Спектральный анализ решений функциональных уравнений в банаховых пространствах

В диссертации исследуются спектральные свойства решений различных классов функциональных уравнений. В частности, особенное внимание уделяется выяснению условий почти периодичности решений изучаемых функциональных уравнений.

Теория почти периодических (п. п.) функций была заложена в 1924 -1926 гг. в работах Г. Бора [88]. В дальнейшем существенный вклад в эту теорию внесли такие математики, как С. Бохнер [85], [87] Дж. фон Нейман [86], Б. М. Левитан [39] - [41] и многие другие.

В настоящее время методы п.п. функций нашли широкое применение в исследовании по теории динамических систем, теории дифференциальных и операторных уравнений, спектральной теории операторов, теории представлений и других разделах функционального анализа (см. [19], [20], [29], [42] - [47], [76] - [82], [89], [97], [98], [105]).

Оказалось, что при исследовании на почти периодичность решений функциональных уравнений полезно иметь критерии почти периодичности различных классов функций. Один из первых результатов в этом направлении еще в 1937 г. был получен Б. М. Левитаном [95] для скалярных функций, имеющих конечное число предельных точек спектра на каждом конечном промежутке. На векторные функции теорема Б. М. Левитана обобщалась Л. Америо [75], В. В. Жиковым [29] и Более Боситом [20]. Для скалярных функций окончательный результат (в терминах спектра) был получен Л. Люмисом [96], установившим почти периодичность равномерно непрерывной ограниченной функции, спектр которой не содержит непустых совершенных подмножеств. Простая переформулировка теоремы Люмиса для векторных функций оказалась не верной, а ее обобщения тесно связаны с обобщением теоремы М. И. Кадеца [30], полученные Боле-сом Боситом [19], а также теоремой Б. М. Левитана об интеграле от почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве. Окончательные критерии почти периодичности ограниченных векторных функций были получены А. Г. Баскаковым [14].

В диссертационной работе исследуются как ограниченные так и растущие с неквазианалитическим весом, а векторные функции, заданные на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Проводимое исследование основывается на использовании теории представлений абелевых групп, а также банаховых алгебр (теории банаховых модулей).

В первой главе вводится понятие а-почти периодичности растущих функций и изучаются критерии почти периодичности и а-почти периодичности векторов из банаховых модулей. Полученные критерии используются для исследования спектральных свойств решений различных классов функциональных уравнений.

Изучение специального класса функциональных уравнений, так называемых уравнений с периодическими «коэффициентами», составляет содержание второй главы. Под функциональными уравнениями с периодическими «коэффициентами» понимаются уравнения вида.

Ах = /, (2) где, А является периодическим оператором, х и / принадлежат одному из функциональных пространств. Примерами таких операторов являются.

1. Оператор D: W&trade-(Кп) С Lp (Rn) Lp (Rn) — дифференциальный оператор с частными производными, имеющий вид.

Dx)(u) = ^ aa (u)(Dax)(u), и 6 R, ж 6 W™(mn), а<�т где аа: —> С — непрерывные скалярные периодические функции и, а = {аьа2, Е Мп.

В частности, в работах Кучмента П. А. (см. [36] - [38]) рассматривались важные в приложении дифференциальные операторы вида.

Dx)(u) = -(Ах)(и) + v (u)x (u), где v: Жп -" С — периодическая функция.

2. В статьях Пуляева В. Ф. (см. [54] - [57]) рассматривались интегральные операторы вида (Bx)(t) = Jm K (t, s) x (s)ds, x 6 C (K, Cn), действующие в банаховом пространстве C (R, Сп), причем ядро К: Ж х М EndCn удовлетворяет условию.

K (t + w, s + uj) = K (t, s), t, se R, для некоторого иG R+. Им же изучались интегральные операторы в гильбертовом пространстве функций суммируемых с весом а.

3. Оператор, А: lp —t lp, р Е [1, сю], задаваемый матрицей, А = {A (i, j): i, j G Z}, коэффициенты которой удовлетворяют следующим условиям о) ]Г SUP |Л («, j)| < оокеzг~з=к b) Л (г + к, j + к) = A (i, j) при всех г, j G Ъ и некотором к € N.

Для исследования свойств решений функциональных уравнений с периодическими «коэффициентами» используется теория абстрактных периодических операторов (см. [33], [34], [54] - [57]), действующих в банаховых пространствах векторозначных функций, определенных на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Так как в качестве области определения таких операторов могут выступать разнообразные функциональные пространства, то для удобства изложения в первом параграфе вводится понятие однородного пространства векторных функций ii (G, X), определенных на локально компактной абелевой группе группе G. При помощи техники представления периодического оператора в виде оператора свертки с суммируемой операторнознач-ной функцией [35] исследуются спектральные свойства периодических операторов, действующих в расщепляемых однородных пространствах. Получены критерии почти периодичности для решения уравнения вида (2), где оператор, А? EndLoo (G, Y).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях.

— Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения», Воронеж, 2000;

— Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения — XII, Воронеж, 2001;

— Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения — XIII, Воронеж, 2002; а так же на семинаре кафедры ММИО Воронежского государственного университета (руководитель проф. Баскаков А.Г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [106] - [113]. Автор благодарит своего научного руководителя Баскакова А. Г. за постановку задач и помощь в их реализации.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

В первой главе исследуются спектральные свойства векторов из банаховых модулей над коммутативными банаховыми алгебрами. Активно используется теория коммутативных банаховых алгебр (см. [25], [21]), а также теория регулярных банаховых алгебр (см. [72], [73], [23]).

Первый параграф первой главы содержит основные необходимые для дальнейшего изложения определения и теоремы по данной тематике.

Во втором параграфе в терминах теории банаховых модулей вводится понятие спектра Берлинга (см. [14],[76],[77],[92]), которое является ключевым для формулировки основных результатов диссертационной работы.

Символом Y) обозначим банахово пространство сильно измеримых существенно ограниченных относительно веса ск функций, принимающих значения в банаховом пространстве У, с нормой.

MU = eS5suPMM gcG ос (д).

Пример 2.2. Пусть Т: G EndX сильно непрерывное представление. Положим а (д) = ||Т (—: д Е G К+ (отметим, что, а — весовая функция и Т — сильно непрерывная группа операторов). Положим fx = J f (s)T (—s)xds, f E La (G), x E X. (2.1).

Очевидно, что формула (2.1) задает на X структуру Ьа (6?)-модуля.

Определение 2.7. Пусть М — произвольное подмножество из В-модуля X. Спектром Верлинга множества М назовем подмножество А (М) из SpB тех характеров ядро которых содержит идеал 1{М) = {а? В: ах = 0 /х Е М} (другими словами, хо? Л (М) тогда и только тогда, когда существует, а Е В, а (х) ф 0 и ах = О /х Е М, где а (х) ~ преобразование Гельфанда элемента а).

Определение 2.8. Спектром A (x, F) вектора х Е X относительно подмодуля F С X назовем спектр А (ж) элементах из фактор-модуля X/F.

Пусть Ah = S (h) — /, где S (h) — оператор сдвига из L™(G, Y), Iтождественный оператор, действующий в этом пространстве (далее символ I используется для обозначения тождественного оператора в любом из рассматриваемых пространств). Символом Cua (G, Y) обозначим подпространство пространства L?°(G, У), состоящее из функций, удовлетворяющих условию.

Анф 0 в Y) при h-> 0.

Функцию ф, принадлежащую Cua (G, Y), будем называть а-равномерно непрерывной.

Определение 2.4. Согласно И. Домару [91], будем называть функцию р Е Cua{G, Y) полиномом степени п, если Дд+1р = 0 для всех h Е G и Ар ф 0 для некоторого h. Символом CPn (G, Y) обозначим пространство полиномов степени не выше п и через CP (G, Y) — подмножество всех полиномов из Cua (G, Y).

Таким образом, в случае G = Z, полином степени п есть функция вида п p (s) = ajs s, aj E Z, j=o в случае G = Rm — функция многих переменных p (t), t = (ti,., tm) E Mm, равная сумме произведений своих аргументов, возведенных в различные степени так, что общая степень каждого из слагаемых не превышает п и в случае G — Т, существуют только полиномы нулевой степени р{7) = Const, 7 Е Т. Функции вида т i=1 где 7^ € G, 0 ф-pi Е У), га Е N назовем обобщенными тригонометрическими полиномами (квазиполиномами).

Замечание. Спектр Берлинга введенного таким образом ненулевого полинома р Е Cua (G, У) состоит из единственного характера 70 = 1, и спектр Берлинга обобщенного тригонометрического полинома есть множел ство {7i EG: г — 1, ., m}.

Определение 2.5. Пусть, а: G —>• М+ - весовая функция. Замыкание обобщенных тригонометрических полиномов, входящих в Cua (G, У), обозначим символом ЛРа (G, У) и функции из ((7, У) будем называть а-почти периодическими функциями.

Таким образом, множество а-почти периодических функций APa (R, Y) является подмодулем? а (Е)-модуля Сща (К, У).

Третий параграф посвящен рассмотрению случая банахова модуля над коммутативной банаховой алгеброй, все примарные идеалы которой максимальны. В качестве примера такой алгебры может выступать алгебра абсолютно суммируемых на G комплекснозначных функций Li (G), а в качестве примера L (GQ-модуля — модуль равномерно непрерывных ограниченных на G векторных функций Cub (G, Y). Абстрактные результаты (см. [14], [8]), полученные для данного класса функций используются для исследования спектральных свойств разностных и дифференциальных уравнений специального вида.

Рассматривается дифференциальное уравнение хАх = f, (3.1) где, А — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения.

D (A) в Y, являющийся генератором сильно непрерывной полугруппы операторов {T (t), t G R+} С EndY, и функция / принадлежит пространству С6(М, Y).

Уравнения вида (3.1) рассматривались многими математиками. Мы отметим только работы C.JI. Соболева [63], Б. М. Левитана, В. В. Жикова [40], Ю. И. Любича [46], [47], Болеса Босита [82], В. Арендта (W. Arendt) и Ч. Бэтти (Ch. Batty) [76].

Пусть Х () С Сь (R, Y) — подпространство всех ограниченных непрерывных решений однородного уравнения. Символом <т$ обозначим замыкание множества Usga:0 те-^о — Л (Хо) = {А Е Л (ж): х G Хо}.

Лемма 3.3. Пусть х G Cb (R, Y) — обобщенное решение уравнения (3.1) и спектр Л (/) функции f, стоящей в правой части уравнения, не имеет предельных точек на R. Тогда Л (ж) С <то U Л (/).

Следствие. [14] Пусть х G C&(R, Y) — обобщенное решение уравнения (3.1). Тогда гА (х) С (а{А) П Ж) U гА (/).

Теорема 3.3. Пусть х G Cj (R, Y) — обобщенное решение уравнения (3.1), множество ctq U Л (/) — счетно и пространство Y не содержит подпространств, изоморфных пространству cq. Тогда х G АР (М, Y).

Отметим, что подобные критерии п.п. ограниченного решения уравнения типа (3.1) уже формулировались в работах [14], [53], [76], [82]. Новизна данного результата состоит во введении в рассмотрение множества <7оОбоснованность такой формулировки теоремы можно пояснить на следующем примере.

Пример 3.3. Если, А =?: W^R) С £2(Ж) ^®, то точечный спектр (Td{A) оператора, А уравнения (3.3) пуст (т.е. оператор, А не имеет собственных векторов) и сг (А) = Ж. В этом случае сто = 0, в то время как множество сг (А) П Ж = Ж не является счетным.

Далее рассматривается разностное уравнение вида.

Ах (п + 1) — Вх (п) = /(п), (3.4) где х Е loo (^> 5 / принадлежит Fq замкнутому, инвариантному относительно сдвигов подпространству ^(Z, У) — операторы А, В Е Hom (X, Y).

Определение 3.6. Спектром пары операторов А, Ве Нот (Х, У) назовем множество сг (Л, Л), состоящее из комплексных чисел 7 таких, что оператор 7А — В необратим.

Теорема 3.4. Пусть х ЕX") ~ ограниченное решение разностного уравнения (, 3.4)¦ Тогда A (x, Fq) С сг (Д В) П Т, и х почти периодично, если выполнены следующие условия: 1) Fq = AP (Z, Y), 2) сг (А, В) П T не более, чем счетное множество и 3) У не содержит подпространств, изоморфных пространству со сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел.

Следствие. [14] Пусть х Е /^(Z, X) — ограниченное решение разностного уравнения х (п + 1) — Ux (n) = f (n), (3.5) где U Е EndX. Тогда А (ж, i*o) С o~(U) П Т, и х почти периодично, если выполнены следующие условия: 1) Fo = AP (Z, X), 2) сг ([/)Г)Т не более, чем счетное множество и 3) X не содержит подпространств, изоморфных пространству соВ четвертом параграфе рассматривается случай банахова модуля X над коммутативной регулярной банаховой алгеброй В (алгеброй Шилова), все примарные идеалы которой имеют конечную коразмерность. Примером такой алгебры может служить алгебра суммируемых с неквазианалитиче-ским весом, а комплекснозначных функций La (G), а примером банахова La (G) — модуля — модуль а-равномерно непрерывных векторных функций Cua (G, Y). Получены достаточные условия для принадлежности элемента алгебры В минимальному примарному идеалу этой алгебры.

Пусть Вх С Ker ~ минимальный примарный идеал алгебры В, принадлежащий ядру характера х Е 5р Л, т. е.

Вх = {а Е В: х Ф suppa}.

Лемма 4.1. Если, а Е Кегх, то существует такое натуральное т, что ат Е Вх.

Данная лемма обобщает результат Шилова Г. Е. [72, гл. 2, п. 6], который был получен для случая бесконечно дифференцируемых функций, заданных на Ж.

Исследована спектральная структура наименьшего подмодуля, содержащего обобщенный собственный вектор модуля X.

Определение 4.1. Вектор xq Е X называется обобщенным собственным вектором модуля X, если существует характер хо? SpB такой, что для некоторого натурального т выполняется условие (а — а (хо))ш^о = О для всех, а Е В.

При т = 1 определение обобщенного собственного вектора эквивалентно определению собственного вектора.

Лемма 4.2. Пусть хо — обобщенный собственный вектор модуля X отвечающий характеру хо и Xq = [жо] - наименьший подмодуль, содержащий xq. Тогда A{xq) = {хо} и модуль Xq имеет конечную размерность.

Исследуются спектральные свойства векторов, спектр которых не содержит предельных точек (см. [79]).

Теорема 4.1. Пусть, а — весовая функция, удовлетворяющая условию a{t) < С (1 + |?|)7 и пусть функция ф Е CUQ,(M, Y) обладает конечным спектром А (ф) = {Ai,., Am}. Тогда существуют многочлены р, ., рт степени не выше целой части 7 такие, что ф = е^Р1 +. + е^Рт.

Следствие. Пусть, а — весовая функция, удовлетворяющая условию a (t) < С (1 + |t|)7 и пусть функция ф Е Cua (]R, Y) обладает спектром А (ф), не имеющим предельных точек на М. Тогда ф Е APa (M, Y).

Полученные абстрактные результаты используются для изучения спектральных свойств решений предэкспоненциального роста дифференциальных уравнений вида х — Ах = /, 14.

4.4) где, А — генератор сильно непрерывной полугруппы операторов из EndX и / принадлежит спектральному подмодулю X (А), А — замкнутое подмножество из М. В частности, получены достаточные условия для принадлежности решения уравнения (4.4) спектральному подмодулюХ" (А) и критерии почти периодичности решений уравнения (4.4) в том случае, когда / Е АРа (Ж, Y) подмодулю а-почти периодических функций.

Символом P (f) обозначим первообразную функции /. Для случая функций предэкспоненциального роста дадим следующее определение обобщенного решения уравнения (4.4) (ср. [76]).

Определение 4.4. Обобщенным решением уравнения (4.4) назовем функцию х Е Сиа (М, Y) такую, что функция х (t) = P (x)(t) = J*x (s)ds, где х (t) Е D (A) Vt Е Е, удовлетворяет условию х — Ах = P (f).

Теорема 4.3. Пусть Y — комплексное банахово пространство, спектр сг (А) оператора, А не имеет предельных точек на Ж и функция f Е AP (R, Y). Тогда любое обобщенное решение уравнения (4−4) из Сыа (К, У) является а-почти периодической функцией.

Теорема 4.4. (ср. [53]) Пусть, А — компактное подмножество из Ш, содержащее нулевую точку, и спектр оператора, А обладает следующим свойством.

Тогда для P{f) Е -^(А) существует единственное обобщенное решение уравнения (4−4) х из Х (А).

Далее рассматривается случай, когда спектр вектора из 1/а (М.)-модуля X содержит предельные точки.

Определение 3.1 Пусть хо? SpB. Ограниченную направленность (аа) С В назовем хо-направленностью, если аа = 1 для всех, а и lim аа*а = О для всех, а? В, удовлетворяющего условию хо Ф supp а.

Последовательность а (А) П гА = 0. является примером обобщенной Ао-последовательности из Li®.

Определение 4.5. Пусть функция х? Сыа (Ш, Y). Будем говорить, что Ао? А (х) не является спектральной точкой роста функции х, если существует /? La® такая, что /(Ао) ф 0 и / * х? Cub (R, Y).

Множество спектральных точек роста функции х обозначим символом Ainc (x) и символом Аъ (х) — множество А (х) Ainc (x).

Далее предполагается, что вес, а имеет вид a (t) = (1 + |t|)7, где у > 0 и в качестве замкнутого инвариантного относительно сдвигов подпространства F рассматривается подпространство АРа (Ж, Y).

Теорема 4.5. Пусть для функции х? Сща (Ж, Y) множество A (x, F) не имеет предельных точек на Ж и ни одна из предельных точек множества А (х) не принадлежит Ainc (x). Тогда х? F, если выполнено одно из следующих условий:

1) пространство Y не содержит подпространств изоморфных пространству со, сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел.

2) множество значений функции х предкомпактно в Y.

3) для каждой предельной точки, А? А (х) найдутся такие f? Ьа (Ш), /(А) / 0 и А-последовательность (/п) С L®, что у = f *х? Сиъ (Ш, Y) и существует предел lim fn * х? Y).

Теорема 4.6. Пусть х? Cua (IR, Y) — обобщенное решение уравнения (4−4)¦ Тогда если /? APa (R, Y), множество ст (А) ПЖ не имеет предельных точек на Ж, множество iA (f) Псг (Л) не имеет предельных точек в А (/) и пространство Y не содержит подпространств, изоморфных пространству со, то х? APQ (E, Y).

Вторая глава посвящена изучению спектральных свойств решений функциональных уравнений с периодическими «коэффициентами». Под функциональными уравнениями с периодическими «коэффициентами» понимаются уравнения вида.

Ах = /, (II) где, А является периодическим оператором, х и / принадлежат одному из функциональных пространств. Для исследования свойств решений функциональных уравнений с периодическими «коэффициентами» используется теория абстрактных периодических операторов, действующих в банаховых пространствах векторозначных функций, определенных на локально компактной абелевой группе, со значениями в комплексном банаховом пространстве. Так как в качестве области определения таких операторов могут выступать различные функциональные пространства, то для удобства изложения в первом параграфе вводится понятие однородного пространства векторных функций iX{G, Y).

Определение 1.1 Банахово пространство il (G, Y) измеримых (по Бох-неру) локально интегрируемых функций, определенных на группе G со значениями в комплексном банаховом пространстве У будем называть однородным, если выполняются следующие условия.

1. Сдвиг S (g)x (h) — х (д + h), h Е G, любой функции х из 11 на произвольный элемент д Е G принадлежит Ни ||5(<7):е|| = ||ж||.

2. Свертка (/ * x)(h) — jGf (g)x (h — g) dg, h E G, любой функции f E Li (G), имеющей компактный носитель suppf = {g G G: f (g) ^ 0}, и x G ii принадлежит пространству it, и j|/ * < ||/||i||?||u;

3. Для любых x E il и 7 E G функция jx, имеющая вид (jx)(g) = 7(g)x (g), g E G, принадлежит пространству 11, причем линейный оператор V (j)x = ух, действующий в И, ограничен.

Во втором параграфе вводится понятие расщепляемого однородного пространства и определяется часто используемое в дальнейшем понятие матрицы оператора.

Пусть S ~ дискретная группа. Для каждого h Е S символом х G —> {0,1} будем обозначать характеристическую функцию множества Gqth, где Gq — некоторая подгруппа из G, изоморфная группе G/Q. В частности, под символом %о будем понимать характеристическую функцию множества.

Go.

Определение 2.1. Однородное пространство 11 = 11(G, Y) будем называть расщепляемым, если для любой функции х 6 it функции хох вида (хох){9) — Хо{.9)х{я) принадлежит it, и выполняется неравенство.

НхожНя < \х\и.

Пусть it = il (G, У) — расщепляемое однородное пространство.

Определение 2.2. Семейство проекторов CP = {Р^ € EndX: h € 3} (индексированное элементами группы 3) будем называть разложением единицы, если оно дизьюнктно (т.е. PkPh — 0 для h ф к) и ряд Ylhes^hX безусловно сходится для любого х (Е X.

Пусть it (G, У) — расщепляемое однородное пространство, У — семейство проекторов из формулировки леммы 2.1 и S = {S (h): h? 3} - группа операторов сдвига на элементы h решетки G. Символом 11(3, По) обозначим линейное пространство функций определенных на решетке 3 группы G со значениями в НоИз свойства 3) леммы 2.1 следует, что.

ImPh = Uh, he 3.

Следовательно, ImS (—h)Ph = itoОпределим линейный оператор 3: U (G, Y) -> lt (S, Ho) по формуле.

3x)(h) = (S (-h)Phx)(h), h e S,® eii (G, Y). (2.1).

Положим |рж|| = ||ж|| для любого х G Y). Таким образом, it (3,ito) — банахово пространство. Отображение 3 задает изометрический изоморфизм расщепляемого однородного пространства il (G, Y) и соответствующего ему пространства lt (3,ito)> причем.

3 ~1x = J2S (h)x{h), *eiI (S, iio). (2.1').

Не 5.

Отметим, что пространства? P (G, У), р € [1, сю] соответственно изоморфны пространствам Lp (Gq, Y)).

Построение обратимой изометрии it лежит в основе метода Гельфанда И. М. [24], примененного им при исследовании дифференциального оператора.

Пусть Hi = ili (S, У), H2 — 1X2(3, Y) — расщепляемые однородные пространства и Уi, У2 ~ соответствующие семейства проекторов в алгебрах Endii 1, Endtt2 вида (2.2).

Определение 2.3. Матрицей оператора A G Я от (ili,!^) назовем опе-раторнозначную функцию, А: 5×3 —> Нот (И1,й2) вида A (k, j) = PjtAPj, k, j G S.

Заметим, что не каждый оператор однозначно восстанавливается по своей матрице. Поэтому все результаты данной главы формулируются для класса с-непрерывных операторов, которые обладают таким свойством.

Пусть Hi = Ui (G, У), Н.2 = il2(G, У) — однородные пространства функций.

Определение 2.4. Оператор, А Е Лот (Hi, Н2) назовем с-непрерывным, если он переводит всякую локально сходящуюся последовательность в последовательность, также обладающую этим свойством.

Для случая, когда G не является дискретной группой, мы можем сформулировать следующее определение матрицы оператора.

Определение 2.5. Матрицей оператора A G Hom (iii, ii2) будем называть операторнозначную функцию, А: 9×3 —У вида A (k, j) x = (3A3~1Xj)(k).

Отметим, что в случае, когда, А? Endil (S, Y), где 3 ~ дискретная группа, матрица оператора, А: 3×3 —УEndY определяется равенством A (k, j) x = (Ax (j))(k).

Третий параграф посвящен изучению свойств периодических операторов, действующих в однородных пространствах функций. Вначале, перед определением З-периодического оператора, рассматривается общий подход к понятию периодичности и затем приводятся некоторые вспомогательные свойства периодических операторов, необходимые для изложения результатов четвертого параграфа.

Пусть ShS2 ~ изометрические представления группы G операторами сдвига, действующими соответственно в однородных пространствах Hi = iii (R, У), Иг = иг (Ж, У). Представление 6: G Нот (iXi, ii2) определим по формуле в (д)А = S2(g)AS1(-g), А е #om (ili, H2), S € G.

Определение 3.3. Оператор, А 6 #0771(1X1,1X2) назовем 3-периодическим (периодическим с группой периодов 3)? если для любого и->? 3 выполняется равенство.

В работе Кузнецова В. В. [35] показано, что для оператора В? Endg (ili, U2) и к? 3 элементы &—ой диагонали матрицы! В = j): h3? 3} равны. Далее их будем обозначать символом Bk? EndY, т. е..

Bk = %(j + k, j), jeS. (3.2).

Символом #orai (Ui, il2) обозначим подпространство З-периодических операторов, для которых выполнено условие.

М<0°- (з.з) S.

Через End\X будем обозначать Homi (Л, IX). Л.

Определение 3.4. Функцию В: 3 —EndY, определенную формулой.

B^EndY. (3.4).

AeS назовем преобразованием Фурье оператора Б € End^d..

Лемма 3.2. [35] Пусть В? EndiiL. Тогда существует операторнозначная функция b? /i (S, EndY) такая, что Вх = 6 * ж, т. е. fees.

И четвертый заключительный параграф содержит основные результаты главы. При помощи техники представления периодического оператора в виде оператора свертки, получены достаточные условия почти периодичности решения х уравнения вида.

Ax = f, 20.

4.2) где, А? EndgLp (G, Y) — 9-периодический оператор, /? AP (G, Y). Подобные уравнения для более частного случая рассматривались в работах Пуляева В. Ф. [56], [57] и Савчиц Е. Ю. [62]..

Пусть, А? Endgil — 9-периодический оператор уравнения (4.2), такой, что оператор В = ЗАЗ~г: ~^ подобный оператору А, принадлежит пространству Endiil ($, ito). Тогда мы можем рассмотреть эквивалентное уравнение.

Вх = /, (4.2').

Функцию Ъ? h (S, Eruftl), задаваемую равенством Вх = Ь * х (ее существование гарантируется леммой 3.2) назовем функцией Лорана оператора В (ср. [67])..

Для функции Лорана 6 определим множество л / «^.

5(6) = {7? 9: 6(7) — У b (k)j (—к) — необратим}, ке S которое назовем сингулярным множеством функции 6 (ср. [54] - [56], [62]). Соответствующее подмножество из G определим как.

S (p) = {х? G: х{9 + п) = jVn? 9 и д? Go, причем Ь (х) — необратим}..

Следующая лемма устанавливает связь между спектром Берлинга А (х, APU) функции ж € it относительно подмодуля APU почти периодических функций из Я и спектром соответствующей ей последовательности х, задаваемой изоморфизмом 3..

Лемма 4.1. Пусть х — ограниченная функция изМ. Тогда, А (ж, АРЫ)) С A (x, APUa)..

Лемма 4.2. Пусть х? $X{G, Y). Тогда 70 ^ А (ж), если существует операторнозначная функция F? L (G, EndY) такая, что F * х = 0 и F (70)? EndY — обратимый оператор..

Теорема 4.3 (о локальной обратимости) Если F? Li{G,$), где 5Г-банахова алгебра с единицей е, обладает свойством: F{70) — обратимый оператор из алгебры 3 и jq Е G, то существует такая функция Ф Е Li (G, iF), что (.Р*Ф)(7) = F (7)^(7) = е в некоторой окрестности V точки 7о.

Из утверждений лемм 4.1, 4.2 вытекает один из основных результатов главы.

Теорема 4.4. Пусть х Е Cb (G, Y) — непрерывное ограниченное решение уравнения (4-Ю Тогда Л (ж, APil) С S{b), их — почти периодическая функция, если множество S (b) счетно и Y не содержит подпространств, изоморфных пространству cq сходящихся к нулю последовательностей комплексных чисел..

Данная теорема содержит и обобщает результат Савчиц Е. Ю. 62, стр. 61], рассматривавшей периодические операторы, действующие в пространстве СЬ (Ш, Сп)..

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации/Н. И. Ахиезер. М.: Наука. 1965. 407 с..

2. Барабашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости/Е.А. Барабашин. М.: Наука. 1967. 223 с..

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды/Н.К. Бари. М: ФМ. 1961. 209 с..

4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалити-ческих и спектральных операторов/А.Г. Баскаков// Изв. РАН. Т. 58(1994), № 4. с. 1 31..

5. Баскаков А. Г. Функции корректного оператора/А. Г. Баскаков, А. И. Перов, Та Куанг Хай// Сб. трудов аспирантов мат. фак-та ВГУ. 1/1971. с. 5 10..

6. Баскаков А. Г. Почти периодические решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ А. Г. Баскаков, А.И. Перов// Тезисы I респ. конф. по диф. уравнениям, Ашхабад, 1972. с. 1 5..

7. Баскаков А. Г. Некоторые критерии почти периодичности ограниченных функций/ А. Г. Баскаков. Труды НИИ математики ВГУ. 1973. № 11. с. 10 16..

8. Баскаков А. Г. О спектральном синтезе в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами/ А. Г. Баскаков. Мат. зам. 1983. Т. 34, № 4. с. 573 585..

9. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экпотенциальной операторных функций/ А. Г. Баскаков. Мат. сборник. 1984. 124(166), N 1(5). с. 68 95.

10. Баскаков А. Г. Некоторые вопросы теории почти периодических функций: Диссертация на соискание ученой степени к. ф-м. н./А.Г. Баскаков. Воронеж, 1973. 100 с..

11. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов/ А. Г. Баскаков. Воронеж, 1987. 157 с..

12. Баскаков А. Г. Неравенства Бернштейновского типа в гармоническом анализе/ А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1979. Т.20, № 5. с. 948 -952..

13. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов/А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1983. Т.24, № 1. с. 21 39..

14. Баскаков А. Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений/А.Г. Баскаков// Мат. зам. 1978. Т. 24, т. с. 195−207..

15. Баскаков А. Г. Об общих эргодических теоремах в банаховых моду-лях/А.Г. Баскаков// Функ. анализ. 1980. Т. 14, № 3. с. 63 64..

16. Баскаков А. Г. Спектральные свойства ограниченных линейных функционально-дифференциальных уравнений/А. Г. Баскаков, Бонг Чан Хыу// Доклады РАН. 1992. Т. 325, № 4. с. 74 78..

17. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ/А.Г. Баскаков// Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38, т. с. 14 28..

18. Берс JI. Уравнения с частными производными /Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. М.: Мир. 1966. 351 с..

19. Более Босит Р. Обобщение двух теорем М. И. Кадеца о неопределенном интеграле абстрактных почти периодических функций/ Р. Более Босит// Мат. зам. 1971. Т. 9, № 3. с. 311 321..

20. Более Босит Р. Кандидатская диссертация/Р. Более Босит. Москва. 1971..

21. Бурбаки Н. Спектральная теория/Н. Бурбаки. М.: Мир. 1972. 183 с..

22. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике/В.С. Владимиров. М. Наука. 1979. 318 с..

23. Гамелин Т. Равномерные алгебры/Т. Гамелин М.: Мир. 1973. 334 с..

24. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами./И. М. Гельфанд. ДАН СССР. 1950.Т.73, вып. 6. стр. 1117−1120..

25. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца/И. М. Гель-фанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов. М.: Физматгиз. 1967. 508 с..

26. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М. 1970. 536 с..

27. Данфорд Н. Линейные операторы/Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Мир. Т.1: Общая теория. 1962. 895 с..

28. Данфорд Н. Линейные операторы/Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Мир. Т.2: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. 1962. 895 с..

29. Жиков В. В. Почти периодические решения дифференциальных уравнений в банаховых пространствах/В.В. Жиков// Сб. Теория функций и ее приложения. Харьков, 1967. вып. 4. с. 176 188..

30. Кадец М. И. Неопределенный интеграл от почти периодических функций в пространстве Банаха/М.И. Кадец// Функциональный анализ и его применения. 1969. Т. З, Вып. 3. с. 71−74..

31. Колмогоров А. Н. Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука. 1976. 542 с..

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С. Г. Крейн. М.: Наука. 1965. 407 с..

33. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения/ В. Г. Курбатов. Воронеж: Изд-во ВГУ. 1990. 167 с..

34. Курбатов В. Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов/В.Г. Курбатов// Фукнцион. анализ и его прилож. 1990. Т. 24, вып. 2. с. 87 88..

35. Кузнецов В. В. Спектральный анализ периодических операторов: Диссертация на соискание ученой степени к. ф-м. н./В. В. Кузнецов. Воронеж, 1996. 116 с..

36. Кучмент П. А. Представления решений периодических дифференциальных уравнений в частных производных /П.А. Кучмент. Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1982. Т.46, N4, с. 782 809..

37. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных/П.А. Кучмент. УМН. 1982. Т.37, N4. с. 3 52..

38. Кучмент П. А. О фредгольмовости оператора, порожденного абстрактным эволюционным уравнением с периодическим операторным коэффициентом /П.А. Кучмент, Е. П. Большакова. Воронежский лесотехнический ин-т. Воронеж, 1989. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 21.03.09. N1795 В..

39. Левитан Б. М. Почти периодические функции/Б.М. Левитан. М.: Го-стехиздат. 1953. 396 с..

40. Левитан Б. М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения/Б.М. Левитан, В. В. Жиков. М.: Изд-во МГУ. 1978. 205 с..

41. Левитан Б. М. Об интегрировании почти периодических функций со значениями из банахова пространства/Б.М. Левитан. Изв.АН.СССР, Сер. мат. 1966. № 30. с. 1101 1110..

42. Любич Ю. И.

Введение

в теорию банаховых представлений групп/ Ю. И. Любич. Вища Школа. 1985. 142 с..

43. Любич Ю. И. Об операторах с отделимым спектром/, Мацаев В. И. Мат. сб. 1962. Т. 56, N4. с. 433−468..

44. Любич Ю. И. Почти периодические функции в спектральном анализе операторов/Ю. И. Любич. ДАН СССР. 132(1960). с. 518 520..

45. Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов корректного оператора/Ю. И. Любич. УМН, 1963. Т. 18, Вып. 1(109). с. 165 171..

46. Любич Ю. И. Консервативные операторы/Ю. И. Любич. УМН. 1965. Т. 20, Вып. 5(125). с. 221 225..

47. Любич Ю. И. Об одном классе операторов в банаховом простран-стве/Ю. И. Любич. УМН. 1965. Т. 20, Вып. 6(126). с. 131 133..

48. Абстрактный гармонический анализ/Л. Люмис. М.: ИЛ. 1956.251 с..

49. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа/ Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. М.: Высшая школа. 1982. 271 с..

50. Массера X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства/ X. Массера, X. Шеффер. М.: Наука. 1970. 456 с..

51. Мухамадиев Э. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений/ Мат. заметки. 1981. Т.20, вып. 3. с. 443 460..

52. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций/ Э. Мухамадиев// Мат. заметки. 1972. Т.11, вып. 3. с. 269 274..

53. Перов А. И. О почти периодических решениях однородного дифференциального уравнения/А.И. Перов, Та Куанг Хай// Диф. ур. 1972. Т. 8, вып. 3. с. 453 458..

54. Пуляев В. Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I/В.Ф. Пуляев// Диф. ур. 1989. Т.10. с. 1789 -1797..

55. Пуляев В. Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. П/В.Ф. Пуляев// Диф. ур. 1990. Т.8. с. 1423 -1432..

56. Пуляев В. Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений/ В.Ф. Пуляев// В сборн.: Интегральные и дифференциальные уравнения. Изд-во Кубанского государственного университета, Краснодар, 1992. с. 58 75..

57. Пуляев В. Ф. Об асимптотических^{-периодических} решениях интегральных уравнений Вольтерра / В. Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк// Диф. ур. 1974. Т. 10, вып. 6. с. 1103 1110..

58. Рид М. Методы современной математической физики/ М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир. Т 3: Теория рассеяния. 1982. 405 с..

59. Рид М. Методы современной математической физики/М. Рид, Б.Саймон. М.: Мир. Т 4: Анализ операторов. 1982. 417 с..

60. Рудин У. Функциональный анализ/У. Рудин. М.: Мир. 1975. 503 с..

61. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу/Ф. Рисс, Б. Надь. М.: Мир. 1979. 587 с..

62. Савчиц Е. Ю. Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами: Диссертация на соискание степени к. ф.-м. н./Е.Ю. Савчиц. Краснодар. 2002. 120 с..

63. Соболев С. Л. О почти периодичности решений волнового уравне-ния/С.Л. Соболев. Докл. АН СССР. 1945, 48, № 8, с. 570 574- 1945. 48, № 9. с. 646 — 650- 1945. 49, № 1. с. 12 — 15..

64. Фельдман Г. М. Об изометрических представлениях локально компактных абелевых групп/Г.М. Фельдман. Докл. АН СССР. 1972. 207, № 5. с. 1063 1066..

65. Фельдман Г. М. О полупростоте алгебры, порожденной изометрическим оператором/Г.М. Фельдман// Функц. анализ и его прилож. 1974. Т. 8, т. с. 73 74..

66. Фельдман Г. М. О спектральных подпространствах неквазианалити-ческого оператора/Г.М. Фельдман. Мат. физика и функц. анализ. Харьков, 1972. Вып. 3. с. 81 87..

67. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах/П. Халмош. М.: Мир. 1970. 352 с..

68. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/Э. Хилле, Р. С. Филлипс. М.:ИЛ. 1962. 605 с..

69. Хьюит Э. Абстрактный гармонический анализ/Э. Хьюит, К. Росс. М.: Наука. 1975. Т.1. 657 с..

70. Хьюит Э. Абстрактный гармонический анализ/Э. Хьюит, К. Росс. М.: Наука. 1975. Т.2. 901 с..

71. Шеффер X. Топологические векторные пространства/Х. Шеффер. М.: Мир. 1971. 359 с..

72. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах/Г.Е. Шилов//Труды ин-та им. В. А. Стеклова. Вып. 21. 1947 г..

73. Шилов Г. Е. Однородные кольца функций/Г.Е. Шилов// УМН. 1951. Т. 6, 1(41). с. 91 137..

74. Allan G. R. Ideals of vector-valued functions/ G. R. Allan. Proc. London Math. Soc. 1968. V 18, №. p. 193 216..

75. Amerio L. Almost periodic functions and functional equations/L. Ame-rio and G. Prouse. New York, 1971. 457 p..

76. Arendt W. Asymptotically Almost Periodic Solutions of Inhomogeneous Cauchy Problem on the Half-line/W. Arendt and C.J.K. Batty// Bull. London Math. Soc. 31(1999), pp. 291 334..

77. Arendt W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems/W. Arendt, M. Hieber, F. Neubrander. Bull. Birkhauser Verlag 2001. Basel-Boston-Berlin. 323 p..

78. Basit B. Les fonctions abstraites presque automorphiques et presques periodiques au sens de Levitan et leur differences/B. Basit. Bull. Sci. Math. (2)101(1977), p. 131 148..

79. Basit B. Polinomials and functions with finite spectra on locally compact abelian groups/B. Basit, A.J. Pryde// Bull. Austral. Math. Soc. 51 (1995), pp. 33 42..

80. Basit B. Weighted almost periodic functions/B. Basit, A.J. Pryde// Analysis paper 102, Department of Mathematics, Monash University..

81. Basit B. New almost periodic type functions and solutions of differential equations/B. Basit, C. Zhang// Can. J. Math. 1996. Vol. 48(6), pp. 1138 1153..

82. Harmonic Analysis and Asymptotic Behavior of Solutions to the Absract Cauchy Problem/B. Basit// Semigroup Forum. 1997. Vol. 54, pp. 58 74..

83. Bochner S. A new approach to almost periocity/S. Bochner// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 48(1962), p. 2039 2043..

84. Bochner S. Absolutely convergent Fouier expansions for non-commutativ normed rings/S. Bochner, R.S. Phillips// Ann. of Math. (2). 1942. V. 43, № 3, p. 409 418..

85. Bochner S. Fastperiodische Losungen der Wellengliechungen/ S. Bochner. Acta Math. 62(1934), p. 227 237..

86. Bochner S. On compact solution of operational differentional equa-tions/S. Bochner, J. von Neuman// Ann. of Math. 36(1935). p. 435−447..

87. Bochner S. Abstrade fastperiodiche Funktion/S. Bochner// Acta Math. 1933, V. 61. p. 149 184..

88. Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, I, II/H. Bohr// Acta Math. 1925. 45, p. 29 127- 1925. 46, p. 101 — 214..

89. Choicone C. Evolution Semigroups and Dynamical Systems and Differentional Equations/C. Choicone, Y. Latushkin. American Mathematical Society, 1999. 507 p..

90. Demko S. Decay rates for inverses of band matrices/S. Demko, W.F. Moss, P.W. Smith. Math. Сотр. 1984. V. 43, p. 491 499..

91. Domar Y. Harmonic Analysis Based on Certain Banach Algebras/Y. Domar. Acta Math. 96(1956), pp. 1−66..

92. Engel K.J. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations/ K.J. Engel, R. Nagel. Springer Verlag. 2000. 586 p..

93. Favard J. Sur les equations differentielles a coefficients presque peri-odiques/J. Favard. Acta Math. 1927. V. 51, p. 31 81..

94. Hamza A.E. Spectral Criteria of Absract FunctionsIntegral and Difference Problems/A.E. Hamza, G.L. Muraz. Acta Math. Vietnamica. 1998. Vol. 23 (1), pp. 171 184..

95. Lewitan B.M. On a integral equations with almost periodic solutions/ B.M. Lewitan// Bull. Amer. Math. Soc. 43(1937), pp. 677 679..

96. Loomis L.H. Spectral characterization of almost periodic functions/L.H. Loomis. Ann. Math. 1960. V. 72, 2. pp. 362 368..

97. Phong V.Q. On the spectum, complete traectories and asymptotic stability of linear semi-dinamical systems/V.Q. Phong// J. of Differential Equations 105(1993), p. 30 45..

98. Phong V.Q. Almost periodic solutions of Volterra equations/V.Q. Phong. Differential and Integral Equations. 1994. V. 7, pp. 1083 1093..

99. Pruss J. Weakly almost periosity of convolutions/ J. Pruss W.M. Ruess// J. of Integral Equations and Applications. 1993. V.5, pp. 519 530..

100. Ruess W.M. Integration of asymptotically almost periodic functions and weak asymptotic almost periodicity/W.M. Ruess, W.H. Summers. Disser-tationes Math. 1989. V. 279, pp 151 237..

101. Ruess W.M. Asymptotically almost periodic solutions of evolution equations in Banach spaces/W.M. Ruess, V.Q. Phong// J. of Differential Equations. 1995. V. 122, p. 282 301..

102. Stepanoff V.V. Ueber einige Verallgemetrugen der fastperiodichen Funktionen/ V.V. Stepanoff//Acta Math. 1926. V. 95, p. 437 498..

103. Weech W.A. Almost automorphic functions on groups/W.A. Weech// Amer.J.Math. 1965. V.87, p. 719 751..

104. Wiener N. Generaliased Harmonic Analysis/ N. Wiener//Acta Math. 1930. V. 55, p. 117- 258..

105. Zhang’C. Integration of vector-valued pseudo almost periodic func-tions/C. Zhang// Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 121, p. 167 174..

106. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений разностных урав-нений/Д.В. Елисеев // ВГУ, Вестник ПММ. 2/2000. стр. 93 96..

107. Елисеев Д. В. Свойства неограниченных решений дифференциальных уравнений/ Д. В. Елисеев // ВГУ, Вестник ПММ. 3/2002. стр. 98 -113..

108. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений функциональных уравнений/ Д. В. Елисеев // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы, мат-лы международ, конф. (Воронеж, 22−27 мая 2000 г.). М.: Прогресс-Традиция. Т. 2. 2001. стр. 93 99..

109. Елисеев Д. В. Спектральные свойства функций предэкспоненци-ального роста/ Д. В. Елисеев // сб. Молодые ученые ВГУ. 2/2002. стр. 12 14..

110. Елисеев Д. В. Спектральные свойства обобщенных решений дифференциальных уравнений/ Д. В. Елисеев // Вестник ВГУ. 1/2002. стр. 127 128..

111. Елисеев Д. В. Спектральные свойства решений разностных урав-нений/Д. В. Елисеев // Международ, науч. конф. «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения», Воронеж, 15 20 мая 2000 г.: Тез. докл. Воронеж, 2000. с. 94 — 95..

112. Елисеев Д. В. О почти периодических решениях функциональных уравнений/Д. В. Елисеев // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XII», Воронеж, 3−9 мая 2001 г.: Тез. докл. Воронеж, 2001. с. 187..

113. Елисеев Д. В. Функции предэкспоненциального роста/ Д. В. Елисеев // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XIII», Воронеж, 3−9 мая 2002 г.: Тез. докл. Воронеж, 2002. с. 51..