Аналитические кривые комплексного центроаффинного пространства А/3 и их реализация

Теории биаксиальных пространств и их обобщений посвящено большое количество работ. Обзор этих работ был дан в статье [Q] А. П. Нордена.

В работе C6J А. П. Нордена «Пространство линейной конгруенции», в частности, рассматривалась связь биаксиальной геометрии с геометрией комплексной центроаффинной плоскости и с теорией функций одной комплексной переменной. Было показано, что поверхности, на которых индуцируется евклидова связность, могут быть отображены на аналитические кривые комплексной центроаффинной плоскости. Это отображение было подробно изучено в работах [3], [5] И. В. Зуева, который обратил особое внимание на алгебраические поверхности Xg биаксиального пространства Бд и соответствующие им кривые комплексной плоскости.

В работе [iSJ А. П. Широкова «Геометрия обобп^ённых биаксиальных пространств» сделано обобщение основных результатов А. П. Нордена для трёхмерного биаксиального пространства на случай пространств высшего числа измерений. Рассматривается проективное пространство нечётного числа измерений (2/1+7), в котором задан инвариантный образ в виде линейной конгруенции прямых, построенной на двух инвариантных tbмерных директрисах. Указанное пространство в работе [iS] названо сокращённо бипланарным. При П=1 бипланарное пространство совпадает с биаксиальным пространством.

Однако, пространства такого типа уже использовались в работе [Ю] Б. А. Розенфельда как вещественная реализация комплексного или двойного проективного пространства, хотя подробному изучению и не подвергались. В работе [i3] А. П. Широкова разработана теория гиперповерхностей в собственно бипланарных пространствах эллиптического типа (для которых tbмерные директрисы инвариантнойлинейной конгруенции являются комплексно-сопряжёнными плоскостями).

Были получены также деривационные уравнения гиперповерхностей произвольного бипланарного пространства.

Теория поверхностей произвольной размерности в бипланарных пространствах была рассмотрена в работе D/f] В. Д. Третьякова. Им были построены инвариантные нормализации поверхностей бипланарного пространства с помощью абсолютной инволюции этого пространства.

Настоящая работа по своему содержанию непосредственно связана с работами И. В. Зуева и В. Д. Третьякова. Целью её является исследование отображения аналитических кривых комплексного цент-роаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Х^> бипланарного пространства Б^ эллиптического типа. Используя результаты, полученные И. В. Зуевым в его работах [3], [Ц],[5] для случая отображения аналитических кривых комплексной центроаф-финной плоскости Аг> на двумерные поверхности Хг> биаксиального пространства Бд, автор делает обобщения на случай пространств большего числа измерений.

Вся работа состоит из трёх глав. Первая глава диссертации посвящена изучению класса двумерных поверхностей Хг> бипланарного пространства Б^ эллиптического типа, нормализуемых особыми многообразиями. § I.I носит общий характер и не содержит результатов автора. Здесь даётся определение бипланарного пространства Б^ как такого пространства, геометрия которого подчинена геометрии пятимерного проективного пространства Р^, а фундаментальная группа является группой инвариантности аффинора Г, удовлетворяющего условию

Гг ~шЕ (w=±i, о).

Бипланарные пространства классифицируются в зависимости от значений Uf: гиперболические (UT — i), эллиптические (UT=—i) и параболические (Uf = О).

Абсолютные плоскости бипланарного пространства определяются как неподвижные плоскости абсолютной инволюции. В пространстве Б^ эллиптического типа абсолютные плоскости есть две двумерные комплексно-сопряжённые плоскости.

Сопряжённость точек Х> X (гиперплоскостей) определяется через их соответствие в абсолютной инволюции :

I’iu <*,

В Б^ эллиптического типа имеет место равенство ¦

Особое многообразие Рт в Б^ определяется как такое, которое вместе с каждой своей точкой содержит и сопряжённую ей точку. В § 1.2 изучается класс двумерных поверхностей Хр бипланарного пространства Б^ эллиптического типа, нормализованных особыми многообразиями. Особая гиперпрямая Рд, принадлежащая одной из касательных гиперплоскостей Р^, инцидентной касательной плоскости Р

Этим последним условием мы определяем класс двумерных поверхностей Хр в бипланарном пространстве Б^ эллиптического типа. Этот класс поверхностей можно назвать особым. Выбрав в Рд особую прямую Pj (гипонормаль), отличную от Pj и не пересекающуюся с ней, определим нормаль 1-го рода прямой Pj и прямой X X. Принимая Х, Х, tl, y fl % за вершины нормали 1-го рода поверхности Хр и точки tyi—biX-liX за опорные точки нормали II-го рода этой же поверхности, используя результаты В. Д. Третьякова, автор находит деривационные уравнения этого класса поверхностей, имеющие следующий вид :

Все коэффициенты деривационных уравнений, кроме нормализатора

1i, инвариантны относительно перенормирования, а в силу инвариантности абсолютной инволюции на коэффициенты уравнений поверхности налагаются следующие алгебраические условия :

Составляя условия интегрируемости, находим, что связность на двумерных поверхностях Xg бипланарного пространства Б^ вейлева .

Здесь же двойственным образом строится теория двумерных поверхностей относительно репера П-го рода.

§ 1.3 посвящён инвариантным связностям двумерных поверхностей Xg. В а) рассматривается изменение нормализующей гиперпрямой Рд, формулы преобразования которой имеют вид

Находятся условия, при которых нормализующая гиперпрямая Р3 будет определена инвариантно.

В б) рассматривается преобразование гипонормали Pj в нормализующей гиперпрямой, когда последняя не меняется. Формулы преобразования вершин новой гипонормали и нормали П-го рода поверхности Хг> имеют вид

— fi

L^ru+tiyi

Находятся условия, при которых нормализация поверхности Х^ в бипланарном пространстве Б^ будет инвариантной.

В этом же параграфе доказывается теорема существования.

Теорема. Заданием внешней и внутренней связностей и тензоров и 'fij,, удовлетворяющих условиям интегрируе

J к с к мости и соотношениям, а также соотношениям = —Q- ^ поверхность Xg определяется однозначно с точностью до движения в пространстве Б^, если в канонической системе координат выполняется хотя бы одно из условий t+СФо, %1-tUo

§ 1.4 посвящён теории двумерных аналитических поверхностей Xg в бипланарном пространстве Б^ .

Поверхность X = X (U'}U^) в пространстве Б^ называется аналитике* ческой, если координаты X для можно пронормировать так, чтобы выполнялись условия Коши-Римана дх** дя**" 9х**+1

Шднг ' диг в ди*

Найдены необходимые и достаточные условия аналитичности поверхности Х^ в бипланарном пространстве Б^. Доказываются теоремы

Теорема I. Если двумерная поверхность Хр бипланарно-го пространства Б^, заданная уравнением LCZ), аналитическая, то особая прямая принадлежит касательной плоскости Р? и координаты можно пронормировать так, чтобы нормализатор поверхности стал равен нулю.

Теорема 2. Если при нормализации поверхности Xg в бипланарном пространстве Б^, заданной уравнением X~X[U[ Ц}), особой гиперпрямой нормаль II-го рода особая прямая и нормализатор Cl поверхности равен нулю, то поверхность Хг> аналитическая.

Здесь же показано, что внутренняя связность 1-го рода на двумерной аналитической поверхности Хр бипланарного пространства Б^ является евклидовой.

В § 1.5 рассматривается случай, когда поверхность Х£ принадлежит нормализующей гиперпрямой Рд. Находятся деривационные уравнения поверхности Хр для этого случая, условия их интегрируемости. Показано, что внутренняя связность на этих поверхностях квазиевклидова.

Во второй главе рассматривается отображение аналитических кривых, комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^. В § 2.1 приводятся основные факты из теории пространственных кривых в центроаффинном пространстве Ад. В § 2.2 рассматривается отображение аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^. При этом используются все основные факты из теории пространственных кривых в действительном центроаффинном пространстве, которые выражаются аналитическими соотношениями и которые, следовательно, могут быть продолжены в комплексную область.

Доказываются теоремы.

Теорема I. Неособой касательной прямой к аналитической кривой в комплексном центроаффинном пространстве Адсоответствует в бипланарном пространстве Б^ касательная плоскость к соответствующей поверхности Хр в соответствующей точке.

Теорема 2. Аналитическому параметру кривой комплексного центроаффинного пространства Ад соответствует изотермическая сеть на поверхности ХР бипланарного пространства Б^, отвечающей этой кривой.

Тем самым показано, что полученные результаты отображения имеют место не только для аналитических кривых комплексной центроаффинной плоскости Ag ([?¦/]), но и для аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад .

Здесь же показано, что сети, отвечающие центроаффинному и эквицентроаффинному параметрам кривой комплексного центрощ^финного пространства Ад, на соответствующей поверхности Хр в бипланарном пространстве В^ декартовы.

Доказываются свойства: v

1. Эквицентроаффинному параметру W 11-го рода кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад соответствует декартова сеть в геометрии П-го рода поверхности Хр бипланарного пространства Б^, отвечающей этой кривой.

2. Эквицентроаффинное кручение кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равно кубу производной той аналитической функции, которая конформно отображает геометрию 1-го рода поверхности Хр бипланарного пространства Б^, отвечающей этой кривой, на геометрию 11-го рода той же поверхности.

3. Коэффициент растяжения при конформном отображении геометрии 1-го рода на геометрию 11-го рода поверхности Хр, отвечающей аналитической кривой комплексного центроаффинного

— л пространства Ад, равен /Т/ ^ • 4. Одна треть аргумента эквицентроаффинного кручения кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равна углу между полями направлений, параллельных соответственно в геометриях 1-го и II-го рода поверхности Х^, отвечающей этой кривой в бипланарном’пространстве Б^ .

5. Эквицентроаффинная кривизна кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равна кубу производной той аналитиче ской функции, которая конформно отображает геометрию 1-го рода поверхности Xg бипланарного пространства Б^, отвечающей эк-вицентроаффинному параметру кривой, на геометрию Гго рода этой же поверхности, отвечающей центроаффинному параметру той же кривой.

6. Коэффициент растяжения при конформном отображении геометрии 1-го рода поверхности Xg бипланарного пространства Б^, отвечающей кривой эквицентроаффинного пространства, на геометрию 1-го рода той же поверхности, отвечающей кривой центроаффинного пространства, равен .

7. Одна треть аргумента эквицентроаффинной кривизны кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад равна углу между полями направлений к соответствующим координатным линиям декартовых систем координат, отвечающих центроаффинному и эквицентроаф-финному параметрам кривой в геометриях 1-го рода поверхности Xg бипланарного пространства Б^ .

Здесь же доказано следующее предложение :

Аффинному параметру кривой соответствует на поверхности ^ бипланарного пространства Б^, отвечающей этой кривой в пространстве Ад, изотермическая сеть, касательные направления которой к линиям одного семейства делят пополам угол между изотермическими сетями, соответствующими эквицентроаффинному и центроаффинн ому параметрам кри в ой.

В § 2.2 построены так же инварианты поверхности Хр бипланарного пространства Б^, выраженные через инварианты соответствующей аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад § 2.3 посвящён теории плоских аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад и их отображению на двумерные поверхности Хг, бипланарного пространства Б^. Это отображение проводится по аналогии с отображением пространственных кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^. Здесь же формулируются свойства 1−6 двумерной поверхности Xg, аналогичные свойствам 1−7 поверхности Хр, на которую отображается пространственная кривая комплексного центроаффинного пространства Ад .

И, наконец, в главе III рассматривается соответствие между конгруенциями точек и алгебраическими кривыми комплексного центроаффинного пространства Ад, с одной стороны, и двумерными поверхностями Хр пятимерного бипланарного пространства Б^ эллиптического типа, с другой стороны.

В § 3.1 даётся определение конгруенции точек (в смысле Кулиджа

У5]) в комплексном пространстве Ад как такого множества точек, координаты которых являются функциями двух действительных переменных :

Х'-Х'Си'.и*), Х'*Х'(и.'.иг),

V-TW), jp-IWA (15

Исключив параметры U и U, конгруенцига точек в комплексном пространстве Ад можно задать системой уравнений

F’U! X* X3, XI Xl (3)=0

Jpaw, lJJ3)=o (2)

7чх-хг, XJ- =о где Fl и FL есть не все однородные функции. Функции

Р и Р не тождественны и система уравнений независима. Функции Р иР дифференцируемы по аргументам Л* И Л*. Используя точечное соответствие

X'-lS-iS**' IK=XUK-lX<-0, K-U.3) между комплексным пространством Ад и бипланарным пространством fK можно представить в виде

FbXxJJ! Г, 1>РХ-хХ. rt+iQXzX.

Тогда системе уравнений, определяющей конгруенцию точек в пространстве Ад, отвечает в пространстве Б^ система уравнений

Р’ЧХ’Л1,.. .Xs) = о

I q’ixI х... хе) =о

РЧ л[х., осе) =о. дг (х', хг,... хе) =о V

После перенормирования точек бипланарного пространства Б^ и исключения Я из системы уравнений

Wcax'^x*.. .ях6)=о ?КЯХЯХ... J)26)=0 $гт[ях... я xs)'О получаем уравнения двумерной поверхности Хр в бипланарном пространстве Б^, соответствующей заданной конгруенции точек в комплексном пространстве Ад .

Здесь же приводится описание геометрического способа получения уравнений двумерной поверхности Хр бипланарного пространства Б^, соответствующей конгруенции точек комплексного центроаффинного пространства Ад .

Показано, что в комплексном центроаффинном пространстве Ад, как и в пространстве Ар ([3 J), имеют место

Теорема I. Несобственной точке комплексного центроаффинного пространства Ад отвечает особая прямая в бипланарном пространстве Б^ .

Теорема 2. Несобственной точке произвольной конгруенции точек комплексного центроаффинного пространства Ад отвечает особая прямая на соответствующей поверхности Хр в бипланарном пространстве Б^ .

Теорема 3. Если аналитическая кривая комплексного центроаффинного пространства Ад проходит через полюс, то особой касательной к кривой в полюсе отвечает на соответствующей поверхности Хр бипланарного пространства Б^ особая прямая.

Теорема 4. Точке аналитической кривой, отличной от полюса, касательная в которой является особой прямой, в бипланарном пространстве Б^ отвечает проективно-особая точка поверхности Хр, соответствующей этой кривой, причём касательная плоскость в этой точке поверхности неопределённа.

В § 3.2 рассматриваются алгебраические конгруенции комплексного центроаффинного пространства Ад и соответствующие им двумерные алгебраические поверхности Хр бипланарного пространства Б^ .

Определение. Конгруенция точек (?) комплексного пространства Ад называется алгебраической, если FK (XL, X1) (К = 2 — L= 1, 2, 3) есть целые многочлены от переменных X* и

Y* ().

Здесь же доказываются

Teopewa I. Несобственной точке алгебраической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад отвечает в бипла-нарном пространстве Б^ на соответствующей поверхности Хр действительная особая прямая.

Теорема 2. Если алгебраическая кривая комплексного центроаффинного пространства проходит через полюс, то особой касательной её в полюсе соответствует на соответствующей поверхности Хр бипланарного пространства Б^ действительная прямая. Доказательство этих теорем не опирается на теоремы предыдущего параграфа. Здесь же доказана

Теорема 3. Параллельному переносу в комплексном аффинном пространстве Ад соответствует такое преобразование поверхности Хр е бипланарном пространстве Б^, при котором она переходит в одну из поверхностей Хр, расслаивающих пару конгру-енций, одна из которых состоит из нормалей II-го рода поверхности, а другая из лу^ей связки, соединяющих точки поверхности с центром связки — точкой О', причём расслоение происходит вдоль лучей связки.

В § 3.3 рассматривается вопрос об отображении двумерных поверхностей Хр на множество точек комплексного пространства Ад. Это отображение, выполняемое по правилу: lK = XK+XdK+l (Ык = <1+2(к-0, К*42,3) где (X*) — координаты точки пространства Ag, а (Х^) -однородные координаты соответствующей точки бипланарного пространства Б^, приводит к трёхпараметрическому множеству точек в комплексном пространстве Ад, которое расслаивается на семейство кривых, если соответствующие поверхности Хр в бипланарном пространстве Б^ являются аналитическими. Доказывается теорема, устанавливающая необходимые и достаточные условия аналитичности двумерной поверхности Xg в бипланарном пространстве Б^. Эта теорема является обобщением теоремы, полученной И. В. Зуевым для двумерных поверхностей Хр в биаксиальном пространстве Бд

31).

В § 3.4 речь идёт о так называемых дополнительных точках (коротко: Д — точках) поверхности Х^ в бипланарном пространстве Б^. Так называются точки поверхности Xg в бипланарном пространстве Б^, которые при отображении их в комплексное центроаффинное пространство Ад не имеют своих образов на соответствующей кривой. Задав уравнения алгебраической кривой пространства Ад в виде

ГА’Я (Ш)+А'п-,(Ш)± ¦ ¦+AUX, y,2) = 0 где, А? 1.) объединяет все членыI -го измерения, a и перенормировав точку (Л3 Уг Z) в пространстве Ад :

Х=ЯХ, У-ЯУ, z=y?z, рассмотрим множество точек в Ад, в которых системы уравнений л" -кА'п (т)+Я" -ХМЛ1)+. ¦ M’MU-O г-к№м)+яп'кхмт ¦ ¦ ¦+А!<�ал1)=о я&trade-*#&bdquo-.,(№)+¦ ¦ .+АШ1)=о имеют, по крайней мере, один общий корень у}. Исключая У? из каждой системы уравнений, получим трёхпараметрическое множество точек h’n

F'(X, y, Z, X, y, Z)= A

2 m

A' /1/1-, •. Лк

• •

Ah Ah-i • • • Ak f%i-t • hi Az A2 >15

1/77 nm-i ¦ - • /1%

• ••••• l/n Л/л-/ • •

A 0 kyn Am-).. • A% fm Am-, • • A

FK№XlU>

Az Аг Аг

Пrn Л in—i '.. ni

A2

Л^п ntn-l ' • '

Am Am-i • • Л

C5J

1л ^/7-/ •

Az A1 ntn nm-i

A' n н

• Ak mm>

Ah An-i • An An~i.. Ak

An An-i. .. Ak. %

• • •

— 0

Ah Ah-i • • • А К

Левые части этих уравнений представляют собой результанты данных систем уравнений { Ц 5. На местах в определителях, не занятых буквами и точками, стоят нули.

Полученному трёхпараметрическому множеству точек (5) будет принадлежать алгебраическая кривая (3), так как в этих точках системы уравнений (Ц) имеют общий корень J = ^ В пространстве Б^ трёхпараметрическому множеству точек по правилу точечного соответствия между комплексным пространством Ад и бипланарным пространством Б^ которой, очевидно, будут принадлежать все точки пространства Б^, отвечающие точкам кривой (3)• Доказываются многообразия (5) комплексного центроаффинного пространства Ад системы уравнений (Ц) имеют общий вещественный корень ной поверхности Хр в бипланарном пространстве Б^ будет основной.

Точка поверхности Хр бипланарного пространства Б^ называется основной, если при отображении её в комплексное центроаффинное пространство Ад она имеет свой образ на соответствующей кривой)

Теорема 2. Если в точке Д/ (yf,^?) многообразия (5) системы уравнений (V) не имеют общего вещественного корня, отличного от нуля (общие корни или комплексные, или нулевые), то соответствующая точка т {хх.. X) поверхнос отвечает двумерная поверхность Хр :

Ф'(г', t... ie) -о ¦Фг (<�с', хг,.. .

Теорема I. Если в некоторой точке М (Xt У, Е) ти Xg в бипланарном пространстве Б^ будет Д — точкой.

Теорема 3. Для того, чтобы двумерная поверхность Х<-> в бипланарном пространстве Б^ содержала целую область Д — точек} необходимо и достаточно, чтобы соответствующая алгебраическая кривая комплексного центроаффинного пространства A3 допускала группу подобных преобразований в себя, причём порядок последней должен быть чётным.

Таким образом, взяв за основу изучение вопроса о реализации аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства A3, автор получил следующие основные результаты:

I. Построен класс двумерных поверхностей Xg в пятимерном бипланарном пространстве Б^ эллиптического типа, допускающих инвариантную нормализацию с помощью особых многообразий. Для поверхностей этого класса найдены условия интегрируемости и показано, что связность на двумерных поверхностях Xg в бипланарном пространстве Б^, у которых нормализующая особая гиперпрямая пересекает касательную плоскость поверхности в заданной точке по особой прямой, в е й л е в а.

2. Получены необходимые и достаточные условия аналитичности двумерных поверхностей в бипланарном пространстве Б^. Доказано, что внутренняя связность на аналитических двумерных поверхностях Xg в бипланарном пространстве Б^ является евклидовой.

3. Рассмотрен вопрос о характере отображения аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства A3 на двумерные поверхности Xg бипланарного пространства Б^ эллиптического типа. В доказанных свойствах 1−7 раскрывается геометрический смысл инвариантов аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства A3, а построенные инварианты для двумерных' поверхностей Xg бипланарного пространства Б^ выражены через инварианты соответствующей аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад .

4. Показано, что отображение двумерных поверхностей Х^ би-планарного пространства Б^ на аналитические кривые комплексного центроаффинного пространства Ад осуществляется вначале на трёхпараметрическое множество точек комплексного центроаффинного пространства Ад, которому принадлежит и сама аналитическая кривая. Разработана методика получения уравнений этого трёхпарамет-рического множества точек в комплексном пространстве Ад. Поскольку при отображении двумерных поверхностей Xg бипланарного пространства Б^ на аналитические кривые комплексного центроаффинного пространства Ад сами поверхности Х^ должны быть аналитическими, найдены необходимые и достаточные условия аналитичности двумерных поверхностей Х2 в бипланарном пространстве Б^*

5. Так как не каждая точка двумерной поверхности Хр бипланарного пространства Б^ имеет свой образ на соответствующей аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад (точки поверхности Х9, не имеющие своих образов на соответстк* вующей кривой в пространстве Ад, называются дополнительными или Д — точками этой поверхности), найдены условия существования этих Д — точек поверхности.

Научная новизна полученных результатов диссертации состоит в том, что впервые :

1) разработаны основы теории двумерных поверхностей Xg в бипланарном пространстве Б^ эллиптического типа, нормализованных особыми многообразиями ;

2) указаны необходимые и достаточные условия аналитичности двумерных поверхностей Х^ в бипланарном пространстве Б^' и показано, что их внутренняя связность 1-го рода есть евклидова связность :

3) указаны способы отображения аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Xg бипланарного пространства Б^ дифференциальными, а для алгебраических кривых — алгебраическими методами ;

4) получены инварианты двумерных поверхностей Xg бипланарного пространства Б^, с помощью которых можно вычислить кривизну и кручение соответствующей кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад — интерпретированы модуль и аргумент кривизны и кручения аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад, отнесённой к центроаффинному и эквицентроаффинно-му параметрам кривой ;

5) изучен вопрос о, так называемых, дополнительных точках Д — точках) двумерных поверхностей Х-р, получаемых при отображении аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на эти поверхности .

Теоретическое значение результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в том, что они могут быть применены при изучении геометрии над алгебрами, одному из актуальных направлений в современной дифференциальной геометрии.

Основные результаты работы докладывались на итоговых научных конференциях Ивано-Франковекого педагогического института, на геометрическом семинаре при Казанском государственном университете им. В.И.Ульянова-Ленина.

По результатам диссертации опубликовано 3 работы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Петровичу Нордену за внимание и помощь при выполнении настоящей работы.

1. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос. — Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, 1950, вып. УШ, с. 197−272.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967 — 491с.

3. Зуев И. В. 0 действительной интерпретации кривых комплексной центроаффинной плоскости. Уч.зап. КРУ, 1957, т.117, кн.2, с. 19−21.

4. Зуев И. В. Действительная интерпретация кривых комплексной центро аффинной плоскости. Уч. зап. Елаб. ужского госуд. пед. инст., 1958, т. III, с. 17−34.

5. Зуев И. В. Об особых точках алгебраических поверхностей, содержащих мнимую двойную сеть Кёнигса. Изв. вузов, Матем., 1962, № 1(26), с. 41−49.

6. Норден А. П. Пространство линейной конгруенции. Матем. сб., 1949, т. 24(66):3, с. 429−455.

7. Норден А. П. Пространство аффинной связности. М.-Л., ГИТТЛ, 1950 — 463 с.

8. Норден А.II. Биаффинное пространство и его отображение на себя. Уч. зап. КГУ, 1952, т. 112:10, с. 3−11.

9. Норден А. П. Биаксиальная геометрия и её обобщения. ТрЛУ Всесоюзного матем. съезда, 1964, т. 2, с. 236−243.

10. Розенфельд Б. А. Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Рт~*~Рп-тч в Рп * Матем. сб., 1949, т.24 (66), вып. 3, с. 405−428.

11. Третьяков В. Д. Нормализация поверхностей с помощью инволюции. Изв. вузов, Матем., 1971, № 1(104), с. 83−89.

12. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. М.," Наука", 1969 — 576с.

13. Широков А. П. Геометрия обобщённых биаксиальных пространств.Уч. зап. КГУ, 1954, т. 114, кн.2, с. 123−166.

14. Широков П. А., Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия. М. Физ.Мат.ГИЗ, 1959, — 319с.15. 2/- CoUiclfe. awrmtty of Ки сотрЛх. domain. ozfoxd, тчггюр

15. Роьа X^omitnii uatw-affLni ск шпвк qrndu. —Comfit., %md. Acad. Sol (Palis), /И p. го5 сстём тисЫ. Annfa-, four-, Уму, /934, с. 1841/0.

16. Po/iaff-^iomttw ttnixo Q$ini jtcmSoilcjM сЬл сшгЫ d da ш{аш>. — Ann. Jul Urntr., Яшу, ШЧ, 'л2i> Р. Щ-Ш.

17. Дерягина В. Г. К теории двумерных поверхностей в бипланарном пространстве Б^. Изв. вузов, Математика, 1976, № 1(164), с. I16—119.

18. Дерягина В. Г. Соответствие между конгруенциями точек комплексного центроаффинного пространства Ад и двумерными поверхностями Xg в пространстве Б^. Казань, 1981, 18с. -Редколлегия ж. «Изв. вузов, Математика», Деп. в ВИНИТИ 16 ноября 198 г., № 5253−81.

19. Дерягина В. Г. Об отображении кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^. Укр. геом. сб., 1982, вып.25, с. 34−43.