Гауссовы диаграммы и инварианты первой степени погружений двумерной сферы

В данной работе изучаются общие погружения сферы Б2 в ориентированное трехмерное многообразие М3. Под общими погружениями будем понимать погружения общего положения.

Так как многое из обсуждаемого в работе в значительной степени аналогично вопросам, связанным с общими погружениями окружности 51 в ориентируемое двумерное многообразие М, параллельно описываются некоторые результаты в этом направлении. 0.1. Гауссовы диаграммы. 0.1.1.Гауссовы диаграммы кривых.

Образ общего погружения окружности 51 в многообразие М2 называют кривой на многообразии М — в том случае, когда говорят о плоской кривой. Ясно, что прообраз любой точки кривой состоит из не более, чем двух точек на окружности 51. Те точки кривой, прообраз которых состоит ровно из двух точек, называют двойными точками кривой.

Для кривой на ориентированной поверхности (или плоской кривой) можно построить так называемую Гауссову диаграмму кривой, которая представляет собой окружность 51, на которой отмечены прообразы двойных точек и каждая пара точек — прообразов одной двойной точки кривой — соединена ориентированной хордой (если у кривой п двойных точек, то ее Гауссова диаграмма — это окружность с п ориентированными хордами, п? М). В приложении 1 мы подробно описываем построение Гауссовой диаграммы кривой.

Можно говорить о Гауссовой диаграмме и безотносительно к какой-либо кривой, как об окружности 51 с конечным числом ориентированных хорд. Если Гауссова диаграмма С является Гауссовой диаграммой некоторой кривой на поверхности (ориентированной замкнутой поверхности рода то говорят, что диаграмма С реализуется на поверхности ^ (а кривая является реализацией диаграммы G). Ясно, что если Гауссову диаграмму можно реализовать на поверхности рода g, то ее можно реализовать и на поверхности большего рода. В приложении 2 мы подробно останавливаемся на реализуемости Гауссовой диаграммы. Здесь же мы сформулируем два основных результата.

0.1.1.1.Теорема. (J. Scott Carter [9]) Для любой Гауссовой диаграммы G существует такое число g EN U{0}, что диаграмма G реализуется на поверхности рода g и не реализуется на поверхности меньшего, чем g, рода (для плоской кривой g = 0). Это число g называется родом Гауссовой диаграммы G.

В [9] указан лишь способ построения поверхности минимального рода по данной Гауссовой диаграмме, но без вычисления ее рода. Алгоритм вычисления рода Гауссовой диаграммы приведен в приложении 2. Пусть креализация Гауссовой диаграммы G на ориентированной замкнутой поверхности Fg, где g — род диаграммы G. По диаграмме G строится матрица 1{к), которая является матрицей индексов пересечений в некотором порождающем множестве jxmHy (Fg', Z), так что справедлива следующая теорема: 0.1.1.2.Теорема. Rang l (k) = Ig.

0.1.2.Гауссовы диаграммы общих погружений сферы.

Глава вторая данной работы посвящена построению Гауссовой диаграммы общего погружения сферы S в ориентированное многообразие М. Гауссовы диаграммы погружений сферы описываются в терминах прообраза особых точек погружений, поэтому значительная часть первой главы посвящена изучению прообраза особых точек общего погружения S2 -" М3.

2 3 2.

Пусть/: S ->М — общее погружение сферы S в ориентированное многообразие М. Прообраз любой точки погружения /состоит не более, чем из трех точек. Тройной точкой погружения / будем называть точку р Е 1т/, прообраз которой состоит ровно из трех точек. Двойной точкой погружения / будем называть точку р?1т/, прообраз которой состоит ровно из двух точек. Двойной линией погружения /будем называть подмножество Ь образа /т/такое, что: во-первых, прообраз любой точки множества Ь содержит не менее двух точек, во-вторых, множество Ь может быть задано как образ погружения окружности в Л/3.

Двухкомпонентной кривой на сфере мы будем называть образ общего погружения дизъюнктного объединения двух окружностей в сферу 52, образ каждой из двух окружностей будем называть компонентой двухкомпонентной кривой.

2 3.

0.1.2.1 Лемма. (1) Для любого общего погружения/: 5 М прообраз двойной линии — объединение двухкомпонентной кривой на сфере и конечного числа точек, и прообраз объединения всех двойных линий — это объединение соответствующих двухкомпонент-ных кривых.

2) Для любого общего погружения /: 5 -> М прообраз тройной точки — три точки пересечения прообразов двойных линий.

Под компонентами прообраза двойной линии в дальнейшем будем понимать компоненты соответствующей двухкомпонентной кривой.

2 3.

Погружение /:8 М задает стратификацию пространства М. Пусть, А — множество кратных (двойных и тройных) точек погружения /.

— - множество нульмерных стратов — множество тройных точек погружения/,.

— множество одномерных стратов — множество компонент связности.

— ?2 — множество двумерных стратов — множество компонент связности.

1т/Л,.

— 2з — множество трехмерных стратов — множество компонент связности Мъ[т /.

Прообраз множества Л при погружении/ задает стратификацию сферы Ь :

— Е0- множество нульмерных стратов в множество точек пересечения кривых из/ Л (А), т. е. 20=/ 2.

— - множество одномерных стратов в Я — множество компонент связности.

1(4)20,т.е.

— 22-множество двумерных стратовмножество компонент связности 52/ 1(4)> т. е. Ъ2=/-2д.

Элементы множеств и мы будем называть областями, элементы множеств и мы будем называть ребрами, элементы множества Е0двойными точками. (Очевидно, на сфере Б2 любая двойная точка лежит в замыкании некоторого ребра.).

Компоненты /1 и /2 (нумерация компонент произвольная) прообраза двойной линии / общего погружения/ естественным образом ориентируются (см. § 8). Ориентация двухкомпонентных кривых в прообразе задает ориентацию всех ребер на сфере 52. Погружение/ определяет соответствие между ребрами компонент ^ и / 2: соответствуют друг другу склеиваемые при/ ребра (склейка происходит обращающим ориентацию диффеоморфизмом). Для описания соответствия между ребрами /1 и / 2 достаточно указать одну пару соответствующих друг другу ребер на /1 и /2. Ориентация компоненты задает циклический порядок ребер на ней. Выбор пары соответствующих ребер на двухкомпонентной кривой задает линейный порядок ребер на каждой компоненте, который определяет соответствие между всеми ребрами компонент ii и i2 с обращением порядка (взаимнооднозначное, поскольку, очевидно, i’i и i2 имеют одинаковое число ребер).

Двойные точки р, р2Е⁰ будем называть соответствующими друг другу, если/(р) =f (pi). Заметим, что соответствие между ребрами на сфере S2 согласовано с соответствием между двойными точками: начало замыкания одного ребра соответствует концу замыкания другого ребра (начало и конец замыкания ребра определяются ориентацией этого ребра).

2 3.

Гауссовой диаграммой общего погружения/: S М будем называть ориентированную сферу S, на которой отмечены все ориентированные двух-компонентные кривые, лежащие в прообразах двойных линий погружения, и указан способ склейки двойных линий (указаны пары соответствующих ребер). Как правило, склеиваемые ребра в рассмотренных нами примерах не указываются, но подразумеваются.

Тройную точку р Е Irnf погружения/будем называть точкой вида ijk, если точкар — это точка пересечения трех двойных линий i, j и к погружения /. (В частности, если двойные линии ink совпадают, точка р — точка вида iij или ij, если двойные линии i, j и к совпадают, точка р — точка вида Ш или г3). Точку пересечения двух кривых к и / на сфере S2 будем называть точкой вида kl. Точку самопересечения кривой к будем называть точкой вида кк или е.

Пусть i, j и к — двойные линии общего погружения /, и пусть двухком-понентные кривые на сфере S2 {ih i2j Cf’i), {jhj2} С f’j),{kh k2} С fk) компоненты прообразов двойных линий i, j и к (расстановка индексов для компонент двухкомпонентных кривых произвольна).

0.1.2.2. Лемма. Прообраз тройной точки вида у к общего погружения/ - три точки вида? и'ь /2 кх и72 к2. 0.1.2.3.Лемма. Пустьр — тройная точка вида ук в образе погружения/, г Э {/ь/2}, / '(/) 3 {/у2}, /-1 (*) Э {кМ и Р1Е ц П]ьр2 Е ?2 Пк— прообразы точки р. Пусть г (11) — касательный вектор к кривой /1 в точке ръ т^х) — касательный вектор к кривой/ в точкеР, г (/2) — касательный вектор к кривой /2 в точке р2, г (А:]) — касательный вектор к кривой к1 в точке р2. Тогда в окрестностях точек р и р2 ориентации пар векторов (г (11), г (/1)) и (г (/2), г^)) противоположны.

Рассмотрение структуры, обладающей перечисленными выше свойствами Гауссовой диаграммы общего погружения, но без предположения о.

2 3 том, что она отвечает какому-либо погружению/: 5 М, приводит к понятию сферической Гауссовой диаграммы, те есть сферическая Гауссова диаграмма представляет собой ориентированную сферу, на которой отмечен набор ориентированных трансверсально пересекающихся двухкомпонентных кривых, и для каждой двухкомпонентной кривой указана пара соответствующих ребер (по одному на каждой компоненте), при этом:

1) компоненты одной двухкомпонентной кривой имеют одинаковое число ребер- *.

Ориентация, условие (1) и выбор пары соответствующих ребер устанавливают соответствие между всеми ребрами двухкомпонентной кривой как в Гауссовой диаграмме общего погружения. Соответствие между ребрами определяет соответствие между двойными точками как в Гауссовой диаграмме общего погружения.

2) соответствие между двойными точками удовлетворяет свойствам из леммы 0.1.2.2 и леммы 0.1.2.3.

0.1.3.Реализуемость сферической Гауссовы диаграммы.

В третьей главе данной работы изучается вопрос реализуемости сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере.

Реализацией сферической Гауссовой диаграммы С в многообразии М3 будем называть общее погружение/: 5 М такое, что С является Гауссовой диаграммой погружения/ Сферическую Гауссову диаграмму, для которой существует реализация в некотором ориентированном многообразии М, будем назвать реализуемой. Множество всех реализуемых сферических Гауссовых диаграмм обозначим через (7.

Пусть диаграмма б Е (7 и общее погружение/: 5 Мреализация диаграммы Сг. Образ погружения 1т/ представляет собой двумерный ком.

1 1 плекс Ко,/. Заметим, что для любых двух реализаций /, #: 5 М диаграммы С комплексы Ко,/и Когомеоморфны. Через Ко обозначим комплекс, построенный по какой-нибудь реализации диаграммы С. Вложение ш :

Ко индуцирует отображение групп гомологий т*: Нч (Ко- 22) Нч (М3- 2г) = 0,1,2)(рассматриваются гомологии с коэффициентами в Ъг, поскольку решается вопрос о реализации сферической Гауссовой диаграммы в 22-гомологической сфере).

Пусть Т Ксрегулярная окрестность комплекса Ас в многообразии М3. Определим спаривание Ф: Н (Кс- 2'2)хН2(КС- -" 1 г, положив Ф{а, Р)~ [т* (а):т*(0)], где [:]: Н^ТКо #2) * Нг{ТКо — индекс пересечения.

0.1.3.1.Теорема. Спаривание Ф определено корректно, то есть не зависит ни от М3, ни от ш, и определяется по самой диаграмме в.

0.1.3.2.Теорема. Для того чтобы диаграмма в Е (г реализовывалась в £2-гомологической сфере необходимо и достаточно, чтобы Ф = 0.

0.2. Инварианты первой степени.

В четвертой главе данной работы описываются инварианты первой степени общих погружений 5 /? и дается их выражение в терминах Гауссовых диаграмм. В понимании инвариантов конечной степени мы следуем работам М. Гусарова ([16], [17], [18]), В. А. Васильева ([33], [34]), В. И. Арнольда ([1], [2], [3]), О. Я. Виро ([35], [36]) и Т. Новика [25, 26].

Понятие инварианта конечной степени для узлов и для струнных зацеплений появилось в конце 80-х годов 20 века независимо в работах В. А. Васильева и М. Гусарова. Большой объем научных статей в конце прошлого начале этого веков был посвящен развитию этого понятия (см., например, [1], [4]-[6], [10], [12], [21]) и вычислению инвариантов конечной степени в различных терминах, в том, числе и с помощью Гауссовых диаграмм узлов ([7], [13], 19], [23], [27], [29], [35]).

Для плоских кривых в [2] В. И. Арнольд аксиоматически описал три базисных целочисленных инварианта первой степени: J+J~ я В работах О .Я. Виро ([27], [35], [36]), А. Шумаковича ([30], [31]) и М. Поляка ([27], [28]) были получены комбинаторные формулы для этих инвариантов, в частности в [28] инварианты J+J~ и вычислялись в терминах Гауссовых диаграмм кривых. Общая идея построения этих инвариантов состоит в следующем. Если два общих погружения/, Я1 -" В2 регулярно гомотопны, то существует регулярная гомотопия А, соединяющая погружения/и такая, что лишь для конечного числа значений I? [0,1] погружение Ь1 будет не общим и будет иметь только одну не общую особенность в образе: точку вида точку вида у', точку вида бЬ (рис. 1). Преобразование образа погружения в окрестности особой точки вида?' или мы, следуя Арнольду, будем называть, у'- и яЬ-перестройкой, соответственно. Для каждой перестройки определяются положительное и отрицательное направления.

Пусть /ш/яо¹-/?2) — пространство общих погружений 51 В2. Инва.

1 2 риант первой степени — это целочисленная функция: /шт0(5 которая, во-первых, постоянна на каждой компоненте линейной связности пространства /тишо¹^?2), во-вторых меняется при перестройке на константу, которая зависит только от вида перестройки и ее направления.

Согласно В. И. Арнольду [2] инварианты / +,/ ~ и таковы, что: значение функции /+ увеличивается на два при положительной /" -перестройке и не меняется при остальных перестройках, значение функции / «уменьшается на два при положительной / * -перестройке и не меняется при остальных перестройках, и значение функции изменяется на единицу при положительной^{-перестройке} и не меняется при остальных перестройках.

Х-5 Х-1 х-х.

Перестройка в окрестности точки вида / Перестройка в окрестности точки вида /" Перестройка в окрестности точки вида рис. 1.

По аналогии с тем, как построены инварианты первой степени для плоских кривых В. В. Горюнов ([14],[15]) описал группу локальных инвариантов.

2 3 первой степени для общих погружений 5 Я. В этом случае видов перестроек, конечно, больше, чем в случае погружений окружности в плоскость. В. В. Горюнов предложил следующую классификацию перестроек: Е0-, Е1-, Е2- (рис. 2 а, Ь, с) и Я0-, Н1-, Я2-перестройки (рис. 3 а, Ь, с) — проход в образе погружения через точку эллиптического (соответственно, гиперболического) квадратичного касанияТ°-, Г1-, Г2-, Т3- перестройкипроход в образе погружения через точку квадратичного касания трех двойных линий (рис. 4 а,.

Ь, с, */) — б3-, перестройки — проход в образе погружения через четверную точку (рис. 5 а, Ь, с). рис. 2 рис. 3 рис. 4.

0 рис. 5.

2 3 2 3.

Пусть Immo (S ', R)~ пространство общих погружений S R. 0.2.1.Теорема [14] (1) Существуют функции t, е: Imm{](S2-R3) — Z постоян.

Л «1 ные на компонентах линейной связности пространства Imm^S R) такие, что значение функции t изменяется на единицу при положительных 7°-, Г1-,^-^-перестройках и не меняется при остальных перестройках, значение функции е изменяется на (+2) при положительной Е°- и перестройках, изменяется на (-2) при положитель-2 2 ных Е — и Н — перестройках и не меняется при остальных перестройках.

2) функции tи е-это базис группы целочисленных инвариантов первой степени.

Заметим, что инварианты рассматриваются с точностью до постоянной целочисленной функции R). В этой же работе В. В. Горюнов представил комбинаторные формулы для вычисления инвариантов tue.

В.В.Горюнов рассматривал только локальные инварианты, то есть те инварианты, изменения которых зависят только от локального изменения образа погружения. В 2004 году Т. Новик [25, 26] описал группу инвариантов первой степени (определение см. § 19), используя более тонкую классификацию перестроек. Т. Новик каждой перестройке приписал целое число — степень неустойчивой особой точки (детальное описание степени см. § 6). В обозначениях Т. Новика в название перестройки добавился еще нижний индекс — степень перестройки, например, перестройка Е°т, где целое число тстепень перестройки.

Пусть С — абелева группа, У{0) — множество инвариантов степени, не превышающей единицы, для погружений Б2 -> Я3. Очевидно, У© является абелевой группой. Мы будем рассматривать элементы группы У© по мо.

2 3 дулю постоянных функций на /тто (5). Профакторизованную по этому отношению группу У^С) будем обозначать через У,© и называть группой инвариантов первой степени.

В [22],[25] проведен локальный геометрический анализ взаимосвязей двух стандартных перестроек. Согласно [25], достаточно рассмотреть комбинации шести типов: ЕН, ТТ, ЕТ, НТ, ТЦ и <26- Пусть ф е У] ©, и пусть изменение инварианта (р при положительной /Гперестройке равно гат (при отрицательнойперестройке изменение инварианта (р равно, соответственно, (-гат)). Изменения инварианта (р при стандартных перестройках удовлетворяют следующим соотношениям (**):

1) кхт = к для всехтЕ2.

2) К=К+Т1М~<1) Для всех т > О.

3) К = К- (*- -1) для всех т < О.

4) е°я = -К, е1т = К, е2я = К для всех тЕ2.

5) = /3, ^ = I2 для всехтЕ2 / т т’т т «.

6) д' = д] для всехтЕ2.

7) ЧЪт ~С, Для всех.

8) Я4т=ч1,+СС, Д&tradeвсех m6Z.

9) 2qm2 = О, 2hj = О.

Далее Гт2-, Гт3-, Я2-, Яц1- и^{-перестройки} будем называть базисными.

Обозначим через ?7 абелеву группу с образующими е Z) Д2,Л01,</2} и двумя соотношениями 2Й1й = 0, Щ = 0.

0.2.2.Теорема [25, 26]. Существует универсальный * инвариант первой степени /и Е У^Ц), изменение которого при положительной базисной^{-перестройке} равно Г, где ЯатЕ{Т*, Тгт (т&2), Н1, Н,.

ГЕ^Чтегй,^^}.

0.2.3.3амечания. (1) *fv универсален в том смысле, что для любого инварианта первой степени (р Е У, (G) существует гомоморфизм: U G такой, что (р =/ фо j’и, и наоборот, для любого гомоморфизма h: U G композиция (h о fu) — элемент группы vj (G).

2) Изменения инварианта при перестройках, которые не являются базисными, определяются соотношениями (**).

Выделим базисные целочисленные инварианты первой степени и два базисных 22*инварианта первой степени (по модулю редукции целочисленных). Обозначим через ram = pr «° fv, где pr, а — гомоморфизм, в случае.

Ке{1ля, К, к, г} prr":U->Z, B случае гат ?{ Л1, q1} pr.: U — Z2, перет ' т водящий образующую в 1, а остальные образующие в 0.

0.2.4. Следствие [26]. Любой целочисленный инвариант первой степени является линейной комбинацией инвариантов tm2, tm3(m е Z), h02. Любой Z2- инвариант первой степени является линейной комбинацией инвариантов hl, qI и приведенных по модулю два инвариантов л 2 А 3 / ч f4 2.

L, ta (meZ), h0 .

0.2.5.3амечание. В работе Т. Новика [26] приводятся формулы для представителей базисных целочисленных инвариантов первой степени в терминах образа погружения.

Параграфы §§ 21,22 посвящены вычислению базисных целочисленных инвариантов первой степени в терминах Гауссовых диаграмм. В § 21 строится другой базис группы целочисленных инвариантов первой степени, и в § 22 выводятся формулы перехода к базису tm2, tj (m е Z), h2. В § 23 представляются примеры вычислений базисных инвариантов.

2 3.

Пусть/: 5 R — общее погружение, G (f) -Гауссова диаграмма погружения /. Каждому двумерному страту на диаграмме G (f) естественным образом приписывается некоторое полуцелое число — индекс страта (то есть число вида m + Vz, m EZ) так, что индексы любых двух смежных стратов отличаются на единицу и индекс того страта из двух больше, в сторону которого смотрит вектор нормали к общему граничному ребру этих стратов. Каждому ребру и каждой двойной точке на диаграмме G (f) приписывается индекс равный среднему арифметическому соседних двумерных стратов. Расстановку индексов на двумерных, одномерных и нульмерных стратах диаграммы Gif) будем называть оснащением диаграммы Gif). Диаграмму с оснащением будем называть оснащенной диаграммой.

0.2.6.3амечание. Каждому страту на Гауссовой диаграмме G (f) можно сопоставить степень, как степень соответствующего страта в образе погружения/. Между степенью и индексом страта существует линейная зависимость, которая определяется размерностью страта.

Рассмотрим функцииАт, Dm,/:Imm0(S2-R3)-«Z иЯ: Imm^S2³)Z2, где.

— Ат (/) — сумма эйлеровых характеристик всех двумерных стратов на оснащенной диаграмме G (f), имеющих индекс (m -½) (и степень т),.

— Dm (j) — одна шестая от числа двойных точек на оснащенной диаграмме G (f), имеющих индекс (m -3/2) (и степень т),.

-/(/) = ind dx + ind dx (здесь ind dx =^Ш (а)х{ст)(1 = 1,2), где х (о)~.

— комбинаторная эйлерова характеристики страта о),.

— H (f) — число двухкомпонентных кривых на оснащенной диаграмме Gif), приведенное по модулю два.

0.2.7.Теорема, Инварианты Am, Dm и Iцелочисленные инварианты степени, не превышающей единицы. Инвариант H — 22-инвариант степени, не превышающей единицы.

0.2.8.Теорема. / = - е (см. теорему 0.2.1.).

Обозначим через Ак, Dk, 7 элементы группы vj (Z) такие, чтоАкЕАк, DkEDk, IE 7.

0.2.9.Теорема. Ак, Dk, 7- базис группы V,(Z).

Обозначим через? т2Е Р, Г5 Е Р, /г (|2Е й02 и /^Ейд1 представителей инвариантов? т2,?т3,Л02, Л-, значения которых на стандартно вложенной в/?3 сфере, равны нулю.

0.2.10.Теорема.(Выражение инвариантов инварианты Ат, 1>т, / и Я через инварианты V, V, Л02 и = 2Л, а+1,.

А = Г2 + 4?2 + ?2 + ЗГ3 + ЗГ3 + т т /и+1 т+2 т т+2 н=К.

2, т = 1 2/г02, /и = 0 -2Л2,т = -1.

0.2.11.Теорема.(Выражение инвариантов, и й0 через инварианты А, А* и/) /*02= ½(7−1) =1(к + 1) ат+к, к=0.

4=0 а т = - (Ат — От «Ди+2 «4£>т+1) +.

— 1, Ш = 1.

—(1−1), т = 0.

-(/-1), ш = -1.

Вычисление инварианта д2 по Гауссовой диаграмме общего погружения остается открытым вопросом.

1. V.1. Arnold. Vassiliev’s theory of discriminantes and knots, First European Congress of Mathematicians, (Paris, July 1992) Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1 (1994), pp. 3−29.

2. V.I. Arnold. Plane curves, their invariants, perestroikas and classifications, In: Singularities and Bifurcations, Adv. Sov. Math. 21 (1994), AMS, Providence, RI, pp.33−91.

3. V.I. Arnold. Topological Invariants of Plane Curves and Caustics, Amer. Math. Soc. (1994).

4. D. Bar-Natan. Bibliography ofVassiliev invariants, http://www.math.toronto.edu/~drodbn/Vasbib.

5. J.S. Birman, X.-S. Lin. Knot polynomials and Vassiliev’s invariants, Invent. Math. Ill (1993), pp. 225−270.

6. D. Bar-Natan. On the Vassiliev Knot invariants, Topology 34 (1995), pp.423 472.

7. D. Bar-Natan. Some computations related to Vassiliev invariants, electronic publication, http://www.math.toronto.edU/~drodbn/LOP.html#Computations.

8. Ю. М. Бурман. Длинные кривые, гауссовы диаграммы и инварианты, Мат. просвещение, Вып. З (1999).

9. J. Scott Carter. Classifying immersed curves, Proc. Amer. Math. Soc. Ill (1991), pp. 281−287.

10. S.C.Chmutov, S. V. Duzhin. An upper bound for the number ofVassiliev knot invariants, Journal of Knot Theory and its Ramifications 3 (1994), pp.141−151.

11. S.C.Chmutov, S. V. Duzhin. Explicit formulas for Arnold’s generic curve invariants, In «Arnold-Gelfand Mathematical Seminars: Geometry and Singularity Theory», Birkhauser (1997), pp.123−138.

12. S.C.Chmutov, S. V. Duzhin, S.K. Lando. Vassiliev Knot Invariants j -1||, Adv. Sov. Math 21 (1999).

13. S.C.Chmutov, S. V. Duzhin. The Konsevish integral, Acta Applicandae Mathematicae 66 (2001), pp.155−190.

14. V.V. Gorynov. Local Invariants of Mappings of Surfaces into Three-space, Preprint, 1994.

15. V.V. Gorynov. Local invariants of mappings of surfaces into three-space, In «Arnold-Gelfand Mathematical Seminars: Geometry and Singularity Theory», Birkhauser Boston inc. (1997), pp.223−255.

16. M. Goussarov. On n-equivalence of knots and invariants of finite degree, Zap. nauch. sem. POMI 208 (1993), pp.152−173 (English translation in Topology of manifolds and varieties (cd. O.Ya. Viro), Amcr. Math. Soc., Providence (1994), pp. 173−192).

17. M.Goussarov. Independent modifications of links and invariants of finite degree, Preprint, Dep. of Math., Uppsala Univ. (1995).

18. M.Goussarov. Independent modifications of links and invariants of finite degree, Topology 37−3 (1998), pp. 595−602.

19. M. Goussarov. Finite type invariants are presented by Gauss diagram formulas, Preprint (1998) (translated from Russian by O.Ya.Viro).

20. M. Goussarov., M. Polyak, 0. Viro. Finite-type invariants of Classical and Virtual Knots, Preprint (1998).

21. M. Goussarov., M. Polyak, 0. Viro. Finite-type invariants of Classical and Virtual Knots, Topology 32 (2000), pp.1045−1068.

22. C. A. Hobbs, N.P. Kirk. On the classification and bifurcation ofmultigerms of maps from surfaces to 3-space, Mathematica Scandinavica 89 (2001), pp. 57−96.

23. M. Kontsevich. Vassiliev’s knot invariants, Adv. Sov. Math, 16−2 (1993), pp. 137−150.

24. T. Nowik. Quadruple points of regular homotopies of surfaces in 3 -manifolds, Topolodgy 39 (2000), pp. 1069−1088.

25. T. Nowik. Order one invariants of immersions of surfaces into 3-space, Math.Ann. 328 (2004), pp.261−283.

26. T. Nowik. Formulae for order one invariants of immersions of surfaces, Bar-Ilan University, Ramat-Gan 52 900, Israel, (2004).

27. M. Polyak, O. Viro, Gauss diagram formula for Vassiliev invariants, Int. Math Research Notices 11 (1994), pp.445−453.

28. M. Polyak. Invariants of plane curves and fronts via Gauss Diagrams, Preprint Max-Plank-Istitut fur Math., Bonn (1994).

29. M. Polyak. On the algebra of arrow diagrams, Let. Math. Phys, 51(2000), pp. 275−291.

30. A. Shumacovitch. Explicit formulas for strangeness of plane curves, Algebra i Analiz 7−3 (1995). pp. 165−199- (English transl. in St. Petersburg Math. J. 7−3 (1996).

31. A. Shumacovitch. Strangeness and invariants of finite degree, Dissertation for the Doctor of Philosophy and Mathematics at Uppsala University (1996).

32. S. Smale. A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Am. Math. Soc. 90 (1958), pp.281−290.

33. V.A. Vassiliev. Cohomology of knot space, Adv. Sov. Math. 1 (1990), Theory of Sigularity and its Applications (ed. V.I. Arnold), pp. 23−69.

34. V.A. Vassiliev. Complements of discriminates of smooth maps: topology and applications, Trans, of Math. Mono 98, Amer. Math. Soc., Providence (1992).

35. O. Viro. First degree invariants of generic curves on surfaces, Preprint Uppsala Univ. (1994).

36. M.A. Степанова. Типичные погружения двумерной сферы eR и их остовы, Записки научных семинаров ПОМИ 299 (2003), стр. 300 313.2 3.

37. М. Stepanova. Gauss-Equivalence of Generic Immersions S R, First Karazin scientific Readings, Books of abstracts. Kharkiv (2004), p.29.2 3.

38. M. Stepanova. Gauss diagrams of generic immersions S -*R, Труды участников «Международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В.Ефимова», Ростов-на-Дону (2004), р.70.

39. М. А. Степанова. Гауссовы диаграммы типичных гладких погружений S2 -*¦ R, Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в ВУЗе и школе. Материалы всероссийской научно-методической конференции, Великий Новгород (2004), стр. 651 Л.

40. М. А. Степанова, Типичные гладкие погружения S R и их раскраска. Тезисы докладов 6-й международной конференции по геометрии и топологии, Черкассы, ЧГТУ (2005), стр. 85−86.

41. М. А. Степанова, Реализуемость сферической Гауссовой диаграммы в Z2-гомологической сфере, Труды участников «Международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В.Ефимова», Ростов-на-Дону (2006), стр. 87−89.