Задачи на экстремумы в геометрии

Задача 2.

Прямая MN отсекает от данного угла, А треугольник данной площади Q (М и N — точки на сторонах угла А). При каком условии отрезок MN имеет наименьшую длину, и какова эта длина?

Решение:

Обозначив отрезки AM и AN соответственно через х и у, по теореме косинусов получим:

MN2 = x2 + y2 — 2xycosA = (x-y)2 + 2xy (1-cosA) = (x-y)2 + 4 Q tg

так как ½ xy sin, А = Q.

Следовательно, при х= у (AM = AN) отрезок имеет наименьшую длину, равную .

Задача 3.

Под каким углом к берегу нужно направить лодку, что бы за время ее переправки лодку как можно меньше снесло течением, если скорость течения 6 км/ч, а собственная скорость лодки — 3 км/ч.

Решение.

Необходимо направить лодку так, чтобы ее абсолютная скорость (относительно берегов) составляла, возможно, больший угол с берегом.

Пусть вектор — скорость лодки относительно воды. Сумма + = дает абсолютную скорость лодки (относительно берегов). Длина вектора

=3 и его можно направить в любую сторону. Множество возможных положений точки М — окружность радиуса 3 с центром в точке А.

Из всех векторов наибольший угол с берегом составляет, направленный по касательной к окружности. Получаем прямоугольный треугольник, у которого катет вдвое меньше гипотенузы. У такого треугольника угол равен 600.

II уровень сложности.

Задача 1.

Какой из всех параллелограммов с заданными диагоналями, а и b имеет наибольшую площадь?

Решение:

Граничное значение переменной площади S параллелограмма ABCD непосредственно заметить трудно, но если эту переменную площадь выразить формулой

S = АС• DK= ah, то легко заметить, что S = ah ≤ ab, так как h ≤ .

Если использовать формулу S = abs’ma, то наибольшую площадь S нетрудно найти, граничное значение sin, а хорошо известно.

Задача 2.

Расстояние от пункта, А до пункта В 4 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть от пункта, А до пункта С?

Решение:

Расстояние АС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ВС постоянное, то точка С принадлежит точкам окружности с R = ВС, В — центр. Легко заметить, какие граничные значения может принимать АС, т. е.

4 = АСг < ACi < AB + BCi = 12.

Отсюда, max [AСi] = 12 km

min [ACi] = 4 km

Искомыми точками Ci являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в пункте В.

Задача 3.

Данный треугольник ABC разделить отрезком наименьшей длины на две равновеликие части.

Решение:

Пусть а< а + b < 2b, т. е. b

Таким образом, на сторонах наименьшего угла, А треугольника ABC

нужно построить точки М и N так, чтобы АМ= AN=.

III уровень сложности.

Задача 1.

На сторонах АВ и АС треугольника ABC найти соответственно точки М и N так, чтобы треугольник ABC делился отрезком MN на две равновеликие части и чтобы отрезок MN имел наименьшую длину.

Решение:

Пусть MN — искомый отрезок. Обозначим площадь треугольника ABC через S,

тогда площадь треугольника AMN равна S.

AM = AN и MN =

Выразим отрезок AM через стороны b и с треугольника ABC. Так как площадь треугольника AMN составляет половину площади треугольника

ABC, то АМ2 sin А=b c sin A, откуда AM = .

По условию точки M и N должны лежать на сторонах АВ и АС треугольника. Значит, полученное выражение для AM является решением задачи лишь при условии, что не больше каждой из сторон b и с треугольника.

Пусть b ≤ с, тогда≤ b в том и только в том случае, если с ≤ 2b.

Итак, если b < с < 2b, то на сторонах АВ и АС треугольника ABC строим точки М и N такие, что AM=AN = .

Нетрудно показать, что если с > 2b, то искомым отрезком является медиана треугольника, проведенная к стороне с, причем длина этой медианы более .

Задача 2.

На какое наименьшее число треугольных пирамид (тетраэдров) можно разбить куб?

Решение.

Куб ABCDA1B1C1D1 можно разбить на 5 тетраэдров: если отсечь от него тетраэдры BACВ1 и DACD1, A1B1D1А и C1B1D1С, то останется еще пятый тетраэдр ACB1D1. Он правильный. Попробуем установить, что меньше чем на 5 тетраэдров куб разбить нельзя. Допустим, что куб ABCDA1B1C1D1 разбит на некоторое число тетраэдров.

При этом грань АВСD куба разбивается на части, являющиеся гранями не менее чем двух тетраэдров (квадрат АВСD может быть разбит на 2 или большее число треугольников), причем сумма площадей оснований этих тетраэдров равна a2, а высота каждого из них не больше а, поэтому объемов примыкающих к грани АВСD тетраэдров разбиения не превосходит а2 а=.

Аналогично этому к грани A1B1C1D1 куба примыкает не менее двух тетраэдров, причем общий объем этих тетраэдров также не превосходит .

Так как ни один тетраэдр не может одновременно иметь граней, являющихся частью квадрата АВСD и частью квадрата A1B1C1D1 (ведь никакой тетраэдр не имеет параллельных граней!), то мы уже имеем не менее 4 тетраэдров, причем общее число тетраэдров не превышает 2, то есть меньше объема а3. Отсюда и вытекает, что число тетраэдров не может быть меньше пяти.

Задача 3.

В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе (NPF) — в результате пересечения конуса той же плоскостью.

Решение.

Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводимая плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S=(MK2- MN2); OB=R; MB=x;

MK2 = OK2 — OM2 = R2- (R — x)2 = 2Rx — x2/

Так как ∆ АВС равносторонний по условию и АС — NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, MN2 = .

Следовательно S= 2x (3R — 2x),

которое будет максимально, когда максимально S1= 2x (3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R — 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т. е.

х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно .

Занятие 3

Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающая: Отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами.

Развивающая: Развитие мышления в процессе перевода словесной информации в математические символы, развитие ответственности и добросовестности во время индивидуальной работы.

Воспитательная: воспитание объективного отношения к результатам своей работы, эстетическое восптание.

Задачи: обзор методов решения экстремальных задач — геометрических и аналитических, рассмотрения аналитического метода решения задач с использованием квадратичной функции. Рассмотрение конкретных задач, решаемых этим методом.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока Содержание Методы и приемы Время 1. Орг. момент

Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин 2. Изучение нового материала

1.Суть метода.

2.Пример решения задачи методом перебора.

3.Решение задачи с использованием квадратичной функции. Лекция

(объяснительно-иллюстра-тивный с элементами проблемного изложения) Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 29 мин 3. Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 23 мин 4. Подведение итогов беседа 2 мин 5. Запись домашнего задания Инструкция учителя

(репродуктивный) 3 мин Ход урока:

Деятельность учителя Деятельность учащихся I. Орг. момент.

Добрый день.

На протяжении последних двух занятий мы с вами решали задачи на нахождение наибольших и наименьших величин геометрическим подходом.

Какие методы мы использовали?

Сегодня мы рассмотрим алгебраические подходы к решения экстремальных задач.

Садятся Слушают учителя, отвечают на его вопросы. II.Лекция.

1.Суть метода.

Как и геометрических, алгебраических подходов очень много, сегодня мы рассмотрим два из них: метод перебора и использование квадратичной функции.

В практике часто встречаются экстремальные задачи, при решении которых получается одно уравнение с несколькими переменными, заданными на множестве целых неотрицательных чисел. Решение таких задач сводится к исследованию линейной функции.

2.Пример решения задачи методом перебора.

Примером может послужить такая задача:

Содержание витамина С в 1 кг фруктов и стоимость 1 кг заданы следующей таблицей:

Фрукты Витамин С (кг) Стоимость (у.е.)

Вишни Абрикосы

0,3

0,4

Обозначим количество килограммов вишни через х, а количество килограммов абрикосов — через у. Тогда решение задачи сводится к нахождению min (0,3 x + 0,4y), если 150 х + 75у =75, где х < 0,25.

min (0,3 x + 0,4 — 0,8 x) = min (- 0,5x + 0,4) = 0,275.

В дневной рацион следует включать 0,25 кг. Вишни и 0,5 кг. Абрикосов.

При решении задач квадратичной функции мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема:

Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а<0 — наибольшее значение, равное тоже (4ас-b2)/4. Эти наименьшие и наибольшие значения получаются при х = - b/2а.

3.Решение задачи с использованием квадратичной функции.

Найти наименьшее значение функции и построить ее график.

Поиски решения. Данную функцию можно изобразить аналитически так:

Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.

Решение:

Очевидно, что Обозначив дробь буквой u, получим:

Искомое наименьшее значение равно и получается оно при т. е. при х = 1

Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой х

-3

-2

-3/2

-1

-½

…

у

7/4

Х

¾

7/9

13/16

…

Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.

Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к Ученики конспектируют, задают вопросы Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают возникающие вопросы.

IIIЗакрепление пройденного материала.

Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.

Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. Учащиеся берут карточки с заданиями и преступаю к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю. IVПодведение итогов Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.

Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными. VЗапись домашнего задания Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачки своей карточки. Записывают.

Задачи предлагаемые учащимся.

I уровень сложности.

Задача 1.

В швейном цехе имеется 164 м ткани. На шитье одного халата требуется 4 м. ткани, а одной пижамы — 3 м. Сколько следует изготовить халатов и пижам для получения наибольшей прибыли от реализации продукции, если халат стоит 7 руб., а пижама — 6 руб. Известно, что халатов требуется изготовить не менее 14 шт.

Решение.

Пусть в швейном цехе изготовлено х халатов и у пижам. Тогда решение задачи сводится к нахождению max (7x + 6y), если 4х + 3у =1 64.

max (7x + 6y) = max (328- x) = 314, где x≥ 14.

Для получения наибольшей прибыли следует изготовить 14 халатов и 36 пижам.

Задача 2.

Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.

Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т. е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?

Поиски решения. Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т. е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т. е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.

Решение.

Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P — 2x. Площадь сечения будет равна х (Р — 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р — 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2×2+Рх. Очевидно, что Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8.

Задача 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 9x — 2∙3 x на отрезке [-1; 2].

Решение.

Пусть t= 3x. Так как -1 ≤ x ≤ 2, то, у= t2 — 2t. Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции у = t2 — 2t на отрезке [; 9]. Абсцисса t0 вершины параболы, являющейся графиком э той функции, равна 1, ветви параболы направлены вверх. Так как t0 є [; 9], то min y (t) =y (1) = - 1, а максимальное значение достигается на том конце отрезка, который наиболее удален от t0, т. е. max y (t) = y (9) = 63. Если t = 1, то х = 0, если t= 9, то х =2. Поэтому max y (x) = y (2) = 63, min y (x) = y (0) = - 1.

II уровень сложности.

Задача 1.

Предполагается, что рацион составляется из двух видов кормов — сена и концентратов. В таблице приведены числовые данные о суточной потребности одного животного в питательных веществах и о себестоимости кормов в данном хозяйстве:

Виды кормов Содержание в 1 кг. Кормов кормовых единиц Себестоимость 1 кг (в руб.) Сено 0,5 1,5 Концентраты 1,0 2,5 Суточная потребность на одного животного 20 ;

Требуется найти самый дешевый рацион, если ежедневный рацион кормления сельскохозяйственных животных должен включать не менее 16 кг. сена.

Решение.

Пусть ежедневный рацион кормления состоит из х кг. сена и у кг. концентратов. Тогда ежедневный рацион содержит (0,5 х + у) кормовых единиц, себестоимость которого равна (1,5 х + 2,5 у).

Решение задачи сводится к нахождению min (1,5 х + 2,5 у), если 0,5 х + у =20.

min (1,5 х + 2,5(20 — 0, 5х)) = min (0,25 х + 50) = 54.

Задача 2.

Найти наибольшее значение функции f = х4 (32-х4).

Решение:

Поиски решения.

Данная функция принимает отрицательные значения при, а при — положительные. Поскольку ее наибольшее значение надо искать среди значений х меньших, чем .

Если мы положим х4 = у, то задача сведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени, имеющего вид:

— у2 +32у.

Однако если проявить наблюдательность и заметить, что сумма множителей х4 и (32 — х4) является величиной постоянной, то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачу проще.

Задача 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=6 — 2х на отрезке [2; 8] .

Решение.

Пусть t =. Так как 2 ≤ х ≤ 8, то 1 ≤ t ≤. При этом 2х = t2 + 3, откуда

y=6 t — t2 -3. Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, абсцисса t0 вершины параболы, равна 3. Так как t0 є [1; ], то max y (t) =y (3) =6, а наименьшее значение достигается в том из концов отрезка который наиболее удален от t0, т. е.

min y (t) =y (1) = 2.

Если t = 3, то х = 6, если t= 1, то х =2. Поэтому max y (x) = y (6) = 6, min y (x) = y (2) = 2.

III уровень сложности.

Задача 1.

Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали упаковывают в ящики трех видов.

6 по 70, 40 и 25 деталей в каждый. Стоимость пересылки одного ящика каждого вида соответственно равна 20 руб., 10 руб. и 7 руб. Сколько ящиков и какого вида должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей.

Решение.

Оценим, в каком из ящиков пересылка одной детали будет наиболее дешевой: в первом руб., во втором руб., в третьем руб. Поскольку <, то выгоднее пересылать детали в ящиках по 40 штук, менее выгоднопо 25 штук, наименее выгодно — по 70 штук.

Но 1100 деталей в ящики по 40 штук полностью вместить нельзя. Следовательно, необходимо найти максимальное количество деталей, которые можно переслать в ящиках по 40 деталей.

Максимальное количество стоит искать среди чисел, близких к 1100 и кратных 40, т. е. среди чисел, 1080, 1040, 1000 и т. д. Первые два числа не подходят, т.к. останется в первом случае 20, а во втором -60 деталей; в третьем случае останется 100 деталей, которыми можно загрузить 4 ящика по 25 деталей.

Можно подсчитать, что в этом случае затраты на пересылку составят 10 ∙ 25 + 4 ∙ 7 =278 руб. А если, например, отправить 10 ящиков по 70 деталей и 16 ящиков по 25 деталей, то затраты составят 312 руб.

Задача 2.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=4x+6-x-2—x2 на отрезке

[-1;3].

Решение:

y=-(x2−4x+4−4)+ 6-x-2-=-(x-2)2 +6-x-2-+4. Так как а2=-а-2, то y=

—x-2−2+6-x-2-+4. Пусть t=-x-2-. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно,

min y (t)=y (0)=4, max y (t)=y (3)=13.

[0;3] [0;3]

Если t=0, то x=2. Если t=3, тоx-2-=3

Но по условию х[-1;3], поэтому остается только значение х=-1.

Ответ: min y (х)=y (2)=4, max y (х)=y (-1)=13.

[-1;3] [-1;3]

Задача 3.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции у=2sin x — cos 2x +cos2 x.

Решение.

Так как

cos 2x = 1 -2 sin2 x, cos2 x = 1- sin2 x, то y= sin2 x+ 2 sin x. Пусть t =sin x, -1 ≤ t ≤ 1.

Тогда, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса t0 вершины параболы, равна — 1. Так как t0 є [- 1;1], то max y (t) =y (1) =3, min y (t) =y (-1) = -1.

Если t = 1, то sin x = 1x =. Если t= - 1, то

sin х = -1n, nZ. Поэтому max y (x) = 3, min y (x) = - 1.

Занятие 4

Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающая: Обучить способу решения экстремальных задач различными аналитическими методами, совершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами.

Развивающая: дать возможность учащимся убедится в том, на сколько развиты их возможности и над чем нужно поработать.

Воспитательная: воспитание потребности и умения работать в коллективе для решения совместных задач, активной жизненной позиции, умения ставить и достигать цели.

Задачи: Рассмотреть различные аналитические методы решения экстремальных задач, и их применение при решении конкретных задач; закрепление умений и навыков решения экстремальных задач аналитическими методами.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока Содержание Методы и приемы Время 1.Орг. момент Сообщение цели урока Инструктаж учителя 3 мин 2. Изучение нового материала

1.Суть метода.

2.Пример решения задачи c

использованием неравенств. Лекция

(объяснительно-иллюстра-тивный с элементами проблемного изложения) Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 20 мин 3. Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения.

Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности

(репродуктивный, частично-поисковый) 31 мин 4. Подведение итогов беседа 2 мин 5. Запись домашнего задания Инструкция учителя

(репродуктивный) 4 мин Ход урока:

Деятельность учителя Деятельность учащихся I.Орг. момент.

Добрый день.

На прошлом занятии мы в вами начали изучать алгебраические подходы к решению задач на экстремумы. Сегодня мы рассмотрим еще один подход — использование стандартных неравенств.

Садятся.

Слушают учителя, отвечают на его вопросы. II. Лекция.

1.Суть метода.

Напомним, что для любых двух неотрицательных чисел, а и в справедливо неравенство, называемое неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел (неравенство Коши):

.

Важным следствием неравенства Коши является следующее: для любых двух положительных чисел, а и в и любого отличного от нуля действительного числа t

≥ 2. Причем знак неравенства достигается в том и только том случае, когда at=b/t, т. е. t2=b/a.

2.Пример решения задачи.

Найти наибольшее значение функции

y=4 на интервале (-∞;).

Решение:

y=4===2x-1+. Так как по условию х<½, то 2х-1<0 и <0. Воспользуемся неравенством — at+b/t — ≥2

для случая t<0. Тогда y=2х-1+≤-2, причем знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда

2х-1=, и 2х-1<0 .

И последней системы находим х=

Ответ: max y (x)=y ()=-2

(-∞;)

Ученики конспектируют, задают вопросы

Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают возникающие вопросы. III Закрепление пройденного материала.

Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.

Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. Учащиеся берут карточки с заданиями и преступают к решению задач.

Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю. IVПодведение итогов Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.

Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)

Задают вопросы, которые остались непонятными. VЗапись домашнего задания Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки. Записывают.

Задачи предлагаемые учащимся.

I уровень сложности.

Задача 1.

Найдите прямоугольник наименьшего периметра, ограничивающий заданную площадь.

Решение.

В данном случае площадь S= xy постоянна. Следовательно, p= x+y достигает наименьшего значения, если х + у = 2. Таким прямоугольником является квадрат со стороной, периметр его 4.

Задача 2.

Найти наименьшее значение функции у = х +, при х > 2.

Решение.

Очевидно, что

Отсюда следует, что искомое наименьшее значение получается при х-2 при х = 6, а само искомое значение равно

Задача 3.

Найти наибольшее значение функции

y= .

Решение.

Заметим, что D (y) = [0; ]. При х [0; ] выполнены, очевидно, неравенства х3 ≥ 0, 2 — х3 ≥0.

Применим неравенство Коши :

y=≤ =1.

Поэтому у ≤ 1, причем знак равенства достигается, лишь если

х =1.

max y (x) = y (1) = 1.

II уровень сложности.

Задача 1.

Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см³. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть размеры ее, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение.

Длину стороны основания обозначим через х см., а высоту коробки — у см.(х>0, y>0). Тогда ее объем V= x2y. Учитывая, что V= 108 см³, имеем x2y = 108 => у=.

Пусть S-площадь поверхности коробки:

S= x2+4xy = x2+4x = x2+ .

Представим выражение для S следующим образом:

S = x2 + + .

Произведение x2 + + равно 2162

Следовательно, S достигает наименьшего значения, если х2=, т. е. х3 = 216 => х =6 => y = 3.

Тогда = 108 (см 2).

Задача 2.

Найти наименьшее значение функции y =32х — 1 + 4∙33 — 2х.

Решение.

Так как 3t и 4∙ 3z положительные при любых действительных значениях t и z, то, применив неравенство Коши, получим

У=32х — 1 + 4∙33 — 2х ≥ 2=2=12.

Таким образом, у (х) ≤ 12 при любом действительном х, причем знак равенства достигается, лишь, если

32х — 1=4∙33 — 2×34х — 4 =4 х= .

min y (x) = y () =12.

Задача3.

Найти наибольшее значение функции у=4 на интервале (-∞ ;) .

Решение.

у=4 =

Так как по условию х<, то 2х — 1 <0 и <0.

max y (x) = y () = -2.

III уровень сложности.

Задача 1.

При небрежной транспортировке рулонов типографской бумаги на их поверхности появляются трещины, в результате чего образуется так называемый бумажный срыв, идущий в отходы. Очевидно, что эти отходы тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном его объеме. Необходимо исследовать, при каком соотношении между диаметром и длиной (т.е. образующей) рулона срыв бумаги будет наименьшим.

Решение.

Задача сводится к нахождению такого соотношения между радиусом R основания и высоты Н цилиндра, чтобы при данном объеме цилиндра его полная поверхность имела наименьшее значение.

Имеем: S= 2π RH + 2π R2, H=.

Поэтому

S = +2πR2 = ++ 2πR2 .

Надо найти наименьшее значение суммы трех положительных слагаемых ++ 2πR2, произведение которых ∙ 2πR2= 2πV2 неизменно при данном постоянном значении V. Поэтому S достигает тогда и только тогда, когда =2πR2, т. е. когда =2πR3.

H= ==2R.

Задача 2.

Найти наименьшее значение функции у = на интервале (13/6 π; 17/6 π).

Решение.

у = =2sin x + 1+=2 sin x — 1+ +2.

По условию, 13/6 π < x < 17/6 π, т. е. + 2π < x < + 2π, откуда

sin x > ½.

Y = 2sin x — 1 + +2 ≥ 2+2 =4.

Таким образом, у ≥ 4, причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

C учетом того, что 13/6 π < x < 17/6 π, получим х =

min y= 4.

Задача 3.

Найти наименьшее значение функции

y =- x2 — x- + -x + 1-.

Решение.

y=- x2 — x- + -x + 1→= -x2 — x + x +1- =-x2 + 1- = x2 + 1≥ 1.

Таким образом, у≥1, причем знак равенства достигается только в том случае, когда одновременно выполнены равенства

— x2 — x- + -x + 1- = -x2 + 1- и x2 + 1=1, откуда x=0.

min y (x) = y (0) =1.

Занятие 5

Тема: «Универсальный метод решения задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающая: отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной, обобщить материал по теме «Решение экстремальных задач».

Развивающая: развитие волевых качеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельной работы.

Воспитательная: воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность.

Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока Содержание Методы и приемы Время 1. Орг. момент Сообщение цели урока Инструктаж учителя 7 мин 2. Изучение нового материала

1.Суть метода.

2. Пример решения задачи с помощью дифференцирования. Лекция

(объяснительно-иллюстра-тивный с элементами проблемного изложения) Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 16 мин 3. Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 31 мин 4. Подведение итогов беседа 2 мин 5. Запись домашнего задания Инструкция учителя

(репродуктивный) 4 мин Ход урока:

Деятельность учителя Деятельность учащихся I. Орг. момент.

Здравствуйте, садитесь.

На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать» подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.

Садятся.

Слушают учителя, отвечают на его вопросы. II. Лекция.

1. Суть метода.

Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма.

Если функция у = f (х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов.

Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f (x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:

Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0.

Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3×2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.

2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х.

Как же из этих «подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы?

Как для выделенных значений установить вид экстремума?

По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f (x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для большихотрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во второмтупой.

Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.

х0+Δх, Δх<0

х0

х0+Δх Поведение f (x)

f '(x)

f '(x)

f '(x)

f '(x)

;

;

;

;

максимум минимум возрастает (экстремума нет) убывает (экстремума нет) Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы.

Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной (т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в «подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.

Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.

2. Пример решения задачи.

Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади)

Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х (0<�х≤100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует:

Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).

Ученики конспектируют, задают вопросы Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают возникающие вопросы.

III Закрепление пройденного материала.

Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.

Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. Учащиеся берут карточки с заданиями и Преступают к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю. IV Подведение итогов Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.

Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными V Запись домашнего задания Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки. Записы-вают.

Задачи предлагаемые учащимся.

I уровень сложности.

Задача 1.

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Решение:

Пусть х и у — линейные размеры участка в метрах, тогда площадь участка есть, откуда. длина всего забора выразится функцией

причем по смыслу задачи x>0.

Далее имеем откуда при (поскольку x>0). Если 014, то; поэтому x=14 есть точка минимума функции. в результате получаем, что x=14, у=21.

Ответ: x=14, у=21.

Задача2.

Число 81 разбить на 3 положительных сомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трех сомножителей была наименьшей.

Решение:

Обозначим первое слагаемое за х. Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2×2. Найдем сумму слагаемых S. S=3х+81/2×2. Найдем наименьшее значение функции S. Для этого найдем производную S'=3−81/х3=0 => х=3- минимальное значение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5.

Задача3.

Из квадратного листа железа со стороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным.

Решение:

Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (ах), а объем коробки равен S (а -х)х2 на интервале (0, а). Таким образом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V (x)=½(a — x) x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции: V/ (x) = ax — 3/2×2, ax — 3/2×2=0, т. е. х=0 или х=2/3 а V (2/3а) =½(a -2/3a)(2/3a)2= 2/27 a3. Т.к. V (0)=0 и V (a) =0, своего наибольшего значения на отрезке функция достигает при х =2/3а, т. е. max V (x) =2/27 a3.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а.

II уровень сложности Задача 1.

В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

По условию, АВ=24см,, откуда. Пусть и — линейные размеры прямоугольника MNKL (в сантиметрах). Выразим через .

Из:; из: ;тогда .

Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией

.

Далее имеем, откуда при. Если, то, а если, то, т. е. — точка максимума функции. Итак, длины сторон искомого прямоугольника равны см и см.

Ответ: и 12 см.

Задача 2.

Из пункта, А на прогулку вышел пешеход со скоростью км/ч. После того как он отошел от, А на 6 км, из, А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в, А со скоростью 4 км/ч. При каком значении время прогулки окажется наименьшим?

Решение:

Время, за которое велосипедист догонит пешехода, составит. До встречи пешеход находился в пути и прошел. Этот же путь они преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км /ч и затратили время Тогда время, затраченное пешеходом на всю прогулку, выразится функцией где >0.

Находим

откуда при =6. Легко установить, что =6 — точка минимума функции .

Итак, пешеход затратит на прогулку наименьшее время, если первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч Задача 3.

Площадь прямоугольного треугольника 16 см² какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов построенных на его сторонах была наименьшей?

Решение:

Обозначим один из катетов треугольника за х, тогда второй равен из теоремы Пифагора находим третью сторону —. Тогда искомая функция:

у =х2+ + х2+ ,

исследуя эту функцию находим min y=4. Откуда получаем искомые стороны треугольника: 4; 4; 8.

III уровень сложности.

Задача 1.

Каков должен быть радиус основания открытого цилиндрического бака, имеющего приданном объеме V наименьшую площадь основания?

Решение:

S=2πRH+ πR2, V= πR2H, H=

S=2πR+ 2πR2 = + πR2, S/=- + πR;

S/=0; 2πR=, V = πR3 R =

Задача 2.

Найти длину боковой стороны трапеции имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью, углом между боковой стороной и нижним основанием.

Решение:

Пусть высота трапеции — х.

Тогда:

Из :

По условию ;

Покажем, что при этих условиях периметр минимальный а) пусть, тогда б) пусть ,

тогда Т.к.

Ответ: .

Задача 3.

Лодка М находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки, А берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки В, находящейся на берегу на расстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибыть лодка, чтобы пассажир достиг В в кратчайшее время?

Решение:

t=

Пусть АО = х. Тогда ОВ = 5 — х и t=

t/(x) =-, =, x =4.

Ответ: 4 км, 1 км.

Анализ.

Часть занятий факультатива была опробированна на учащихся 11 класса общеобразовательной школы.

Проведенные занятия показали, что наиболее легким для учащихся является основной метод решения экстремальных задач, но наибольший интерес вызывают задачи прикладного характера. Ребята с удовольствием решали предложенные задачи, а дифференцированный подход позволил каждому, самостоятельно, находить решения задач, используя различные методы и приемы.

Данный факультатив стимулирует интерес учащихся к математике, дает возможность ребятам убедиться в том, насколько развиты их возможности и над чем необходимо поработать, формирует культуру, интеллектуальное развитие и совершенствование.

Заключение

Задачи на максимум и минимум часто встречаются как в науке, так и в повседневной жизни человека. Своей распространенностью они обязаны тому, что при решении задач мы находим наиболее выгодный из имеющихся вариантов.

При подготовки дипломной работы была изучена литература по данной теме, исторические задачи и их решения.

Также были рассмотрены алгебраические и геометрические подходы к решению задач на экстремум.

Во второй главе дипломной работы рассмотрены проблемы дифференцированного обучения на уроках и приведена разработка факультатива на тему «Решение задач на экстремум».

Целью дипломной работы являлось изучение различных методов решения экстремальных задач и адаптация их к школьному курсу математики. Считаю, что задачи выполнены, цель достигнута.

Библиография

Александров, А. Д. Геометрия 7 — 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.- М.: Просвещение, 2003.

Александров, А. Д. Геометрия: 10 — 11 кл. [Текст] / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.- М.: Просвещение, 1998.

Александров, А. Д. Геометрия: 10−11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.- М.: Просвещение, 1998.

Александров, А. Д. Геометрия: 10−11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.- М.: Просвещение, 2003.

Алексеев, Н.А. Психолого-педагогические проблемы развивающего дифференцированного обучения: Монография. [Текст] / Н. А. Алексеев.- Челябинск: Факел, 1995.

Алимов, Ш. А. Алгебра: 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.- М.: Просвещение, 2002.

Алимов, Ш. А. Алгебра: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.- М.: Просвещение, 2001.

Алимов, Ш. А. Алгебра: 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.- М.: Просвещение, 2002.

Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). [Текст] / В. В. Давыдов.- М.: Педагогика, 1972.

Иванова, Л. М. Дифференцированный подход при обучении. [Текст] / Л. М. Иванова.- М., 1998.

Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики [Текст] / Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Е. Л. Мокрушин и др.- М.: Просвещение, 1977.

Методика преподавания математики в средней школе: Учебное пособие [Текст] / Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян, В. Я. Саннинский, Г. Л. Луканкин.- М., 1975.

Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 — 11 кл.: Методическое пособие для учителя. [Текст] / А. Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2002.

Мордкович, А. Г. Алгебра: 7 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская — М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович, А. Г. Алгебра: 8 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская — М.: Мнемозина, 2003.

Мордкович, А. Г. Алгебра: 9 кл.: задачник для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2003.

Окунев, А. Л. Развитие у учащихся способности наблюдать и анализировать [Текст] / А. Л. Окунев // Математика в шк.- 1982.- № 5.- 23С.

Осмоловская, И. М. Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательной школе [Текст] / И. М. Осмоловская.- М.: Ин-т практич. психологии, 1998.

Осмоловская, И. М. Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательной школе. :пособие для учителей [Текст] / И. М. Осмоловская.- М.: Просвещение, 1997.

Письменный, Д. Т. Математика для старшеклассников [Текст] / Д. Т. Письменный.- М.: Айрис, 1996.

Погорелов, А. В. Геометрия 10−11класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / А. В. Погорелов.- М.:Просвещение, 1993.

Пойа, Д. Как решать задачу: пособие для учителей [Текст]: пер. с англ. / под редакцией Ю. М. Гайдука.- М.: Гос. учеб. — пед. изд-во МП РСФСР, 1959.

Потапов, А. С. Дифференциация обучения с учетом психологических особенностей [Текст] / А. С. Потапов.- М.: Просвещение, 1989.

Потапов, А. С. Дифференциация обучения с учетом психологических особенностей. :пособие для учителей [Текст] / А. С. Потапов.- М. Просвещение, 1989.

Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студ. математических спец. пед вузов и ун-тов. [Текст] / Г. И. Саранцев.- М.: Просвещение, 2002.

Учебные стандарты школ России: в 2 кн. Кн.2: Математика. Естественно — научные дисциплины [Текст] / Под ред. В. С. Леднева, Н. Д. Никандрова, М. Н. Лазутовой.- М.: Сфера: Прометей, 1998.

Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике — 10 кл.: пособие для учителей [Текст] / И. Ф. Шарыгин.- М.: Просвещение, 1989.

Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике — 11 кл.: пособие для учителей [Текст] / И. Ф. Шарыгин.- М.: Просвещение, 1992.

L

C

М К

В

А

Д

Р С

К х

Д С

А

К

Р

х В

R

О

l

R

r

A

L

P

N

В

Д