Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков

Настоящая диссертация посвящена исследованию вполне интегрируемых гамильтоновых систем и состоит из двух независимых частей.

Первая часть диссертации мотивирована геометрическим доказательством гипотезы Мищенко-Фоменко [24], полученным А. В. Бол-си новым [7].

Гипотеза Мищенко-Фоменко утверждает, что для каждой вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов на ее двойственном пространстве. Для случая полупростых алгебр Ли эта гипотеза была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко при помощи разработанного ими метода сдвига аргумента [23]. В общем случае доказательство было впервые получено С. Т. Садэтовым [26]. Оказалось, что доказательство становится возможным, даже если вместо поля вещественных или комплексных чисел рассматривать алгебры Ли над абстрактным полем. А именно, теорема Садэтова говорит, что гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики. А. В. Болсинов в работе [7] изложил чисто алгебраическое доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, что сделало доказательство конструктивным и позволило эффективно работать с конкретными алгебрами Ли.

В основе доказательства лежит конструкция, которая сводит задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного. Это позволяет действовать по индукции: на каждом шаге мы сводим задачу к построению полного коммутативного набора полиномов для алгебры меньшей размерности и действуем так до тех пор, пока не получим абелеву или полупростую алгебру Ли. В последнем случае остается применить метод сдвига аргумента [23]. Однако, хорошо известно, что метод сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других классов алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем возникающим в процессе индукции алгебрам. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях [5]. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А именно, делать индуктивный шаг, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор, построенный методом сдвига аргумента, не является полным согласно новому критерию. В первой части диссертации мы строим обобщение метода сдвига аргумента (формальный метод сдвига аргумента) для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказываем критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.

Перейдем к краткому изложению структуры и главных результатов первой части диссертации. В разделе 1.1 мы напоминаем основные определения, формулируем гипотезу Мищенко-Фоменко в терминах пуассоновой алгебры P (q) и обсуждаем центральную идею ее доказательства. В разделе 1.2 мы напоминаем метод сдвига аргумента [23] и критерий полноты для вещественного и комплексного случаев [5].

Начиная с раздела 1.3 мы рассматриваем алгебры Ли над произвольным полем К нулевой характеристики. Хорошо известно, что инварианты коприсоединенного представления, вообще говоря, не обязаны быть полиномами. В вещественном и комплексных случаях этот недостаток можно легко устранить, разложив инвариант / в ряд Тейлора в окрестности точки, а? д* f (a + Хх) = /(о) + Afa>1(x) + X2fa, 2(x) +. и взяв вместо самого инварианта полиномы {fa, k}keNОдна из трудностей, с которой мы сталкиваемся при переходе к абстрактному полю, — это отсутствие на поле К априорно заданной топологии, и, как следствие, отсутствие дифференцирования функций на разложения их в ряд и т. д. В разделе 1.3 вместо кольца всех инвариантов алгебры Ли 1(g) мы рассматриваем центр ее пуассоновой алгебры 2(q). Таким образом, мы ограничиваемся рассмотрением только полиномиальных функций на д*, а в этом случае дифференцирование можно определить чисто алгебраически (формально), без понятия непрерывности. Недостатком такого подхода является то, что нам может просто не хватить полиномов из центра для построения полного набора. Поэтому мы должны потребовать, чтобы меньшее, вообще говоря, множество Z{q) совпадало со множеством всех инвариантов Х (д) в смысле функциональной зависимости. В результате получается следующий критерий полноты для полиномиального случая (см. также [45]):

Теорема 4. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль, trdeg Z (q) = ind Qua 6 Q*cg. Коммутативный набор полиномиальных а-сдвигов центральных функций является полным тогда и только тогда, когда codim (д*)^ > 2.

Здесь Q*eg обозначает множество регулярных элементов (относительно коприсоединенного представления алгебры Ли д), Q*sing = 0* Qreg ~ множество сингулярных элементов и / = 0 (Эк К обозначает алгебру Ли над алгебраическим замыканием К основного поля (аналог комплексификации для вещественного случая). Отметим, что условие полноты codim (gK)*m5 > 2 допускает естественную интерпретацию без использования алгебраического замыкания основного поля (см. Замечание 13).

В разделе 1.4 мы отказываемся от условия trdeg Z (q) — indg и исследуем более широкий класс алгебр Ли — класс алгебраических алгебры Ли. В этом случае из теоремы Розенлихта [50, 12] следует, что можно ограничиться рассмотрением рациональных инвариантов. Далее, для построения сдвигов рациональных инвариантов над произвольным полем К, мы используем алгебро-геометрический формализм [31], позволяющий каждой рациональной функции и ее регулярной точке сопоставлять взаимно-однозначным образом формальный ряд Тейлора. В итоге, для алгебраических алгебр Ли критерий полноты имеет следующий вид:

Теорема 5. Пусть g — конечномерная алгебраическая алгебра Ли над полем К характеристики нуль и, а € Q*egКоммутативный набор полиномиальных а-сдвигов рациональных инвариантов является полным тогда и только тогда, когда codim> 2.

В разделе 1.5 мы отказываемся от условия алгебраичности и рассматриваем произвольные конечномерные алгебры Ли. В этом случае, в отличие от вещественных, комплексных или алгебраических алгебр, отсутствует группа (Ли или алгебраическая), в частности, нет ни коприсоединенного представления группы, ни инвариантов этого представления. Тем не менее, оказывается, можно естественным способом определить объекты, играющие роль инвариантов. Если К = Ж. или С, то хорошо известно, что аналитическая функция / € -4(0*) является инвариантом коприсоединенного представления тогда и только тогда, когда ас^д^ж = 0. В этом определении участвуют только структурные константы алгебры Ли Q, поэтому оно имеет смысл для любого поля К. В случае произвольного поля надо лишь договориться, что понимать под /. Ограничиться только рациональными функциями К (д*), как это позволяла сделать теорема Розенлихта в алгебраическом случае, нельзя, так как теперь алгебра Ли не обязательно алгебраическая, и в этом случае рациональных инвариантов для построения полного набора может не хватить. С другой стороны, хорошо известно, что в вещественном или комплексном случае инварианты могут быть глобально не определены, и тогда мы вынуждены рассматривать локальные инварианты, которые по своей сути являются сходящимися рядами. Эти соображения приводят к следующей естественной идее: под инвариантом (точнее формальным инвариантом) коприсоединенного представления мы будем понимать формальный ряд из кольца Щ[д*]], удовлетворяющий некоторому естественному условию (типа ad— 0) — Тогда однородные части таких формальных инвариантов будут аналогами сдвигов «классических» инвариантов.

В разделе 1.5 мы реализуем описанную идею. В параграфе 1.5.1 мы доказываем необходимый технический результат — формальную теорему Фробениуса, которая является формальным аналогом классической теоремы об интегрируемости распределений.

Теорема 7 (Формальная теорема Фробениуса). Формальное распределение Т> — span{i>i,., Vk} на постоянного ранга к формально интегрируемо тогда и только тогда, когда все коммутаторы [vi, Vj] линейно выражаются через v,., Vk с коэффициентами из K[[a-i,., хп}}.

В параграфе 1.5.2 мы вводим понятие «формального инварианта» для любого (не обязательно коприсоединенного) представления алгебры Ли и доказываем существование «максимального» набора таких инвариантов. Существование максимального набора формальных инвариантов является прямым следствием формальной теоремы Фробениуса.

Теорема 8. Для любого представления р: g —> ?jt (V) и любого регулярного элемента, а 6 V существует набор. из s = dim V — dim g + St (а) формальных инвариантов представления p в точке а, дифференциалы которых в нуле линейно независимы.

В параграфе 1.5.3 мы рассматриваем коприсоединенное представление алгебры Ли ad*: 0 —" ?jt (.g*). Используя результаты, полученные в предыдущих параграфах, мы определяем набор полиномов Га{Т (о)) в пуассоновой алгебре Р (д) как набор однородных частей формальных инвариантов представления ad* в регулярной точке, а Е д* и доказываем его коммутативность. Такой метод построения коммутативного набора полиномов мы называем формальным методом сдвига аргумента. Доказательство критерия полноты набора Га (1{д)) (параграф 1.5.6) почти автоматически следует из двух лемм из линейной алгебры: леммы об иерархии, порождаемой парой билинейных форм (параграф 1.5.4), и леммы о паре кососим-метрических билинейных форм (параграф 1.5.5).

Теорема 11. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль и, а? g*eg — регулярный элемент.

1. Коммутативный набор! Fa (I (g)), построенный формальным методом сдвига аргумента, является полным тогда и только тогда, когда codim (flg):ine > 2.

2. Коммутативный набор Та{Х{д)) является полным в регулярной точке х? д*ед тогда и только тогда, когда прямая х + До | Л 6 К} не пересекает множество (0к)згП9.

В разделе 1.6 мы напоминаем конструкцию, лежащую в основе геометрического доказательства гипотезы Мищенко-Фоменко [7]. Заключительный раздел 1.7 первой части диссертации посвящен примерам применения критерия полноты коммутативного набора полиномов, построенного формальным методом сдвига аргумента.

На основе результатов, полученных в первой части диссертации, готовится статья в журнале «Математические Заметки» .

Во второй части диссертации мы рассматриваем геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов и продолжаем исследования начатые А. В. Болсиновым, И. А. Таймановым, А. П. Весе-ловым и X. Р. Дуллиным в работах [8, 9, 34].

Замкнутое многообразие называется надстройкой автоморфизма, А: Тп —> Тп, если существует расслоение, А тп р: 1Щ+1 S1 многообразия над окружностью S1 со слоем тор Тп, такое, что мо-нодромия расслоения задается матрицей, А Е 5L (n, Z).

Многообразие обладает интересными свойствами. Простейший нетривиальный пример с.

А = был рассмотрен JI. Батлером [36]. В этой работе была построена аналитическая римаиова метрика на М, геодезический поток которой интегрируем по Лиувиллю при помощи гладких интегралов, но неинтегрируем в классе аналитических функций. Последнее утверждение было доказано при помощи топологических препятствий к аналитической интегрируемости, найденных И. А. Таймановым [28, 29]. Таким образом, было показано, что некоторые из этих топологических препятствий не мешают гладкой интегрируемости.

Г. П. Патернайн [47, 48] доказал, что если геодезический поток на замкнутом многообразии интегрируем, то, при выполнении некоторых дополнительных условий, его топологическая энтропия равна нулю. Он также предположил, что топологическая энтропия интегрируемого геодезического потока на замкнутом многообразии всегда равна нулю. Отметим, что топологическая энтропия в примере Батлера нулевая, что согласуется с гипотезой Патернайпа.

А. В. Болсинов и И. А. Тайманов [8] опровергли эту гипотезу для гладкого случая, рассмотрев многообразие М с автоморфизмом.

Обобщив конструкцию Батлера, они построили первый пример С°°-интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией. Аналогичные результаты имеют место и для случая п > 2 [9].

Квантовым аналогом задачи об интегрируемости геодезического потока на многообразии является описание спектра и собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа. В статье [34] авторами построен базис в пространстве L2(Mj[), состоящий из собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа, которые описываются при помощи решений так называемого модифицированного уравнения Матье. Во второй части диссертации мы рассматриваем многомерную ситуацию п > 2 и главным результатом является описание спектра и построение собственного базиса для оператора Бельтрами-Лапласа па ЫМТ1): который описывается при помощи решений одномерного уравнения Шредингера.

Перейдем к краткому изложению структуры и главного результата второй части диссертации. В разделе 2.1 мы напоминаем основные определения связанные с надстройками автоморфизмов торов. В разделах 2.2 и 2.3 мы описываем риманову метрику и оператор Бельтрами-Лапласа на Раздел 2.4 посвящен доказательству основного результата:

Теорема 13. Пусть функции Ф[7], аи Q^{z) задаются формулами (2.10) и (2.6) соответственно. Тогда набор функций {Ф[7], ь7? Г* {0}} U {1, cos kirz, sin kirz} где k € N образует собственный базис оператора Лапласа-Велътрами в пространстве При этом функции Ф[7],/г отвечает собственное значение £[7], ь являющееся собственным значением оператора Шредингера на прямой с потенциалом Q1{z).

Результаты полученные во второй части диссертации опубликованы в статье [18] и доложены на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям — академику РАН А. Т. Фоменко за постоянную поддержку и внимание к работе и профессору А. В. Болсинову за постановку задач, плодотворные обсуждения и ряд ценных замечаний и идей, определивших направление развития этой работы. Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета за помощь в течении его учебы.

1. Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М.: Физматгиз, 1961.

2. Березин Ф. А., Шубин М. А., Уравнение Шредингера, М.: МГУ, 1983.

3. Бессе А., Многообразия с замкнутыми геодезическими, М.: Мир, 1981.

4. Богоявленский О. И., Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, 48:5, 883−938.

5. Болсинов А. В., Критерий полноты семейства функций в инволюции, построенного методом сдвига аргумента, ДАН СССР, 1988, т.301, № 5. с.1037−1040.

6. Болсинов А. В., Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции, Известия АН. СССР, Сер. матем., 1991, 55, № 1, 68−92.

7. Болсинов А. В., Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Миш^нко-Фоменко, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Вып. 26, М.:МГУ, 2005, 87−109.

8. Болсинов А. В., Тайманов И. А., О примере интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией, УМН, 1999, 54:4(328), 157−158.

9. Болсинов А. В., Тайманов И. А., Интегрируемы геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов, Труды МИ-РАН. 2000. Т. 231. С. 46−63.

10. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1985.

11. Винберг Э. Б., Онищик A. JI., Семинар по группам Ли и ал-гебраическим группам, М., Наука, 1988.

12. Винберг Э. Б., Попов В. JL, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направ., 1989, 55, 137−309.

13. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Наука, 1966.

14. Гельфанд И. М., Захаревич И. С., Спектральная теория пучка кососимметрических дифференциальных операторов 3-го порядка на Функц. анализ и его прил., 1989, 23:2, 1−11.

15. Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли, М., Мир, 1981. .

16. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Геометрия и топология многообразий, М.: Эдито-риал УРСС, 1998.

17. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, Мир, 1978.

18. Зуев К. М., Спектр оператора Белътрами-Лапласа на надстройках автоморфизмов торов, Матем. сб., 2006, 197:9, 43−54.

19. Кириллов А. А., Лекции по методу орбит, Новосибирс, Науч. книга, 2002.

20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1976.

21. Короткевич А., Полные коммутативные наборы полиномов на алгебрах Ли малой размерности.

22. Манаков С. В., Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, 10:4, 93−94.

23. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, Изв. АН СССР. Сер. Матем., т.42, № 2, 1978, 396−415.

24. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Интегрирование гамильто-новых систем с некоммутативными симметриями, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, вып.20, М.:МГУ, 1981, 5−54.

25. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики. Анализ операторов, М.: Мир, 1982.

26. Садэтов С. Т., Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Доклады РАН, 2004, 397 № 6, 751−754.

27. Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, М.: Мир, 1970.

28. Тайманов И. А., Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, 51:2, 429−435.

29. Тайманов И. А., О топогических свойствах интегрируемых геодезических потоков, Матем. заметки, 1988, 44:2, 283−284.

30. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, М.: Факториал, 1995.

31. Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, т.1. М., Наука, 1988.

32. Abellanas L., Alonso L. М., A general setting for Casimir invariants, J. Math. Phys., Vol. 16, No. 8, 1975, 1580−1584.

33. Bolsinov A. V., Complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras: a proof of the Mischenko-Fomenko conjecture, 2008, revised and extended version of 7].

34. Paternain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows, Ergod. Theory Dynam. Syst. 12 (1992), 109−121.

35. Paternain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows //, J. Georn. Phys. 13 (1994), 289- 298.

36. Praught J., Smirnov R. G., Andrew Lenard: A Mystery Unraveled, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, Vol. 1 (2005).

37. Rosenlicht M., Some basic theorems on algebraic groups, Amer. J. Math., 1956, 78, 401−443.

38. Thompson R. C., Pencils of complex and real symmetric and skew matrices, Linear algebra and its applications, 147:323−371(1991).

39. Turnbull H. W., Aitken A. C., An introduction to the theory of canonical matrices, Dover Publications Inc., New York, 1961.