Эргодические и энтропийные свойства бильярдных динамических систем

Системы бильярдного типа (бильярды) являются одним из наиболее важных классов динамических систеы. Любая такая система порождаемся движением точечной частицы внутри ограниченной области 0, с/-мерного евклидова пространства или о1-мерного евклидова тора (о1 Ъ$). Частица движется с постоянной скоростью внутри и отражается от границы по закону «угол падения равен углу отражения» (модуль вектора скорости всегда равен 1),.

Помимо самостоятельного интереса бильярдные системы интересны еще и тем, что естественно возникают в ряде физических моделей. К таковым относятся газ Лоренца (см, ^ [30])9 газ Рэлея (см. [$ 0]) и газ твердых сфер (см. си,.

Граница области С[ в этих моделях обладает одним общим свойством: она выпукла внутрь области в каждой своей регулярной точке (точке гладкости). ч ' '.

Наиболее хорошо изучены т.н. рассеивающие бильярдные системы, т. е. такие, у которых граница области С[ строго выпукла внутрь С[ в регулярных точках. Газ Лоренца, порождаемый движением частицы на торе с вырезанным кругом — типичный пример такой системы. В работах Я. Г. Синая доказано, что рассеивающие бильярды обладают свойствами эргодичности, перемешивания и К-свойством. В работе Л. А. Бунимовича и Я. Г. Синая.

3] исследована скорость убывания корреляций методом марковских разбиений.

Однако ряд физических моделей (газ твердых сфер, газ Рэлея) являются бильярдами в области С[, граница которой нестрого выпукла внутрь С[, т. е. возможны подпространства плоских направлений с нулевой кривизной. Такие бильярды называются полурассеивающими.

Так же, как и в случае гиперболических систем, эргодичес-кие свойства полурассеивающих бильярдов исследуются с помощью трансверсальных слоений или иначе — устойчивых и неустойчивых многообразий (определение приводится ниже). В случае рассеивающих бильярдных систем размерность слоений равна? ¦ В полурассеивающих бильярдах она может быть меньше в зависимости от свойств края.

В главе I исследуются трансверсальные слоения и вычисляется их размерность для общих полурассеивающих бильярдов. Мы предполагаем, что граница Э удовлетворяет следующим условиям (охватывающим все перечисленные выше модели): ^) поверхность 'Э С^ кусочно-гладкая с конечным числом регулярных компонент.

С}2,) в точках пересечения любых двух регулярных компонент % границы вектора нормалей к ним неколлинеарны;

33 граница выпукла внутрь и. Точнее, в каждой регулярной точке С^С^О, оператор К^ второй квад-* ратичной формы поверхности Э (2 по отношению к вектору нормали Я" (С, направленному внутрь области > неотрицательно определен- /.

24 обозначим у М) расстояние в римановой метрике на поверхности 3 0. оот точки С^? 9 до множества и особых точек края эо Тогда для некоторых.

С>0 и $>0 ;

0,5) найдется регулярная точка О,? оС1, для которой.

Фазовое пространство бильярдной системы в области С? есть № = 0. * Б «где Б — (с/- -мерная сфера единичного радиуса (сфера векторов скорости). Точка ЭС € ^^ есть пара х гДв ^ и ?>. Обозначим {Т^}группу временных сдвигов вдоль траекторий системы, ^Г» * - борелев-скую €> -алгебру на и — инвариантную относительно потока {Т^З меру на > эквивалентную мере Лебега (подробное описание см. в § I главы I).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X. Многообразие ^ Т^ 9.

ЭС € называется локальным сжимающимся трансверсальным слоем ([й1] С^О) или локальным устойчивым многообразием ([5 ]}), если для любых X 11 € л7.

I (х-, ас"), где.

С>0 я зависят только от точки ОС, а с{ - риманова метрика / с1х / ^ => I ^ I оМ^ва Ш, .

Для формулировки результатов главы I нам необходимо определить некоторый специальный оператор, который мы называем оператором кривизны точки хеШ. • Этот оператор был введен Я. Г. Синаем в [п]. Оператор кривизны точки определен почти всюду на и действует в (о1- ?3 -мерном пространств^^роходящем через точку С^ и ортогональном вектору 1У. Точное определение этого оператора приводится в § I главы I, а здесь мы лишь заметим, что оператор $В (Усимметричен и неотрицательно определен. Обозначим (зс) собственное подпространство оператора ад в Лх), соответствующее всем положительным собственный значениям. Рассмотрим функцию О (эс) = скт ^ (х также определенную почти всюду на ж. В § I главы I мы покажем, что множество точек, в окрестности которых функция О (ос) постоянна и не равна нулю, непусто и открыто в.

Ш, т. е. и (ф)>0 .

Касательное пространство вП. в точке ЭС. = есть О * 3 «где О можно естественным образом отождествить с, а 2 — с определенным выше пространством J. Обозначим Е» (эс.) сг ЙЛ. подпространство, состоящее из векторов С^?^) ^ таких, что $€ (ос), а ^ = .

Сформулируем основной результат Главы I.

ТЕОРЕМА I. Для почти всех точек X? Ф существует локальный сжимающийся трансверсальный слой ]/[/" (эс)э-дс. Касательное пространство к слою (эс) в каждой точке ^? (эс) есть £(у), т. е. Мт 1л/(х) = Жт = 0(ос).

Рассмотрим группу унитарных операторов {[/{ } ." сопряженную с группой {Т^}, т. е. группу унитарных операторов в пространстве.

Г,/О комплекснозначных функций на Ш .

СЛЕДСТВИЕ I. Группа унитарных операторов и? ] имеет счет-нократную лебеговскую компоненту в спектре.

В § 4 главы I с помощью теоремы I исследуется одна физическая модель — газ твердых сфер в пенале, для которой точно вычисляется размерность трансверсальных слоений.

В главах XI и III мы от изучения общих полурассеивающих бильярдов переходим к важному частному случаю — газу твердых сфер.

Бесконечный газ твердых сфер — это динамическая система статистической механики, порожденная движением бесконечного числа одинаковых твердых сфер (т.е. жестких упругих шариков) в Семерном евклидовом пространстве (о/^й,), сталкивающихся между собой по законам упругого соударения (см., например, [ 1 J). Ее фазовое пространство и инвариантная мера — предельное распределение Гиббса — подробно описаны в главах II и III. Мы предполагаем, что данная система находится в разреженной газовой фазе, т. е. плотность числа частиц ^ в пространстве достаточно мала: § ^ § о ($), ? — обратная температура.

В главе II мы изучаем энтропию группы пространственно-временных сдвигов, действующую на №. Группа порождается пространственными сдвигами В1*" на вектор и? и сдвигами ПН ^ на время ^ вдоль траекторий системы. Эти сдвиги коммутируют и порожденная ими группа изоморфна (си. О ]).

В работе А. Г. Кушниренко показано, что энтропия диффеоморфизма гладкого компактного многообразия на себя конечна и найдена оценка сверху для нее. В главе II обобщаются методы работы А. ГЛСушниренко для динамических систем статистической механики. Точнее, мы рассматриваем систему частиц, взаимодействующих посредством некоторого парного сферического потенциала 1/(%) • На функцию ] мы накладываем следующие ограничения: 1) наличие твердой сердцевины: оо при 0< г < Ч0 —) гладкость: ] (г) € (%, ;

1/3) финитность: и (*) = О при г Г±- >% ;

¼) ограничения на рост при И +О: где >0, Я0(±-) >0 — С/5) ограничения на рост первой и второй производной при.

1 < зеА| иМ I й где и.

Динамика системы частиц с таким потенциалом взаимодействия подробно изучалась в работах.

Ц5], [?V], С"]. В главе II доказывается следующее свойство энтропии этой системы:

ТЕОРЕМА 2. Энтропия группы Iгс конечна и удовлетворяет оценке^г. (№) < $' ($) .

Таким образом, энтропия.

1= Ш) является термодинамической характеристикой предельного распределения Гиббса:

В главе III мы рассматриваем газ твердых сфер и изучаем энтропию больших конечных систем твердых сфер. А именно, пусть А.

У1 — куб в пространстве со стороной 71 с центром в точке 0. Для любой конфигурации твердых сфер в К (которая является точкой фазового пространства ш) рассмотрим движение сфер внутри кубаЛ-^. при условии, что все сферы, лежащие вне, А 71 или пересекающиеся с ъл л неподвижны («заморожены»)• Движущиеся сферы сталкиваются между собой и упруго отражаются от границы 0-Л-тг и от «замороженных» сфер, пересекающихся с кубом А.

П. Таким образом мы получим конечную систему твердых сфер в «ящике» -Л-тг.

Для изучения энтропии^Ь бильярдной системы используется формула, полученная Я. Г. Синаем в [?&]: где.

— оператор кривизны точки X фазового пространства Ш, упомянутый выше.

Обозначим JD^l ix) оператор кривизны точки ОС? TSt для описанной выше системы твердых сфер в «ящике11 -Атг Тогда энтропия этой системы выражается формулой.

I = $ л*). u ж.. IJ являющейся следствием общей формулы (O.I) — см. § I главы III (здесь «* предельное распределение Гиббса с обратной температурой J3 и химическим потенциалом ^). В работе Я. Г. Синая [№] показано, что.

Ьж in/ T/f1^ ^ ^ ^ MW! где '-А-^! — объем кубаЛ-тг. Там же высказана гипотеза о существовании предела при величины ^-tl/[JLj (эта величина называется «энтропией на одну степень свободы» .

СМ. [AA]). [g^J.

В совместной работе Я. Г. Синая и соискателя^дается положительный ответ на этот вопрос:

ТЕОРЕМА 3. Существует конечный предел f — jT.

7t —> oo. (-/"-гт, I.

Кроме того, там же доказано одно следствие этой теоремы:

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Пл = П0- SJ1, где 710> О t у произвольное число. Тогда для почти всех точек, А фазового пространства XfL по мере ^"¡-^ы.

9 ^ =? Л-п. I К.

Результаты, принадлежащие соискателю, составляют содержание § 3 и § 4 работы [й-? ]. В диссертации эти результаты излагаются в § 2 и § 3 главы.

Основные результаты диссертации опубликованы с полными доказательствами (см.). По опубликованныы работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических систем на механико-математическом факультете МГУ и на семинаре по теории многокомпонентных случайных систем (Ташкент, 1982 г.)".

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Я. Г. Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л. А. Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи.