сент. 2004, Новосибирск, Ин-т математики СО РАН) .

Структура и объем работы.

Диссертационная работа, содержащая 61 страницу, состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, составляющего 39 наименований.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос. издат. тех.-теор. лит., 1955.

2. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М. Наука 1964.

3. Беллман Р., Кук. К. Дифференциально-разностные уравнения //М. 1967.

4. В. Н. Берестовский Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны //Сиб.мат. журн. 1987 т. 28, N 4, С. 45−49.

5. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 6. С. 17−29.

6. Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, № 2. С. 268−271.

7. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14−28.

8. Берестовский В. Н. Геодезические иеголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы пространства Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 3−12.

9. Берестовский В. Н. Геодезические левоипвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1223- 1230.

10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. M.-JL: Гос. тех. теор. изд-во, 1933.

11. Математическая энциклопедия //т.4 изд-во М. Наука.

12. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко Математическая теория оптимальных процессов Ц М. Наука, 1969.

13. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // М.: ВИНИТИ. 1987.

14. Гельфанд И. М., Фомин C.B. Вариационное исчисление // М.: Физматгиз, 1961.

15. Файзуллин P.P., Берестовский В. Н. Проблемы теоретической и прикладной математики. // Труды 37-й региональной молодежной конференции (30 января 3 февраля 2006 г.). Екатеринбург: Ин-т механики и математики УрО РАН, 2006. С. 88.

16. Берестовский В. Н, Файзуллин P.P. Расслоение над плоскостью Лобачевского // Известия Челябинского научного центра. Январь-март 2007. Вып. 1 (35). С. 27−32.go.

17. Файзуллин P.P. О связи неголономной метрики на группе Гейзенберга с метрикой Грушина // Сиб. мат. журнал. 2003. Т. 44, № 6. С. 1377−1384.

18. Файзуллин P.P. О расслоении над плоскостью Лобачевского // Материалы XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2005. С. 87.

19. Файзуллин P.P. Инвариантные вариационные задачи на некоторых однородных пространствах. // Вестник Омского университета. 2007. № 3. С. 17−21.

20. Bellaiche A. The tangent space in Sub-Riemannian geometry //Progress in Mathematics. V.144: Sub-Riemannian Geometry (ed. Bellaiche A., Risler J.-J.) .BaselBostonBerlin:Birkhauscr, 1996. P. 1−78.

21. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds // Tohoki Math. J. (2) 1958. V. 10 P. 338−345-II 1962. V. 14 P. 146−155.

22. Strichartz R.S. Sub-Riemannian Geometry // J. Diff. Geom. 1986. N 24. P. 221−264.

23. Vershik A.M., Berestovskii V.N. Manifolds with intrinsic metric and nonholonomic spaces // Advances in Soviet Mathematics. 1992. N 9. P. 253−267.6i.