Кручение бруса сложного профиля сечения из неоднородного и нелинейно деформируемого материала

Проектирование и конструирование машин, аппаратов, агрегатов и сооружений в энергомашиностроении, авиационной и ракетной технике удовлетворяющих самым современным требованиям, связано с всесторонними исследованиями прочности и надежности конструкций, с учетом воздействия внешней среды. Повышение требований к надежности работы элементов конструкций приводит к необходимости совершенствовать их расчетные модели, учитывать факторы, считавшиеся ранее второстепенными, такие, как влияние температуры на механические характеристики материала, нелинейность упругих свойств и др. Более достоверные сведения о напряженно-деформированном состоянии конструкций позволяет также выявить резервы их работоспособности и найти пути снижения их материалоемкости. Поэтому разработка новых эффективных методов, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) элементов конструкций, находящихся под воздействием высоких температурных и силовых нагрузок является актуальной задачей, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений, важное место занимают расчеты элементов на кручение.

Первые исследования по кручению принадлежат Кулону. В его работах рассматривается кручение круглого цилиндрического стержня. Согласно теории Кулона, поперечные сечения в круглых стержнях при кручении остаются плоскими и радиусы не искривляются. Основываясь на этой теории Кулон получил формулу для крутящего момента, которая хорошо подтвердилась опытами. Однако плоскими сечения остаются только для стержней круглого поперечного сечения.

Первые теоретические исследования по кручению призматических стержней некруглого сечения принадлежат Коши. Пользуясь полученными им общими уравнениями теории упругости, исследовал деформации призматических стержней прямоугольного поперечного сечения. Однако его решения носили приближенный характер, и важным достижением работы является теоретическое доказательство того, что поперечные сечения в скручиваемом стержне не остаются плоскими, а искривляются.

Строгую теорию кручения призматического стержня любого поперечного сечения дал Сен-Венан и показал, что задача о кручении призматического стержня с произвольным поперечным сечением сводится к нахождению гармонической, в области поперечного сечения стержня, функции по заданному значению ее нормальной производной на контуре этого сечения. Эта функция называется функцией кручения Сен-Венана или функцией перемещений и с точностью до постоянного множителя она определяет осевое перемещение в скручиваемом стержне или депланацию его сечения. Пользуясь этой функцией, Сен-Венан решил задачу о кручении упругого стержня с эллиптическим и прямоугольным поперечным сечением. Учитывая, что решение многих задач теории упругости зачастую связано с большими математическими трудностями, Сен-Венан применил в решении задач кручения свой полуобратный метод, который носит его имя и которым пользуются до настоящего времени. Сущность этого метода заключается в том, что заранее задаются формой решения рассматриваемой задачи, оставляя эти решения настолько общими, чтобы в дальнейшем можно было полностью удовлетворить всем уравнениям теории упругости.

Возможность приложения теории Сен-Венана к действительным случаям кручения основана на принципе Сен-Венана — принципе упругой равнозначности статически эквивалентных внешних нагрузок. Этот принцип получил в дальнейшем широкое распространение и открыл новые пути для решения многих трудных задач теории упругости, имеющих важное техническое приложение.

Исследования Сен-Венана являются фундаментом всей теории кручения.

Последующие авторы вносили лишь упрощения и дополнения в его исследования, указывали и давали новые приемы для определения функции кручения, введенной Сен-Венаном.

Проблеме кручения посвящено много работ, где излагаются методы решения задач о кручении однородных и неоднородных упругих тел постоянного и переменного сечениясплошных и полых призматических стержней с полигональным поперечным сечениемприводятся решения задач кручения для круглых эллиптических и конических стержней, имеющих продольные выточки, зубцы и полостиизлагается теория кручения призматических стержней с удлиненными и тонкостенными профилями, многослойных и составных стержней, а также стержней с усиливающим тонким покрытием по их боковой поверхностиисследуется влияние степени неоднородности на напряженное состояние и прочность скручиваемых стержнейдаются конкретные решения для многих классов задач. Исследованиям кручения призматических стержней с полигональным поперечным сечением, результаты которых для практического применения являются достаточно точными, посвящены работы К. Рунге [131], который применил теорию конечных разностей для решения задач кручения стержня в виде креста. Аналогичным методом В. Швальбе [139] получил решение задачи о кручении балок с поперечным сечением в виде уголка и двутавра. Кручение двутаврового стержня этим же методом рассмотрено также JI. Коллатцом [44]. Методом конечных разностей Б. А. Розовская [81] рассмотрела кручение стержней прокатных профилей. В работах М. Г. Слободянского [86] и А. И. Пивоварова [74] метод конечных разностей использован для вычисления касательных напряжений при кручении некоторых полигональных профилей и для исследования концентрации касательных напряжений во входящих углах этих профилей. Метод конечных разностей использовал для решения задач кручения призматических стержней и С. П. Демидов [23]. Дж. Ор [125] применил этот метод для определения максимальных касательных напряжений в ступенчатых валах, а С. Т. Ньюинг [126] рассмотрел ступенчатые валы, близкие к коленчатым валам и прямоугольные, ступенчатые валы с высверленным концентрическим отверстием прямоугольной формы.

Из численных методов, широкое применение для решения задач кручения стержней, имеет «метод релаксаций» Р. В. Саусвела. Этот метод представляет собой некоторое видоизменение вычислительной итерационной схемы Зейделя. Методом релаксаций решены многие задачи по кручению призматических стержней. При помощи этого метода Ф. С. Шоу рассмотрел задачу о кручении некоторых сплошных и полых стержней. Р. В. Саусвел и Г. А. Вейси [141] рассмотрели задачу о кручении прямоугольного стержня, решенную Сен-Венаном. Метод релаксаций использован для исследования концентрации касательного напряжения при кручении стержня с сечением в виде уголка и полого квадрата в работе Дж. Хата [123], определена также жесткость для стержня с сечением в виде правильного шестиугольника.

Для решения некоторых задач кручения часто используется метод функции комплексного переменного. Применение теории функции комплексного переменного в теории кручения упругих тел существенное развитие получило в работах Г. В. Колосова [42] и особенно Н. И. Мусхелишвили [68]. В своей работе Н. И. Мусхелишвили показал, что напряженное состояние и смещение могут быть выражены через две функции комплексного переменного и задача кручения сводится к отысканию этих функций по некоторым условиям, которым они должны удовлетворять и решил ряд конкретных задач. Д. И. Шерман [107],[108],[109] предложил метод эффективного решения задачи кручения для двухсвязных областей. Суть этого метода заключается в следующем: на одном из контуров вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра. Этим методом Д. И. Шерман [108] решил задачи кручения брусьев, поперечное сечение которых является двухсвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсамиизучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями, решена задача кручения эллиптического цилиндра, армированного круговым стержнем.

Важное место в решении задач кручения занимают вариационные методы теории упругости. Вариационный метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям был развит JI.B. Канторовичем [34], который дал математическое обоснование этому методу.

Аналогичный метод позднее был предложен В. З. Власовым [12], который использовал этот метод для решения задач кручения тонкостенных стержней. С помощью вариационных методов теории упругости JI.C. Лейбензон [53] получил решение многих конкретных задач кручения призматических стержней и разработал вариационный метод смягчения граничных условий в задачах кручения призм.

Вариационный метод приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям использовал для решения некоторых задач кручения призматических стержней А. И. Лурье [57],[58]. Аналогичным методом С. П. Демидов [23] дал решение задачи кручения бруса прямоугольного сечения. В этой же работе дано решение задачи кручения бруса прямоугольного поперечного сечения вариационным методом Треффца. Применив метод Треффца и использовав одновременно результаты работы А. И. Лурье, Н. О. Гулканян [22] определила верхнюю и нижнюю границы для жесткости при кручении равнобедренного треугольника. Метод Треффца был развит в работе П. П. Куфарева [51], который дал точное решение задачи о кручении стержня полигонального поперечного сечения.

В решении задач кручения часто используется вариационный метод Ритца. С. П. Демидов [23], используя этот метод, решил задачу кручения бруса прямоугольного поперечного сечения и определил его жесткость. Вариационную схему решения задачи кручения дал в своей работе С. Г. Михлин [65] и рассмотрел кручение стержня прямоугольного поперечного сечения. Метод Ритца использовали для решения задач кручения стержня с сечением в виде ромба Р. Локман и Р. Сундара [129]. Применив метод Ритца, Б. А. Соколов [87] получил приближенное решение задачи о кручении вала переменного диаметра.

Вариационный метод, основанный на принципе виртуальной работы и принципе дополнительной виртуальной работы для теории малых перемещений и для теории конечных перемещений, изложил в своей работе К. Васидзу [11] и решил задачу Сен-Венана. Здесь же получены формулы для определения верхней и нижней оценок крутильной жесткости. Причем эти формулы получены не только методом виртуальной работы, но и энергетическим методом.

Теорию кручения анизотропных и неоднородных стержней изложил в своей работе С. Г. Лехницкий [56], где рассматриваются задачи кручения различных стержней постоянного сечения из анизотропных материалов, теория обобщенного кручения и кручения кривого бруса. Даны методы определения напряжений и деформаций в неоднородных и однородных анизотропных стержнях и приведены решения для большого числа конкретных задач.

Для решения задач кручения призматических стержней с удлиненным авиационным профилем оказалось очень плодотворным применение метода малого параметра, введенного в уравнение скручиваемого профиля. Впервые этот метод был применен к решению задач кручения Дунканом. Дальнейшее развитие и математическое обоснование этого метода было дано Д. Ю. Пановым. Применение метода малого параметра к решению задач кручения цилиндрических стержней произвольного профиля с криволинейной осью было развито в работах Р. Малкиной [60] для случая открытого профиля и.

Н.Х. Арутюняном [1] для замкнутых профилей. К некоторым задачам по кручению ортотропных стержней с удлиненными профилями этот метод был применен B.C. Саркисяном [84], [85]. Методом малого параметра решена задача о кручении тонкостенных цилиндров в работе И. В. Сухаревского и В. А. Ткаченко [90].

За последнее время широкое развитие получила общая теория тонкостенных стержней и, в частности, теория кручения, основанная на современной теории оболочек. Разработаны различные приближенные методы расчета тонкостенных стержней на кручение, среди них отметим работы В. З. Власова [12], М. Я. Леонова и Я. И. Бурака [55], Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [3].

Задачам кручения стержня с начальными напряжениями посвящены работы С. П. Тимошенко и Дж. Гудьера [93], К. Васидзу [11], Р. Л. Бисплингхоффа [9], [121] где отмечается, что начальные напряжения оказывают немаловажную роль на величину напряженно — деформированного состояния стержней при кручении, особенно при решении задач аэроупругости. В статье К. С. Мазура [127] представлен метод гомогенизации для задачи стесненного кручения линейноупругого стержня, сечение которого меняется в-периодически. Используя методы нестандартного анализа и микролокальное моделирование, получена модель, являющаяся базой анализа многих инженерных проблем. Метод локальных вариаций применил в задачах кручения Ф. Л. Черноусько [103].

Вопросы термоупругости в задачах кручения в технической литературе практически не затрагивались, хотя и рассматривалось кручение нагретых стержней без определения температурных напряжений. [92]. Однако термоупругости вообще посвящено большое количество работ.

Первым этапом в решении задач термоупругости является определение полей температур. В этой области исследован большой класс задач в линейной и нелинейной постановках для односвязных и многосвязных областей М. Био [8], Б. Боли и Дж. Уэйнер [10], Г. Карслоу и Д. Эгер [35], А. В. Лыков [59], П. Шнейдер [121] в своих работах получили решение линейной задачи теплопроводности, А. А. Коздоба [40,41], B.C. Зарубин [26] и авторы ряда статей [95] - [98] рассмотрели задачи теплопроводности и методы их решения в нелинейной постановке. В основном это численные методы, основанные на конечно-разностной или вариационно-разностной схеме.

При этом, исходная нелинейная задача предварительно линеаризуется с помощью интегральных подстановок, метода возмущения и др.

Вторым этапом в решении задач термоупругости является непосредственное определение напряжений. Исследование этого вопроса при упругом поведении материала в условиях стационарного и нестационарного воздействия было изложено в работах Б.Т. Галеркина[14], Д. В. Грилицкого [18], В. М. Майзеля [62], И. И. Лебедева [52], Я. С. Подстригача и Ю. М. Коляно [75] и др.

Задачи термоупругости, учитывающие анизотропию материала для односвязных и двухсвязных областей представлены в работах А. С. Космодамианского и С. А. Колоерова [48] и др.

В решении задач термоупругости часто пренебрегают влиянием температуры на термомеханические свойства материала. Учет этого влияния в задаче теплопроводности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, а в теории упругости к уравнениям с переменными коэффициентами, что в свою очередь не позволяет получить точных аналитических решений. И здесь встает вопрос о применении численных и численно-аналитических методов.

Задаче термоупругости с учетом зависимости физико-механических характеристик материала от температуры посвящены работы [33], [34], [85], [86] и др.

В последнее время встает вопрос о необходимости в некоторых случаях решать задачу кручения в нелинейной постановке. Данный вопрос в общем случае нагружения тел был рассмотрен в работах А. Грина и Д. Адкинса [19], И. И Гольденблата [15], В. В. Новожилова [69], A.M. Лурье [57] и др. В приведенных выше работах для решения нелинейной задачи используются метод возмущения и метод малого параметра. Г. Каудерер [36] предложил раскрыть физическую нелинейность упругого материала с помощью метода малого параметра. Эти представления в дальнейшем получили развитие в работе И. А. Цурпала [101].

Другой подход, описывающий физически нелинейную задачу, основан на теории JI. H Качанова о равнозначности поведения нелинейно-упругого тела и тела при упругопластическом деформировании в период активного нагружения при такой же зависимости между напряжениями и деформациями [37]. Это позволило в нелинейной теории упругости использовать математический аппарат теории малых упруго-пластических деформаций, предложенный А. И. Ильюшиным [30], [31]. В его работах развита деформационная теория пластичности и на ее основе предложен метод упругих решений [68] для нелинейных задач. В работах И. А. Биргера [92] метод А. И. Ильюшина преобразован в метод переменных параметров упругости.

Важным аспектом в проблеме кручения стал анализ НДС бруса с наведенной неоднородностью материала, обусловленной технологическими условиями эксплуатации — полем температур и воздействием углеродосодержащих сред (цементацией). Последняя проблема в литературе совершенно не освещена.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие известных методов решения линейных и нелинейных задач кручения односвязных и двухсвязных призматических и круглых стержней, с учетом факторов термоупругости и углеродного воздействия с использованием вариационных принципов и разработки на их основе инженерных методов решения новых задач с применением конечно-элементной и суперэлементной интерпретации.

На защиту выносятся:

1. Разработка метода решения для задач кручения призматического бруса при наведенной неоднородности, созданной температурным полем и цементацией (поверхностным насыщением углеродом).

2. Разработка методов решения задач кручения для стержней с разрезами под температурным воздействием.

3. Разработка методов решения задач кручения призматических стержней с начальными напряжениями.

4. Дальнейшее развитие метода возмущения физически нелинейных задач кручения для бруса произвольного сечения.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения списка использованной литературы и приложения.

Во введении выполнен аналитический обзор по проблеме кручения стержней и сформулированы цель настоящей работы.

В первой главе даны постановки задач кручения призматических стержней с наведенной неоднородностью материала.

В разделе 1.1 изложена методика решения задач кручения призматического бруса из неоднородного материала.

В разделе 1.2 показана вариационно-разностная схема решения задачи методом конечно-элементной аппроксимации.

В разделе 1.3 дан вывод формулы для определения граничных условий для функции напряжений на контуре отверстия. В разделе 1.4 выведены формулы для определения депланации. В разделах 1.4 — 1.6 приведены примеры расчета. Рассматривался призматический брус односвязного и двухсвязного профиля с наведенной неоднородностью обусловленной температурным полем, цементацией.

Во второй главе дана постановка и примеры решения задач кручения для призматического и круглого бруса с теплоизолированной щелью под действием температурной нагрузки.

В разделе 2.1 дана постановка и решение задачи кручения призматического бруса с радиальной теплоизолированной трещиной.

В разделе 2.2 изложена методика решения задач кручения круглого бруса с теплоизолированной радиальной трещиной в температурном поле, показан переход к полярным координатам и прием использования метода конечных элементов для бруса круглого сечения.

В разделе 2.3 та же методика и приемы использованы для решения задач кручения цилиндра с радиальным разрезом. В разделе 2.4 приведен пример решения модельной задачи.

В третьей главе, используя метод суперэлементов, решены задачи кручения узкого призматического бруса с начальными напряжениями, обусловленные высоким температурным полем, цементацией. В разделе 3.1 показана методика решения кручения бруса с начальными напряжениями.

В разделе 3.2 решена задача кручения бруса с учетом остаточных осевых напряжений, обусловленных полем температур.

В разделе 3.3 рассмотрено кручение бруса с учетом осевых остаточных напряжений, обусловленных цементацией.

В разделах 3.4 — 3.5 приведено решение задачи стесненного кручения бруса при учете осевых остаточных напряжений, обусловленных заданным температурным полем и тепловыделением (нагретых джоулевым теплом).

В четвертой главе рассмотрена физически нелинейная задача кручения бруса.

В разделе 4.1 дана общая постановка физически нелинейной задачи кручения бруса произвольного сечения методом возмущения.

В разделе 4.2 приведена вариационно-разностная схема решения задачи кручения методом конечно-элементной аппроксимации.

В заключении даны общие выводы по результатам исследований приведенных в диссертации.

Результаты численных расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Расчеты выполнены на IBM PC по программам, составленным на алгоритмических языках Бейсик, Паскаль.

Основное содержание работы опубликовано в статьях [77], [112], [113], [114], [115].

Г. Кручение призматического бруса сложного профиля сечения, выполненного из неоднородного материала.

Среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений, важное место занимают расчеты элементов на кручение. При этом приходится сталкиваться с задачей кручения бруса с различной природой неоднородности в основном технологического характера. Целью настоящей главы является исследование напряженно-деформированного состояния бруса произвольного сечения, с различной природой неоднородности материала, вызванной внешним температурным полем, нагревом джоулевым теплом, цементацией. Изложена общая постановка решения задач кручения неоднородного бруса произвольного сечения. Разработаны методы решения задач кручения двусвязных областей для неоднородного бруса, с различной природой неоднородности. Приведены примеры расчета полей температур и напряженно-деформированного состояния бруса.

Заключение

.

На основании проведенных в данной работе исследований и конкретных расчетах с использованием предложенных методов результаты сводятся к следующему:

Первая глава.

1. Разработан метод решения задач кручения призматического бруса с наведенной неоднородностью материала, созданной температурным полем без внутреннего тепловыделения и нагретого джоулевым теплом, а также поверхностным насыщением углеродом (цементацией).

2. Развита вариационно-разностная схема решения задач кручения призматических стержней .

3. Получены решения новых задач кручения сплошных и полых призматических стержней в температурном поле и с цементированным поверхностным слоем.

4. Развит метод последовательных приближений для решения нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа.

Глава вторая.

1. Дана постановка задач кручения для призматического квадратного и круглого бруса с теплоизолированной щелью под действием силовой и температурной нагрузки на основе МКЭ.

2. Получено решение задач кручения для призматического бруса с теплоизолированной щелью и круглого сплошного и полого бруса с радиальными теплоизолированными разрезами.

3. Получено решение задачи теплопроводности, с граничными условиями первого рода, для сплошного и полого бруса круглого поперечного сечения с теплоизолированными радиальными разрезами.

4. Дан сравнительный анализ решения задачи кручения сплошного круглого бруса в стационарном поле температур с внутренним тепловыделением, полученного в данной работе, с известными решениями, полученными другими методами.

Глава третья.

1. Разработан метод решения задач свободного кручения призматического бруса с учетом остаточных осевых напряжений, обусловленных высокими температурными полями и цементацией.

2. На основе суперэлементого подхода разработан метод решения задач стесненного кручения узкого прямоугольного бруса с начальными напряжениями, обусловленные заданным температурным полем.

3. Получено решение задач стесненного кручения призматических стержней узкого прямоугольного поперечного сечения с остаточными осевыми напряжениями, обусловленными внутренним тепловыделением.

Глава четвертая.

1. Развит вариант метода возмущения для решения физически нелинейной задачи кручения бруса.

2. Разработана вариационно-разностная схема на основе МКЭ решения нелинейных задач кручения.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, отладки и тестирования программ и непротиворечивости полученных результатов известным решениям, найденным другими методами.

Разработанная методика определения полей температур и напряженно-деформированного состояния бруса могут быть использованы в практике расчетов на прочность и жесткость машин и конструкций, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации.