Инвариантные тензоры на симметрических римановых пространствах

Одним из важных направлений математических исследований является теория инвариантов групп преобразований. Это направление плодотворно развивается с середины XIX века и является актуальным в настоящее время.

Среди различных групп особенный интерес составляют линейные группы: преобразования, которые они задают, являются линейными преобразованиями линейного пространства, т. е., в известном смысле, самыми простыми и важными для приложений.

Линейные группы естественным образом связаны с понятием представления. Линейным представлением группы Q в векторном пространстве V называется гомоморфизм её в группу невырожденных линейных преобразований пространства V. Так что каждая линейная группа определена представлением абстрактной группы.

Каждое линейное представление группы в пространстве V порождает представление группы в пространстве тензоров пространства V, где группа действует по тензорному закону. Для полупростых групп Ли «большинство» представлений эквивалентно тензорным, т. е. таким, которые действуют в пространстве тензоров.

Таким образом, исследование тензоров, инвариантных относительно заданного представления, является важной составной частью теории инвариантов груш преобразований. Выражаясь словами Г. Вейля [9], «предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся „величин“, которые можно приготовить из материала тензоров при режиме той или иной группы» .

Известно, что многие физические величины носят тензорный характер (тензор моментов инерций, тензор деформаций, тензор напряжений и т. д.) .

Тензорные инварианты играют важную роль и в геометрии (правильнее сказать — в геометрии в первую очередь). Так, например, группа вращений евклидова пространства 50(П) обладает тензорным инвариантом второй валентности — положительно определённой квадратичной формой, задающей скалярное произведение в. Симплек-тическая группа Spltl) состоит из тех преобразований 2И — мерного пространства, которые сохраняют кососимметрический инвариант валентности два.

Теория тензорных инвариантов наполняется новым математическим материалом при рассмотрении понятия однородного пространства — важнейшего объекта геометрии.

Однородным пространством называется множество М, на котором транзитивно действует некоторая группа преобразований Q. Пусть XtM и J~f — подмножество Q, состоящее из тех преобразований, которые оставляют точку X на месте. При этом Н является подгруппой группы Q и называется группой изотропии или стационарной подгруппой пространства М (в точке X) .

Однородное пространство можно отождествить с пространством классов смежностей, группы Q по подгруппе Н, на котором группа действует левым умножением. В этом случае //является группой изотропии однородного пространства № (в точке.

Наибольший интерес представляют те однородные пространства, группа Q которых есть группа Ли, а Н — замкнутая подгруппа в?. Факторпространство М — Q/H стандартным образом снабжается структурой аналитического многообразия, относительно которого действие группы Q на М является аналитическим.

Каждой группе Ли н каноническим образом соответствует так называемое присоединенное представление Adff на её алгебре Ли it, рассматриваемой как векторное пространство. Трактуя алгебру Ли ib как касательное пространство к многообразию Н в единице, можно описать действие преобразований Ш следующим образом. Всякий элемент порождает внутренний автоморфизм группы по формуле FfQJ~ld Н0, Н^Н, который порождает линейное преобразование касательного пространства. Дифференциал присоединённого представления группы Ли Н в единице задаёт присоединённое представление алгебры Ли, А на себе самой: adx: у 1×9 у 2, х.уьк. <*¦).

Пусть.

— группы Ли, ГЪ и Gl — их алгебры Ли. Аналогично можно определить представление алгебры Ли, А на всей алгебре Ли? :: Однородное пространство.

GIH называется редуктивным, если для некоторого подпространства & пространства Q справедливо разложение (j — h +^, где § инвариантно относительно представления adgh алгебры П на пространстве и. Для редуктивных пространств касательное пространство к многообразию G/Я в точке вН ~ Н отождествляется с пространством & *.

С геометрической точки зрения, наибольший интерес среди однородных пространств представляют римановы пространства — те, на которых задано поле дважды ковариантного симметрического тензора? —, инвариантное относительно действий группы С, определяющее в каждой точке реМ положительно определённую квадратичную форму ds>2=д. (p)dxldoc^ (риманова метрика). Для римановых однородных пространств G называется группой движений, а Н — группой вращений пространства.

G/ff.

Всякое однородное риманово пространство допускает модель т, где Н компактна. Известно также, что в случае компактной II однородное пространство т является редуктивным и может быть наделено римановой метрикой, инвариантной относительно Q .

Среди римановых пространств наиболее изученными являются симметрические пространства. Их открытие связано с именами.

Э.Картана [17] и П. А. Широкова С373 (1925;1926 годы). Симметрические римановы пространства Q! Н обладают рядом характеристических свойств [Ц],[34],[35] :

1) Для каждой точки рвМ существует изометрия Sp: ММ, оставляющая точку р на месте и переворачивающая проходящие через неё геодезические. Это означает, что если ^ - геодезическая такая, что pOJ=p, то Sp (pt)) = f (-h .

2) Для каждой точки2РеМ существует инволютивная изометрия 3 (т.е. такая, что, отличная от тождественной, для которой точка р является изолированной неподвижной точкой.

3) Пусть Ti и ^ ~ алгебры Ли, соответствующие группам Ли я и.

G. Имеет место разложение алгебры Q в прямую сумму подпространств Q =¦ fl+ $, причём выполняются следующие включения: ihMch, ihji. s, ajich .

Это свойство эквивалентно наличию в ^ автоморфизма S такого, что $-Е .

4) Пусть — метрический тензор на многообразии М, тогда тензор кривизны Ragccl симметрической связности, согласованный с метрикой, ковариантно постоянен. Т. е. RaBccL удовлетворяет соотношению Vs ($ aged ^ ~ О «где 17s «ковариантная производная. Ь) Тензор римановой кривизны является аффиннором на касательном пространстве о симметрического пространства.

G/ff, действие которого описывает формула :

R <3C, y) Z = -[IX^l^l,.

Из свойств 4) и 5) следует, что тензор римановой кривизны Rg^y представляет собой четырёхиндексный инвариант относительно группы изотропии симметрического пространства.

В том случае, когда Q — связная группа Ли, а Н — её компактная подгруппа й*, симметрическое однородное пространство.

ЫЯ стандартным образом снабжается метрикой, инвариантной относительно группы движений, и называется глобально симметрическим римановым пространством. Глобально) симметрическое риманово пространство Giff называется неприводимым, если для соответствующих алгебр Ли у и h выполняются следующие два условия :

1) ^ - полупроста и, А не содержит ненулевых идеалов алгебры у ,.

2) представление detail неприводимо на 6 .

Э.Картан показал, что каждое односвязное глобально симметрическое риманово пространство является прямым произведением неприводимых (см., напр., [35, стр. 3403). Классификация всех римановых неприводимых симметрических пространств также принадлежит Э. Картану L173 и является одним из самых значительных его результатов. Список и обозначения этих пространств можно найти в Г35].

В диссертации рассматриваются симметрические римановы пространства и решается задача нахождения тензоров, инвариантных относительно изотропного представления. Известно, что инвариантные тензоры, относительно данного изотропного представления, находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными тензорными полями на многообразии: тензор в касательном пространстве ТХМ к многообразию 14 в точке X, инвариантный относительно такого представления, однозначно разносится действиями группы движений по всему многообразию [31]. Этот факт объясняет ту важную роль, которую играет изотропное. представление в теории однородных пространств.

Тензорные поля являются важным объектом изучения в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений. Среди геометрических объектов являются тензорными полями: метрика, почти комплексная структура, поле тензора кривизны, внешние дифференциальные формы, в частности, форма объёма (меры).

Среди инвариантных полей тензоров особенного внимания заслуживают кососимметрические. С каждым таким полем естественным образом связана внешняя дифференциальная форма. Согласно теореме Де Рама, алгебра когомологий однородного компактного пространства с вещественными коэффициентами изоморфна алгебре когомологий внешних дифференциальных форм на этом пространстве относительно операции внешнего дифференцирования.

Для компактного симметрического пространства Q/H алгебра когомологий Hi GIH, R) изоморфна алгебре инвариантных внешних дифференциальных форм. В частности, это справедливо для компактных групп Ли, рассматриваемых кал симметрические пространства [2],[41]. Количество линейно независимых инвариантных кососиммет-рических рвалентных тензорных полей на симметрическом пространстве GIH равно рому числу Бетти ^ (G/H). В силу вышесказанного, можно считать, что кососимметрические инвариантные поля на компактных симметрических пространствах косвенно описаны, поскольку известны их алгебры когомологий.

Формулировка задачи.

Пусть С/Н — компактное симметрическое риманово пространство,, fl — вещественные алгебры Ли, соответствующие группам Ли g: п. Поскольку G/H — редуктивно, д= к 4 ё где 8 — инвариантное дополнение к к в, относительно представления fl. Ограничению представления Cld^ h на В соответствует представление г группы Ли JI. Линейная группа Ф (Н) (группа изотропии) действует в линейном пространстве $, отождествляемом с касательным пространством к G Iff .

Группа Ф (Н) естественно действует и в пространстве тензоров валентности К касательного пространства. Назовём элемент тензорного пространства инвариантным тензором, если он не изменяется под действием группы. Представление, которое задаёт действие Ф (П)ъ пространстве тензоров валентности ti, называется тензорным произведением представления Ф на себя К раз и обозначается.

Линейная группа Ф<�Н) является подгруппой ортогональной группы SO (tl). Последняя действует в пространстве тензоров валентности /С. При этом тензорное пространство разлагается в прямую сумму IL1 подцространств L, инвариантных относительно указанного действия группы S0(/7). Известно, что каждое из L. L состоит из тензоров, обладающих тем или иным типом симметрии. Каждое одномерное пространство, инвариантное относительно Ф <Н) и состоящее из инвариантных тензоров, принадлежит некоторому из.

В диссертации решена следующая задача: для каждого неприводимого риманова симметрического пространства вычислить линейно независимые инвариантные тензоры валентности К и, в случае К ^ 4, указать, какие из них принадлежат каждому из LL (распределить инвариантные тензоры по типам симметрий).

В дополнение к полученным результатам выявлен геометрический смысл некоторых из найденных инвариантных тензоров.

Комплексная оболочка группы действует на комплексном расширении () вещественного пространства $, а следовательно, и в пространстве С комплексных) тензоров валентности К. пространства ё. Элемент тензорного пространства назовём (квази) инвариантным тензором, если этот тензор не меняется (остаётся пропорциональным самому себе) при всех действиях представления тЦ- ^.

Ф). Аналогично вещественному случаю, можно говорить о типах симметрий тензоров относительно ортогональной (комплексной специальной) группы S0tn, C). Каждый тензор, инвариантный в вещественном смысле, является инвариантным и в комплексном смысле. Из результатов Мантурова О. В. [26] следует, что всяким 171 линейно независимым Ивалентным инвариантным, в комплексном смысле, тензорам соответствует /72 линейно независимых Цвалентных тензоров, инвариантных в вещественном смысле. Кроме того, в подпространстве /Свалентных квазиинвариантных тензоров можно выбрать базис и разбить его на пары так, что каждой паре соответствует вещественное двумерное подпространство, пространства тензоров валентности И, инвариантное относительно группы изотропии. Если группа ff полупроста, понятия «инвариантного» и «квазиинвариантного» (в комплексном смысле) тензора совпадают. В том случае, когда группа вращений не полупроста, в диссертации выяснено, какие из квазиинвариантных тензоров являются инвариантными.

Для всех неприводимых римановых симметрических пространств Q Iff вычислены линейно независимые квазиинвариантные тензоры валентности К 6. Их количество указано в таблицах 5 (для полупростой группы вращений) и б (если Н — не полупроста). Линейно независимые квазиинвариантные тензоры валентности 2, 3 и 4, всех неприводимых римановых симметрических пространств, распределены по типам симметрий ортогональной группы в таблицах 7 (если Иполупроста) и 8 (если Н — не полупроста).

Актуальность работы.

Симметрические римановы пространства играют важную роль во многих классических и современных областях геометрии, топологии, дифференциальных уравнений, анализа, алгебры и т. д. Многие фундаментальные задачи в этих областях связаны с изучением инвариантных объектов на симметрических пространствах. Полученные таблицы тензорных инвариантов могут найти применение в геометрии симметрических пространств и приложениях.

Новизна работы.

Основные результаты диссертации об инвариантных и квазиинвариантных тензорах, сформулированные в теоремах 2.2.1, 2.3.1, 2.4.1, 3.1.1, 3.2.1 и 3.2.2, являются новыми. Автору также принадлежит лемма 3.1 Л о распределении по типам симметрий инвариантных тензоров четвёртой валентности и некоторые технические леммы (2.2.1, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 3.1.2, 3.1.3, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4).

История вопроса и геометрические приложения.

К тридцатым годам XX века появилась возможность связать вопросы нахождения тензорных инвариантов с появившейся к этому времени глобальной теорией полупростых групп и их представлений. Г. Вейль [9J поставил следующую задачу: разложить пространство тензоров заданной валентности на неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований линейного пространства. При этом отыскание инвариантных тензоров сводится к выделению одномерных инвариантных подпространств. Решение общей задачи Г. Вейлем было дано для ортогональной, симплек-тической и полной линейной группы 19]. Таким образом, все тензоры, инвариантные относительно простейших представлений классических линейных групп известны. Для произвольных представлений (даже полупростых) групп Ли вопрос об инвариантных тензорах остаётся открытым.

В статье [303 Рашевский П. К. показал, что всякое линейное представление полупростой группы можно охарактеризовать некоторым четырёхвалентным тензором в том смысле, что он остаётся инвариантным при всех преобразованиях этого линейного представления (и только при них, если не считать преобразований подобия). Таким образом, среди четырёхиндексных инвариантных тензоров симметрических пространств с полупростой группой вращений имеется хотя бы один — тензор П. К. Рашевского. Про другой инвариант валентности четыре — тензор кривизны — упоминалось ранее.

Среди однородных римановых пространств Мантуров О. В. отыскал все изотропно неприводимые [25],[26],[27] и выделил среди них те, которые не являются симметрическими. Это — новый класс пространств, устроенных «чуть сложнее» симметрических. Отысканием трёхвалентных тензоров в пространствах Мантурова О. В., инвариантных относительно группы изотропии, занимался Г. Ф. Кушнер [24].

Остановимся подробнее на известных инвариантных тензорах некоторых представлений полупростых групп Ли.

Метрический тензор (jy является классическим примером инварианта группы движений на римановом многообразии. Он является симметрическим и задаёт положительно определённую квадратичную форму, которая, в свою очередь, полностью определяет внутреннюю геометрию многообразия.

Другими классическими примерами двухвалентных инвариантов являются тензор Риччи и тензор почти комплексной структуры. Однородное пространство называется почти комплексным, если оно имеет инвариантом тензор почти комплексной структуры. Частные случаи почти комплексных пространств классифицировал в 1954 году А. Борель [39]. Мантуров О. В. в 1961 году выделил почти комплексные пространства из изотропно неприводимых [25],[273. Позднее аналогичными вопросами занимался Дк. Вольф [45]. Частным случаем изотропно неприводимых пространств являются неприводимые симметрические пространства, которые рассматриваются в настоящей диссертации. Свёртка тензора почти комплексной структуры с метрическим даёт пример инвариантного двухвалентного кососимметрического тензора. Таким образом, в случае почти комплексных симметрических пространств имеется два двухвалентных инварианта: один — симметрический, другой — кососимметрический. Интерес к теории почти комплексных пространств не ослабевает и в последнее время [22],.

Г231.

Важными для физических приложений являются инвариантные тензоры црисоединённых представлений групп Ли. Известно [I], что каждому набору симметрических инвариантных тензоров отвечает оператор Казимира, имеющий их своими коэффициентами. В цитируемой работе (стр. 305) приводится способ построения Квалентных симметрических тензоров, для любого И = 2,3,., инвариантных относительно присоединённого представления группы. пК.

Тензор структурных констант С • • алгебры Ли является инвариантом относительно присоединённого представления соответствую.

7-к щей группы Ли. Известно, что каждому трёхвалентному тензору /, у векторного пространства V соответствует алгебра в этом простран.

ГК стве. Более того, тензорному инварианту некоторого представления группы соответствует алгебра в пространстве представления, инвариантная относительно данного представления. Особенно важную роль играют трёхвалентные инварианты однородных пространств. Их наличие эквивалентно существованию алгебры инвариантных векторных полей на однородном пространстве.

Из результатов диссертации следует, что трёхвалентные инварианты имеют следующие неприводимые симметрические римановы пространства: все группы Ли как симметрические пространства, пространства серий AI (tl У/3) и АН (ЛЪЗ), пространство серии т, при р~(j, = /, а также особое пространство EIV.

Алгебраические операции над инвариантными тензорами (сумма, произведение, свёртка) приводят к тензорам инвариантным относительно того же представления. Интересная конструкция получения ко-сосимметрических инвариантов (валентности 2К-i), относительно присоединённого представления группы, из симметрических (валентности ft), и наоборот, дана в статье Дшкина Е. Б. [13]. Конструкция использует тензор структурных констант.

Указанные операции над инвариантными тензорами позволяют получать инвариантные тензоры всё более высоких валентностей. Однако далеко не все инвариантные тензоры, как видно из таблиц 5 и 6 диссертации, происходят из тензоров меньшей валентности.

Математический аппарат.

Основным методом решения задачи, поставленной в диссертации, является метод разложения кронекеровских произведений представлений полупростых групп Ли в прямую сумму неприводимых компонент. Задача о разложении кронекеровского произведения представлений группы QL (h, C) полностью решена [14]. Для некоторых классических групп сформулированы удобные графические правила [I], [38]. Общая формула разложения кронекеровского произведения в прямую сумму неприводимых компонент, для представлений произвольной полупростой группы Ли, была получена Костантом Б. и Стейнбергом Р. [43]. Практическое использование этой формулы представляется затруднительным даже для групп Ли низких размерностей. Её модификации появились в работах Страуманна Н. [44] и Климыка А. У. [20]. Явная формула разложения кронекеровских произведений представлений полупростых алгебр Ли в частном случае, когда одно представление «велико» по сравнению с другим, получена Мантуровым О. В. [28]. Мы будем пользоваться следствием из общей теоремы.

Необходимой для наших целей является задача нахождения всех весов, связанных со старим весом, и их кратностей. Она была решена Фрейденталем X. [40] и Костантом Б. [42]. Однако полученные формулы пригодны для практических целей, разве чшо^для групп Ли малых размерностей. Другие формулы для кратностей весов были получены Климыком А. У. [19], [21].

При распределении инвариантов по типам симметрий возникает проблема аналогичная той, что встречается во многих физических задачах, а именно: какие неприводимые представления подгруппы Н группы G входят в сужение на подгруппу Н неприводимого представления (f> группы G. Основные результаты для GL (ti, C), ортогональной группы и симплектической группы получены.

Желобенко Д.П. [16]. Представляют интерес в этом плане работы Сироты А. И. [33] и Мантурова О. В. [261.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложений.

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения. — М.: Мир, т. 1,2, 1980.

2. Борель А. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли. Сб. «Расслоенные пространства и их приложения». М.: ИЛ, 1958.

3. Борзенко A.M. Об инвариантных к-линейных формах на симметрических пространствах. В сб.: Прикладные вопросы дифференциальной геометрии, М., 1982, с. 98−116. — Деп. в ШНИТИ, № 1648−82.

4. Борзенко A.M. Об инвариантных к-линейных формах на симметрических римановых пространствах. В сб.: Дифференциальная геометрия и приложения, М., 1982, с. 18−37. — Деп. в ШНИТИ, № 1442−83.

5. Борзенко A.M. О типах симметрий инвариантных тензоров на симметрических пространствах. в сб.: Прикладные вопросы дифференциальной геометрии, М., 1983, с. 3−22. — Деп. в ШНИТИ, Р 5570−83.

6. Борзенко A.M. Об инвариантных тензорах на симметрических пространствах. В сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1983, с. I30-I3I.

7. Борзенко A.M. К вопросу об инвариантных тензорах на симметрических пространствах. В сб. Дифференциальная геометрия и алгебры Jfo, М., 1983, с. 24−37. — Деп. в ШНИТИ, № 2384−84.

8. Борзенко A.M., Щукин О. И. Об одной задаче Мантурова О. В. в сб.: Дифференциальная геометрия и алгебры Ли, М., 1983, с. 38−40. Деп. в ВИНИТИ, Р 2384−84.

9. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.- М.: Гос. изд. иностр. лит., 1947.

10. Гото М., Гросханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

11. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

12. Дшкин Е. Б. Максимальные подгруппы классических групп. Тр. Моск. матем. об-ва, т. I, 1952, с. 39−166.

13. Дшкин Е. Б. Топологические характеристики гомоморфизмов компактных групп Ли. Матем. сборник, нов. сер., т. 35(77), вып. I, 1954, с. 129−173.

14. Желобенко Д. П. Гармонический анализ функций на полупростых группах Ли, I. Изв. АН СССР, сер. матем., 27, 1343 (1963).

15. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

16. Желобенко Д. П. Описание всех неприводимых представлений произвольной связной группы Ли. ДАН СССР, 139, 1291 (1961).

17. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М.5 ИЛ, 1949.

18. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

19. Клишк А. У. Кратности весов представлений и кратности представлений полупростых алгебр Ля. ДАН СССР, 177, 1001 (1967).

20. Климык А. У. Разложение прямого произведения неприводимых представлений полупростой алгебры Ли на неприводимые представления. Укр. матем. журнал, 5, 19 (1966).

21. Климык А. У. Рекуррентные соотношения для кратностей весов и для кратностей представлений комплексной полупростой алгебры Ли. Укр. матем. журнал, 18, 19 (1966).

22. Комраков Б. П. Структуры на многообразиях и однородные пространства. Минск: «Наука и техника», 1978.

23. Комраков Б. П., Чекалов И. В. Инвариантные структуры и однородные пространства. Изв. АН БССР, Р I, 1978.

24. Кушнер Г. Ф. Об одном свойстве тензора кручения в однородных римановых пространствах О. В. Мантурова. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, вып. 13, 1966, с. 146−167.

25. Мантуров О. В. Об однородных римановых несимметрических пространствах с неприводимой группой вращений. ДАН СССР, 141, Р4, 1961, с. 792−795.

26. Мантуров О. В. Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, вып. 13, 1966, с. 68−145.

27. Мантуров О. В. Римановы пространства с ортогональными и симп-лектическими группами движений и неприводимой группой вращений. -ДАН СССР, 141, Р 5, 1961, с. 1034−1037.

28. Мантуров О. В. Стабилизация коэффициентов Клебша-Гордана для полупростых алгебр Ли. В сб.: Прикладные вопросы дифференциальной геометрии, М., 1982, с. 3−13. — Деп. в ВИНИТИ, Р 1648−82.

29. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

30. Рашевский П. К. Линейная полупростая группа как группа инвариантности тензора четвёртой валентности. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, вып. 10, 1956, с. I05-II7.

31. Рашевский П. К. О геометрии однородных пространств. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, вып. 9, М.-Л., 1952, с. 49−74.

32. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

33. Сирота А. И. Разложение линейных представлений симплектической и ортогональной групп, индуцированных представлением полной линейной группы. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, вып. 13, 1966, с. 54−67.

34. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд. Моек, ун-та, 1983.

35. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

36. Чеботарёв Н. Г. Теория групп Ли. М.-Л., 1940.

37. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров вRiemann1 овых пространствах. Известия Казанского физ.- мат. об-ва, 2 (25), (1925), с. 86−114.

38. Boerner Н. Representations of groups with special considerations for the needs of modern physics. North — Holl, Publ. Co., Amsterdam, 1963.

39. Borel A. Kahlerian coset spaces of semi-simpl Lie groups. -Proc. Nat. Acad. Sci, USA, 40, 1954, 1147−1151.

40. Preudenthal H. De Vries H. Linear Lie groups. Acad. Press, New York, 1969.

41. Hopf H. Ueber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen. Ann. Math., 42, 1941, 22−52.

42. Kostant B. A formular for the multiplicity of a weight. -Trans. Amer. Math. Soc., 93, 1959, 53−73.

43. Steinberg R. A general Clebsh-Gordan theorem. Bull. Amer. Math. Soc., 67, 1961, 406−407.

44. Straumann N. Branching rules and Clebsh-Gordan series of semi-simple Lie algebras. Helv. Phys. Acta, 3S, 5, 1965, 481−498.

45. Wolf J.A. The geometry and structure of isotropy irreducibl homogeneous spaces. Acta Math., 120, 1−2, 1968, 59−146.

46. Борзенко A.M. О типах симметрий инвариантов симметрических пространств. Изв. вузов. Матем., Казань, 1984, № 5, с.73−75.