Топологии Гротендика и пучки на упорядоченных множествах

Основные объекты исследования данной работы — категорные аналоги и обобщения понятия топологического пространства, названные нами (К, т)-пространствами, являются предпучками множеств на категории К. Топология Гротендика т задает на них различные структуры, отражающие специфику изучаемой ситуации. Особое внимание уделяется пространствам Майкла, то есть (К, т)-пространствам, удовлетворяющим условиям типа паракомпактности.

Анализируются структуры подпространств (К, 1)-пространства, группы когомологий с коэффициентами в пучке, когомологические размерности, определяются группы гомологий. На основе общего категорного понятия вялости [44] вводятся и изучаются классы вялых и мягких пучков, а также вялая и мягкая размерности (К, т)-пространств. Основные результаты относятся к случаю, когда категория К является квазиупорядоченным множеством, то есть малой категорией, множество морфизмов между любыми двумя объектами которой не более, чем одноэлементно.

Частными случаями групп когомологий (К, Т)-пространств являются производные функторы обратного предела спектров абелевых групп. Как известно [80], важным для их изучения понятием является понятие вялого спектра, определяемое по аналогии с вялыми пучками на топологических пространствах. Сами же производные функторы обратного предела не только служат аппаратом, используемым в алгебраической топологии и гомологической алгебре, но и являются объектами исследования в рамках теории размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [67].

Каждому топологическому или равномерному пространству можно многими способами сопоставить (К, т)-пространство. Мы делаем это таким образом, что получаемые (К, Т)-пространства являются пространствами Майкла, то есть в некотором смысле паракомпактными. Применяя общие результаты о (К, Т)-пространствах, мы получаем теоремы о когомологиях и когомологических размерностях топологических и равномерных пространств, размерности Бредона, о непрерывных и равномерно непрерывных отображениях. Важной характеристикой (К, т)-пространства является тот факт, что некоторое множество его подпространств образует полную брауэрову решетку, в другой терминологии — фрейм.

Таким образом, представляемое исследование лежит на стыке общей теории пучков и пучковых когомологий на сайтах, когомологической теории вялой и мягкой размерностей, теории производных функторов обратного предела, когомологической теории частично упорядоченных множеств, теории когомологий и теории размерности топологических и равномерных пространств. Каждая из этих. областей активно развивается.

Основное из связанных с топологией направлений в теории фреймов основано на том, что фреймом является множество открытых подмножеств топологического пространства. Поэтому понятия и результаты общей топологии, при получении которых можно ограничиться рассуждениями с открытыми множествами, переносятся на фреймы, как, например, в работах [52], [53], [57], [62], [78], [79], [90].

Когомологии и гомологии частично упорядоченных множеств развиваются как из внутренних потребностей теории, так и в целях обобщения имеющихся топологических результатов, а также самых разных приложений [10], [16], [47], [63], [71], [74], [55], [76], [92], [95], [96]. Особое направление составляет теория гомологической размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [48], [49], [67]- библиография по этой теме составляет порядка двухсот работ.

С момента формирования классической теории пучков на топологических пространствах [2], [4], [5], [81], указанная область обогатилась теорией производных категорий, новыми понятиями и приемами, описанными в книгах [69] и особенно [11]. Традиционные темы теории паракомпактных и локально компактных пространств, связанные с гомологиями, когомологиями, в том числе когомологиями Александера — Спеньера, когомологиями с носителями, мягкой размерностью, отражены в работах [17], [20], [21], [22], [54], [58], [59], [70], [82], [86], [88], [97].

Как выяснилось в исследованиях А. Гротендика и его последователей [51], [64], [65], пучковые когомологии определяются небольшим количеством простых свойств класса открытых покрытий данного топологического пространства. Формализация этих свойств привела к понятию топологии Гротендика на произвольной категории и позволила не только углубить результаты в традиционных для теории пучков областях, но и существенно расширить область ее применения. При этом из-за общности нового понятия пучка объекты исследования весьма разнообразны. В терминах пучков описывались представления групп [3], когомологии слоений [66], свойства динамических систем [91], свойства класса борелевских множеств [93], изучались классы пучков и топосы Гротендика на решетках [94], топологии Гротендика и пучки определялись на 2-категориях [89].

Пара (К, Т), где К — категория, а т — топология Гротендика на К, называется сайтом. Теория пучков на топологическом пространстве совмещается с общей теорией пучков на сайтах следующим образом. Если X топологическое пространство, то множество ОХ его открытых подмножеств рассматривается как множество объектов категории, морфизмами которой служат включения. Стандартная теория пучков получается, если топология Гротендика задается всеми открытыми покрытиями всех и^ОХ. В 1980;х годах автор заметил [23], что если ограничиться классом нормальных покрытий, то получается топология Гротендика на ОХ и содержательная теория когомологий, расширяющая класс топологических пространств, к которым применимы те методы теории пучков, которые до этого были развиты для пара-компактных пространств.

Открытое покрытие топологического пространства называется нормальным или нумерируемым, если имеется подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, или, что эквивалентно, если в него можно вписать локально конечное покрытие конулевыми множествами.

Разбиения единицы широко применяются в топологии и анализе, конечные покрытия конулевыми множествами использовались в теории размерности с начала 1950;х годов. Класс нормальных покрытий оказался полезным в теории расслоений [60], в переносе результатов и конструкций с категории полиэдров на категории более общих топологических пространств и в других ситуациях [1], [6], [56], [73], [75]. В частности, с его использованием были определены нормальные когомологии Александрова — Чеха и нормальная размерность топологического пространства (в обычных определениях класс всех открытых покрытий заменяется на класс нормальных), доказана гомотопическая представимость нормальных когомологий, дана когомологическая характеристика нормальной размерности. Нормальная размерность изучалась в связи с тем, что с одной стороны она является естественным аналогом лебеговской размерности, наследуя многие ее свойства, а с другой — для любого вполне регулярного пространства X она равна лебеговской размерности Стоун — Чеховского расширения |ЗХ.

Размерность топологического пространства была одним из основных понятий, вокруг которых сформировалась и на протяжении десятков лет развивалась общая топология. Она была охарактеризована с помощью групп гомологий, что дало начало гомологической теории размерности, лежащей на стыке общей и алгебраической топологии. Итоги ее развития для локально компактных и паракомпактных пространств подведены в обзорах [13] и [7]. Деятельность в этом направлении продолжается, решаются старые задачи [8], даются новые определения, связанные с когомологическими функторами, отличными от обычных когомологий [61]. Отметим, также, что лебе-говская размерность и ее аналоги, в том числе (ко)гомологические, играют важную роль в активно развивающейся в последнее время асимптотической топологии, где вопросы, связанные с классическими понятиями теории размерности, весьма актуальны [9].

Понятие размерности широко применяется и в гомологической алгебре, причем размерность объекта абелевой категории часто определяется через длины его резольвент того или иного типа. Лебеговская размерность топологического пространства определяется через кратности покрытий и считается основной. С появлением теории пучков выяснилось, что она также может быть выражена через длины резольвент. А именно, если Хконечномерное паракомпактное топологическое пространство, то его лебеговская размерность равна наименьшей длине мягких резольвент постоянного пучка целых чисел над X. Такая характеристика получена за счет особых свойств мягких пучков и факта изоморфности когомологий Александрова — Чеха когомологиям Гротендика, то есть производным функторам функтора перехода от пучка к группе его глобальных сечений. Аналогично, через вялые резольвенты были определены вялая размерность и размерность Бредона [2], [15], связанные с лебеговской. Таким образом, в теории когомологической размерности топологических пространств заработали методы гомологической алгебры и активно развивающейся теории пучков. Были выявлены новые свойства когомологической размерности и существенно обобщены известные ранее.

Некоторые итоги этого этапа были подведены в работах [13], [15], [2]. Упомянутые выше, близкие и аналогично определяемые классы пучков и различные связанные с ними понятия активно изучаются [11]. Задача их изучения по-прежнему остается актуальной.

В описываемом круге вопросов теория пучков применяется к наследственно паракомпактным, а также к локально компактным пространствам, несколько менее эффективно к паракомпактным пространствам. Однако класс паракомпактных пространств не является вполне естественным. Известно, что подпространство паракомпактного пространства может не быть даже нормальным, не нормальным может быть и пространство гладких отображений между двумя многообразиями. В связи с этим и были определены упомянутые выше нормальные когомо-логии и размерность, дающие удовлетворительные результаты для вполне регулярных пространств.

С 1950;х годов изучалась также размерность равномерных пространств (размерность Исбелла), определяемая по аналогии с лебе-говской размерностью по кратностям равномерных покрытий [68]. Позже была построена теория групп когомологий равномерных пространств Чеховского типа [14]. В терминах этих групп была дана когомологическая характеристика размерности Исбелла, что позволило дать содержательное определение когомологической размерности равномерного пространства. Что касается пучков, то обычная теория пучковых когомологий не отражает специфики равномерной структуры, поскольку определяется индуцированной топологической структурой.

Эффективность теории пучков в топологии во многом объясняется фактом изоморфности когомологий Гротендика и Александрова-Чеха. Но это не всегда имеет место даже для «хороших» пространств и групп когомологий. Например, группы когомологий, определяемые по конечным покрытиям, еще в 1940;х годах были использованы для характеристики размерности нормальных пространств [50]. Применяются они и в современных исследованиях. Однако, даже для конечномерных метрических пространств, они не изоморфны, вообще говоря, обычным пучковым когомологиям Гротендика.

Упомянутые выше, а также и другие примеры, связанные, например, с теорией решеток, в том числе фреймов, ставят задачу распространения обычной теории пучков и пучковой когомологической размерности на возможно более широкий класс объектов и топологий Гротендика. Объекты произвольных категорий представляются (К, т)-пространствами. Ограничения же на топологию Гротендика определяются теми свойствами, которыми мы хотим наделить получающуюся теорию.

Схема построения когомологической теории мягкой и вялой размерностей паракомпактных пространств, согласно работам [13], [2] и [15], может быть описана следующим образом. Если X — топологическое пространство, А — абелев пучок на X, и<=Х — открыто, А=Хи, то НП (1Ы) — это (11пГх)и), где Г^Л^ЛО!),^Гц — п-й правый производный функтор Г^. Обозначим через Ац подпучок А, ограничение которого на и совпадает с ограничением, А на И, и который равен 0 вне и, а А^ определим из точной последовательности пучков О—>А—"Лд—"0. Группа Нп (Х, Лд) при некоторых, достаточно слабых, ограничениях на включение А—>Х изоморфна НП (А, Л|А), откуда, как точная последовательность производных функторов, следует точная последовательность пары (Х, А), где А<=Х замкнуто. Если обозначить Гх U (^)={S€^(X)|S|U=0}, то имеется точная слева последовательность О—"Гх ^(Л)—v4(X)—*Л (и)—"0, которая точна, если Л инъективный пучок. Полагая №ПГХ у) (Л)=Нп (Х, и, Л) получаем точную последовательность когомологий пары (X.U). Вялая Л-размерность пространства X определяется, как минимум длин вялых резольвент Л, а размерность Бредона — как sup вялых Л-размерностей по всем пучкам, А на X. Вялая^{-размерность} характеризуется рядом условий, одно из которых такое: она о НП (Х, Л)—>Нп (и, Л) — эпиморфизм для любого открытого U<=X. Вялый пучок ацикличен, точнее, Нп (и, Л)=0=Нп (Х, и, Л) при для любого открытого U<=X, и любой инъективный пучок вял.

Пусть теперь X — паракомпактное пространство. Пучок Л называется мягким, если каноническое отображение Л (Х)—*Лд (Х) является эпиморфизмом для любого замкнутого множества А. Так как X пара-компактно, то всякий инъективный пучок мягок, а всякий мягкий ацикличен, точнее, Нп (Х, Лд)=0 при .

Когомологическая (мягкая)^{-размерность} X — это минимум длин мягких резольвент Л. Если лебеговская размерность dlmXНп (Х, Лд) — эпиморфизм для любого замкнутого А^Х.

Далее теория мягкой размерности паракомпактных пространств строится так. Существенно используя мягкость инъективных пучков и ацикличность мягких, доказывается ряд критериев мягкости, опираясь на которые получаются основные теоремы когомологической мягкой размерности: локально конечной и счетной суммы, Даукера, о монотонности размерности, теорема Ситникова о препятствиях в когомологической форме. Строится спектральная последовательность непрерывного отображения f: X—"Y, сходящаяся к когомологиям пространства X и из нее выводятся теоремы о поведении размерности при непрерывных отображениях и условия когомологической эквивалентности отображения I.

Очевидная параллельность при изложении теорий вялых и мягких пучков и размерностей объясняется и используется так. Пусть СХмножество замкнутых подмножеств паракомпактного пространства X, А — пучок на X, уА абелев предпучок на СХ, задаваемый равенством (X). Тогда мягкость, А — это то же самое, что вялость уА. Если на СХ задать топологию Гротендика, полагая сС={А^<=А| l€l}€V (A) о в сС вписывается локально конечное в X замкнутое покрытие А, то уА становится^{-пучком} и функтор А—>уА из S^ в Sv точен. В [42] доказано, что мягкая Л-размерность X равна минимуму длин вялых резольвент уА.

При реализации этой схемы используются, иногда неявно, следующие важные свойства:

I) Множество ОХ всех открытых подмножеств X, упорядоченное по включению, является фреймом, и сх= «СU^<=Х| i€l} является покрытием U<=X о supcL=XJ в ОХ (то есть «> СССАДХ), где А, — каноническая топология Гротендика на ОХ), так что пучок на X — это то же самое, что Х-пучок на ОХ.

II) В любое открытое покрытие X, то есть в любое сССМХ), вписывается локально конечное замкнутое покрытие X. ill) Если сс локально конечное замкнутое покрытие множества F, А пучок на X, то Н°(сС, хЛ)=Лр (X), где уА задается равенством хЛ (С)=Лс (Х). Точнее, если |1 топология Гротендика на множестве СХ замкнутых подмножеств X, задаваемая локально конечными замкнутыми семействами, то соответствие A-*YA является точным функтором из категории А,-пучков в категорию |Х-пучков. lv) Любое сечение абелева пучка продолжается с замкнутого множества на некоторую его окрестность, или, что равносильно, инъективные пучки являются мягкими.

V) Вялые и мягкие пучки ацикличны.

В ситуации произвольных частично упорядоченных множеств условие (I) очевидно не выполняется, условие (11) нарушается для любых не паракомпактных пространств. Нетрудно привести примеры нарушения условий (111) и (lv). Условие (v), нуждающееся в нетривиальном доказательстве в случае паракомпактных пространств, тем более должно доказываться в более общих случаях.

Опишем технические приемы, позволяющие реализовать эту схему для квазиупорядоченных множеств (обозначения и термины приводятся в основном тексте).

Проще всего добиться выполнения условия (1). Доказывается, что если 1 — терминальный объект категории предпучков множеств на К (в частности, являющийся (К, т)-пространством), то упорядоченное по включению множество его подпространств К. является фреймом,.

I, 'С и имеется функтор J: К—>КЛ, индуцирующий эквивалентность кате.

X I 9 X гории абелевых Т-пучков и категории абелевых канонических пучков на KL. Таким образом, мы можем, не теряя общности, работать в.

I, X ситуации, когда выполняется свойство (1).

Более того, если U любое (К, т)-пространство, то мы трактуем его, как обобщенное топологическое пространство, а его подпространства, как открытые подмножества. Согласно «обобщенной теореме Стоуна» [34] множество К^ ^ является фреймом.

Для работы с аналогами замкнутых множеств, то есть элементами А'€(Ктт, а также локально замкнутых множеств, используется.

U 9 X.

— полурешетка с нулем L-,, из [41], где в качестве L берется.

Кц Ее элементы имеют вид А, ЛВ, где А, ВсКц так что очевидным образом определяется локальная конечность в U семейства {А^сСКу Такие семейства образуют субканоническую топологию v на (Kjj и если Л — т-пучок, то предпучок ^hM), задаваемый равенством ^hM) (А')=Нот?(и, Лд,) является г>-пучком. Условие (11) заменяется на его решеточный аналог, так что удовлетворяющее ему (К, X)-пространство называется пространством Майкла. При его выполнении доказывается, что ghrS^.—*Sv — точный функтор. Свойства (111), (lv), и другие нужные для реализации схемы свойства выводятся из (1) и (11). Для формулировки достаточных условий ацикличности вялых и мягких пучков вводится и анализируется понятие представимых семейств [39], [41].

Если же мы хотим применить указанные результаты к топологическим пространствам, то возникают затруднения, связанные с тем, что в общих топологических пространствах нарушается равенство H°(cC, xH)=/p (X). Поэтому приходится рассматривать подрешетку N<=K°, для каждой пары элементов которой выполняется условие (111), то есть, в соответствие с вводимой терминологией, каждая пара является алгебраически нормально расположенной.

Топологическое условие, влекущее (111), носит название нормальной расположенности. Решеточный анализ его, в контексте топологий Гротендика, вместе с сопутствующим анализом субканонических топологий и понятия локальной конечности, в терминах которого формулируются многие из основных результатов работы, опубликован в [41], а также в [35] и [36]. Алгебраическая нормальная расположенность анализируется в [41] и [37].

Таким образом, общая схема оказывается применимой и к общим топологическим пространствам. Для равномерных пространств не требуется дополнительных топологических рассмотрений.

Диссертация состоит из 4 глав. Глава I содержит 5 параграфов. В ней выявляются топологические, в смысле топологий Гротендика, свойства (К, т)-пространств, используемые далее в теории когомологий и в приложениях.

В § 1 вводится, следуя [64], понятие топологии Гротендика на категории, а также сопутствующие понятия, связанные с предпучками множеств. Формулируются свойства категорий предпучков и пучков множеств и универсальных алгебр и анализируется технически важное понятие т-замыкания. Замечается (теорема 1.4.4), что класс т-замкнутых подпредпучков предпучка множеств является фреймом, если его элементы образуют множество. Формулируется ряд технических результатов о топологиях Гротендика, используемых в дальнейшем. Доказательства часто опускаются, если они тривиальны, либо, в отличие от формулировок, не существенны для дальнейшего. Необходимые подробности содержатся в [34] и [41]. В целом можно сказать, что параграф состоит из удобных для целей дальнейшего изложения переформулировок результатов работ [64] и [65].

В § 2 доказывются теоремы о функторах между категориями, индуцирующими эквивалентности категорий пучков или предпучков. Наиболее часто используется в остальной части работы лемма 2.2.6, являющаяся обобщением леммы сравнения из работы [64], также лемма 2.2.7 [34]. Далее вводится понятие (К, т)-пространства — основного объекта исследований в данной работе, а также связанного с ним понятия Г-пространства. Определяется каноническая пара топологий Гротендика на (К, т)-пространстве, доказываются их общие свойства. В конце параграфа рассматриваются группы гомологий на (К, Т)-пространстве. В качестве базисной теории берутся гомологии Ситни-кова [18]. В частном случае метрического топологического пространства получается формула для ситниковских цепей [19], [29], отсутствующая, как известно, в первоначальном определении Ситни-кова.

В § 3 рассматриваются решеточные аспекты нескольких, основных для дальнейшего, понятий, а также свойств элементов и семейств элементов (К, т)-пространств. Анализируются нормальная вложенность, нормальная расположенность, локальная конечность, представимость. Кроме того, формулируются условия, при которых локально конечные семейства образуют топологии Гротендика. Устанавливается связь условий дистрибутивности с локальной конечностью. Все результаты этого параграфа подробно изложены в работе [41], а также в работах [35], [36].

В § 4 вводится понятие пространства Майкла. Мы выделяем одно из условий, эквивалентное паракомпактности топологического пространства в силу соответствующей теоремы Майкла [12], и кладем его в основу определения. Доказываются топологические свойства пространств Майкла, аналогичные свойствам паракомпактных пространств. Вводится и изучается понятие нормальности в (К, т)-пространстве.

В § 5 рассматриваются свойства замкнутых элементов квазиупо-рядоченых множеств, которыми должны обладать замкнутые подмножества топологических пространств для удобства формулировок некоторых теорем когомологической пучковой теории общих топологических пространств. Выделяется нужный класс замкнутых элементов и доказываются его свойства [41]. Кроме того, доказывается важный для приложений общей теории результат об эквивалентности некоторого свойства А-полурешетки, снабженной топологией Гротендика, тому факту, что сопоставляемое ей (К, т)-пространство является пространством Майкла (лемма 5.2.3). Вводится понятие размерности (К, т)-пространства и относительной размерности замкнутого элемента решетки, по аналогии с лебеговской, по кратности семейств элементов, так или иначе связанных с заданной топологией Гротен-дика.

В целом глава I содержит вспомогательные сведения, небходи-мые для проводящегося в последующих главах анализа когомологий и когомологической размерности.

1. Бартик В. Нормальные когомологии Александрова-Чеха // Труды Тбисисского мат. института. 1978. Т.59. С.20−49.

2. Бредон Г. Теория пучков. М.: Наука, 1988. 312 с.

3. Геронимус А. Ю. Топология Гротендика и теория представлений // Функц. анализ. 1971. Т.5. № 3. С.22−31 .

4. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ, 1961. 319 с.

5. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. 175 с.

6. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976. 463 с.

7. Дранишников А. Н. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1988. Т.43. В.4. С.11−55.

8. Дранишников А. Н. Когомологическая размерность не сохраняется при Стоун-Чеховской компактификации // Докл. Болг. АН. 1988. Т.41. 12. С.9−10.

9. Дранишников А. Н. Асимптотическая топология // Успехи мат. наук. 2000. Т.55. В.5. С.71−116.

10. Ирматов A.A., Трофимов И. А. Гомологии полных брауэровых решеток // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. В.З. С. 159−160.

11. Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997. 656 с.

12. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1968. 383 с.

13. Кузьминов В. И. Гомологическая теория размерности // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23. В.5. С.3−49.

14. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Группы когомологий равномерных пространств // Сиб. мат. журн. 1964. Т. 5. 3. С.565−595.

15. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О когомологической размерности Бредона наследственно паракомпактных пространств // Докл. АН СССР. 1976. Т.231. № 1. С.24−27.

16. Миминошвили М. Р. О когомологиях направленных множеств // Сообщ. АН ГССР. 1985. Т.120. * 3. С.489−492.

17. Окунь Б. А. Гомологическая размерность и последовательность Майера-Вьеториса // Мат. заметки. 1988. Т.43. № 1. С.125−132.

18. Ситников К. А. Закон двойственности для незамкнутых множеств // Докл. АН СССР. 1951. Т.81. № 3. С.359−362.

19. Ситников К. А., Скурихин.Е. Е. Гомологии на предпучках множеств // Труды Мат. Института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1991. Т.196. С.156−160.

20. Скляренко Е. Г. О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19. .№ 6. С.47−70.

21. Скляренко Е. Г. О когомологиях с носителями // Успехи мат. наук. 1996. Т.51. В.1. С.167−168.

22. Скляренко Е. Г. Мягкие пучки цепей для сингулярных гомо-логий // Мат заметки. 1999. Т.54. /6 3. С.396−401 .

23. Скурихин Е. Е. О размерности вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1980. Т.35. * 3. С.224−226.

24. Скурихин Е. Е. К когомологической теории вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1981. Т.36. № 1. С.225−226.

25. Скурихин Е. Е. Нормальные пучки и когомологическая размерность вполне регулярных пространств // Докл. АН СССР. Т.265. № 3. 1982. С.541−544.

26. Скурихин Е. Е. Р-топология и ее приложение к гомологической теории топологических пространств // Ленинградская международная топологическая конференция. Тезисы. Л.:Наука, 1982. С. 146.

27. Скурихин Е. Е. Пучки и когомологические функторы на топологических категориях // Успехи мат. наук. 1984. Т.39. В.5.С. 165−168.

28. Скурихин Е. Е. Некоторые приложения теории пучков к размерности, непрерывным отображениям и когомологиям // V Тирасполь/ский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: Штиинца, 1985. С.222−223.

29. Скурихин Е. Е. Пучки абелевых групп на одном классе топологий Гротендика // Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. Иркутск: изд-во ИГУ, 1985. С.106−117.

30. Скурихин Е. Е. Теория когомологий нормальных пучков, I // Математички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.65−75.

31. Скурихин Е. Е. Теория когомологий нормальных пучков, II. Ацикличные резольвенты и некоторые приложения // Математички Весник. Белград. 1987. Т.39. С.213−224.

32. Скурихин Е. Е. О нормальной когомологической размерности открытых подмножеств вполне регулярных пространств // Успехи мат. наук. 1988. Т.43. В.5. С.213−214.

33. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии предпучков множеств и некоторые их приложения // Труды Мат. Института им. В. А. Стеклова РАН. 1992. Т.193. С.169−173.

34. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и полные брауэровы решетки. Владивосток: Дальнаука, 1993. 218с.

35. Скурихин Е. Е. Нормальная расположенность замкнутых элементов упорядоченных множеств // Дальневосточный мат. сб. 1995. Т.1. С. 18−27.

36. Скурихин Е. Е. Локальная конечность и нормальная вложенность в дистрибутивных решетках // Дальневосточный мат. сб. 1996. Т.2. С.177−186.

37. Скурихин Е. Е. Алгебраическая нормальная расположенность и пучки на дуальной решетке // Дальневосточный мат. сб. 1997.Т.З. С.3−10.

38. Скурихин Е. Е. Когомологии пучков множеств // Школасеминар им. ак. Е. В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 78.

39. Скурихин Е. Е. Вялые пучки и производные функторы обратного предела // Дальневосточный мат. сб. 1998. Т.6. С.3−17.

40. Скурихин Е. Е. Вялые пучки на предпучках множеств // Успехи мат. наук. 1998. Т.53. В.6. С.263−264.41. Скурихин Е. Е. Пучки на нормальных и паракомпактных решетках. Владивосток: Дальнаука, 1998. 145с.

41. Скурихин Е. Е. Лебеговская размерность, как размерность Бредона // Успехи мат. наук. 1999. Т.54. В.2. С.187−188.

42. Скурихин Е. Е. Когомологии и размерность квазиупорядочен-ных множеств // Успехи мат. наук. 2001. Т.56. В.1. С.179−180.

43. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и размерность упорядоченных множеств // Труды Мат. Института им. В. А. Стеклова РАН. 2002. Т.239. С.289−317.

44. Скурихин Е. Е. Вялые пучки и пучковые когомологии равномерных пространств. Владивосток: Дальнаука, 2002. 8 с. (Препринт / ДВ0 РАН. Институт прикладной математики- № 09).

45. Скурихин Е. Е. Пучковые когомологии и размерность равномерных пространств // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. В. 4. С.157−158.

46. Тодуа З. Б. 0 некоторых свойствах групп гомологий дистрибутивных решеток // Сообщения АН ГССР. 1984. Т. 113, Ji2. С. 277−280.

47. Хусаинов A.A. О размерности Хохшильда-Митчела упорядоченных множеств // Сиб. мат. журн. 1992. Т.33. .№ 6. С.211−215.

48. Хусаинов A.A. О глобальной размерности категории диаграмм абелевых групп над линейно упорядоченным множеством // Фунд. Прикл. Мат./1998. Т.4. «2. С.717-Т23.

49. Alexandroff P. On the dimension of normal spaces // Proc. of the Royal Sociaty, ser. A. 1947. V.189. P.11−39.

50. Art In M. Grothendieck topologies. Harvard University, 1962. 135p.

51. Baboolal D., Banaschewski B. Compactlfication and local connectedness or frames // J. Pure and Appl. Algebra. 1991. V.70 J?° 1−2. P.3−16.

52. Banashewski В., Gilmour C. Stone-Cech compactlfication and dlmention theory for regular a-frames // J. London. Math. Soc. 1989. V.39. J* 1. P.1−8.

53. Bourgin D.G., Nehs R.M. Singular Vietoris-Begle theorems for relatolns // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.284. Jt 1. P.281−318.

54. Brlnl A. Some cohomological properties of partially ordered sets // Adv. Math. 1982. V.43.JS 2. P.197−201.

55. Brurmer G. Hindeknistheorie mit Koeffizienten in Garen von lokalen allgemeinen Homotoplegruppen // Rev. roum. math, pures et appl. 1980. V.25. № 3. 299−332.

56. Chen Xiangdong. On the local connectedness of frames // J. Pure and Appl. Algebra. 1992. V.79. № 1. P.35−43.

57. Deo S., Roy A.N. Toutness and locally finitely valued Alexander-Spanier cochains // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.102. № 2. P.426−430.

58. Deo S., Shukla P. On cohomological dimension and the sum theorems // Acta math. hung. 1984. V.43. № 1−2. P. 17−24.

59. Dold A. Partitions of unity in the theory of fibratlons // Annals of Math. 1963. V.78. 2. P.223−255.

60. Dranishnikov A.N. Generalized cohomological dimention of compact metric spaces // Tsukuba J. Math. 1990. V.14. j& 2. P.247−262.

61. Frith J.L. The categorie of uniform frames // Cah. Topol. et Geom. Differ Categor. 1990. V.31. № 4. P.305−313.

62. Goossens P. Combinatorial and homological properties of some posets arising in geometry // Bull. Soc. Roy. Sci. Lieg. 1987. V.56. Jfe 3. P.193−204.

63. Grothendieck A., Artin M., Verdier J.-L. Theorie de topos et cohomology etale de schemas // Lecture Notes Math. Berlin, New York, Heidelberg: Springer, 1972. V.269.

64. Grothendieck A., Artin M., Verdier J.-L. Theorie de topos et cohomology etale de schemas // Lecture Notes Math. Berlin, New York, Heidelberg: Springer, 1972. V.270.

65. Heitch J.L. Coarse sheaf cohomology for foliations // 111. J. Math. 2000. V.44. «6. P.860−867.

66. Husainov A.A. Homological dimension theory of small categories // Journal of Math. Sciences. 2002. V.110. №. P.2273−2321.

67. Isbell J.R. On finite-dimensional uniform spaces // Pacific J. of Math. 1959. V.9. «1. P.107−121.

68. Iversen B. Cohomology of sheaves. Berlin: Springer, 1986. 464 p.

69. Jacobs Ph. A sheaf homology theory with supports // 111. J. Math. 2000. V.44. № 3. P.644−666.

70. Kalmbach G. Ordered sets and homology // Contrib. Gen. Alg. 2. Proc. Klagenfurt Conf. June 10−13, 1982. Wien, Stuttgart. 1983. P.163−178.

71. Lisica Jn., Mardesic S. Steenrod-Sitnlkov homology forarbitrary spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1983. V.9. № 2 P. 207−209.

72. Morlta K. 6ech cohomology and covering dimension for topological spaces // Fund. Math. 1975. V.87. № 1. P.31−52.

73. Navarro G., Juan A. Dulity and finite spaces // Order. 1990. V.6. № 4. P.401−408.

74. Pelant Jan. Locally fine uniformities and normal covers // Cechosl. Math. J. 1987. V.37. jfe 2. P.181−187.

75. Pop I. An application of the abstract 6ech cogomology // Bull. math. Soc. math. RSR. 1984. V.28. № 4. P.369−374.

76. Preuss G. A cohomological characterization of dimension for normal nearness spaces // Categorical topology, Proc. Conf. Toledo, Ohio, 1983. Berlin. 1984. P.441−452.

77. Pultr A. Pointless uniformittles I. Complete regularity // Comment. Math. Univ. Carol. 1984. V.25. № 1. P.91−104.

78. Pultr A. Remarks on metrizable locales // Rend. С ire. mat. Palermo. 1984. V.33. № 6. P.247−258.

79. Roos J.-E. Sur les foncteurs derives de lim. Applications // C. r. Acad. sci. Paris, Ser A. 1961. T.252. № 24. P.3702−3704.

80. Serre J.-P. Faisceaux algebriques coherents // Ann. Math. 1955. V.61. P.197−278.

81. Shneiders Jean-Pierre. Relative paracompactness as tautness condition in sheaf theory // Bull. Soc. roy. Sci. Liege. 1984. V.53. № 3−4. P.179−186.

82. Skurikhin E.E. Finite coverings and Cohomologies of Alexander-Spenier // Quest. Answ. General Topology. 1990. V.8. Spesial Issue. P.303−308.

83. Skurikhin. E.E. Cohomological theories connected withsheaves on Grothendlek topologies // Mathematisches Forshungsinstitut Oberwolfach, Tagungsberlcht. 1985. V.38. P.18−19.

84. Skurikhin. E.E. Sheaf cohomology and dimension oi ordered sets // Kolmogorov and Contemporary Mathematics. Abstracts. M., 2003. P. 855.

85. Spanler E. Cohomology with suppots // Pacif. J. Math. 1986. V.123. № 2 P.447−464.

86. Spanler E. Cohomology theories on spaces // Trans.Amer. Math. Soc. 1987. V.26. № 3. P.263−269.

87. Spanler E. Locally constant cohomology // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. V.329. J* 2. P.607−624.

88. Street R. Two-dlmentlonal sheaf theory // J. Pure and Appl. Algebra. 1982. V.23. № 3. P.251−270.

89. Sun Shu-Hao. On paracompact locales and metric locales // Comment. Math Univ. Carol. 1989. V.30. «1. P.101−107.

90. Than Cho, Tsujishita Toru. Sheaves on the category of periodic observation // Hokkaido Math. J. 2000. V.29. № 3. P.563−584.

91. Todua Z. On some properties of cohomoglcal functor on a complete distributive lattice with coefficients in sheaves // Bull. Georg. Acad. Sci. 2000. V.161. «3. P.373−376.

92. Van Osdol Donovan. A Borel topos // Coh. topol. et geom. differ. 1981. V.22. № 2. P.123−128.

93. Walters R.F.C. Sheafs on sites as Cauchi-Complete categories // J. Pure and Appl. Algemra. 1982. V.24. 1. P.95−102.

94. Yuzvinsky S. Cohomology of local sheaves on arrangement lattices // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1991. V.112. № 2.P.1207−1217.

95. Yuzvinsky S. Flesk sheaves on posets and Cohen-Macauley union of regular varieties. // Adv. Math. 1989. V.73. № 1. P.24−42.

96. Zarelua A.V. Homotopical prorerties oi sheaf resolutions // Rend. Circ. mat. Palermo. 1988. V.37. * 18. P.141−193.